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第3章《圆》单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法：
①三点确定一个圆；
②平分一条弦的直径垂直于这条弦；
③长度相等的弧是等弧；
④三角形只有一个外接圆．
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的半径为，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）．
10．如图，内接于，点在弦所对的优弧上，连接、，若，则的度数为__________．
11．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）．
12．如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______．
13．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________．
14．如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______．
15．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________．
16．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______．
17．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）．
18．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________．
三、解答题：本题共9小题，共64分.
19．（6分）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心．
20．（6分）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证：
(1)；
(2)．
21．（6分）如图，在的内接四边形中，是直径，过点D的切线与直线交于点P，，连接，求的度数．
22．（6分）学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，及圆上一点．
求作：的切线为切点．
作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线．
使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）．
23．（6分）已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点．
(1)如图①，若，连接，求和的大小；
(2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长．
24．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画出圆心O；
(2)在图②中，在上画点D，使．
25．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
26．（8分）综合与实践——制作纸杯（结果保留）：
【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分．
【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度．
请根据以上三个素材，完成两个任务：
(1)在图1中，可得_____________；_____________．
(2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）．
①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”）
②求新型号纸杯的侧面积．
【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】
27．（10分）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”．
(1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________；
(2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________；
(3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________．
参考答案
一、单项选择题.
1．D
解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角，
∵，
∴．
2．D
解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意．
真命题有1个．
3．A
解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，
∴展开扇形的半径，圆心角，
∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，
∴.
4．D
解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
5．B
解：如图，连接、，
∵，，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴．
6．A
解：∵，，且，
∴，
设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，，
∴，，，
设的半径为，
∴，
∵的面积的面积的面积的面积，
∴，
，
∴．
7．D
解：连接交于点，连接，如图：
根据题意可得：四边形是矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，，
设的半径为，则，
在中，，
即，
解得，
∴拱门最高点到地面的距离是．
8．B
解：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值，
如图，以为直径作，连接，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
二、填空题
9．内
解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作，
∴点D到圆心A的距离，的半径，
∴，
∴点在内．
10．35
解：∵，，
∴．
11．
解：由题意可知，车轮半径，圆心角
∴劣弧的长
．
12．
解：∵，
∴，
∴．
13．
解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ，
∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上，
∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴，
解得：．即外接圆的半径为．
14．
解：如图，连接，，
∵正五边形内接于，
∴，
∴．
15．24
解：和是的两条切线，
，
同理可得：，，
的周长
．
16．
解：设从动带轮转动的圆心角为．
∵主动带轮半径，转动的圆心角为，
∴主动带轮转过的弧长．
∵从动带轮半径，转动的圆心角为，
∴从动带轮转过的弧长．
∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等，
∴，即．
∴．
∴．
∴从动带轮转动的圆心角为．
17．
解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示．
由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
18．
解：如图，连接，∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴；
∵为的直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
作于点，延长交 于点，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，，，
∵，
∴
解得：
∴
三、解答题
19．
如图所示，点即为所求的圆心．
20．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．解：∵是的切线，
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
根据圆内接四边形对角互补可得．
22．
如图，直线即为所求，
．
23．（1）解：∵为的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵为的中点，即 = ，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
连接，如图②，
则，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的切线，
∴,
∴，，
∴，，
∴，．
24．(1)如图①，点O即为所求
(2)如图②，点D即为所求．
25．（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴扇形的面积．
26．（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是，
∴，，
∵扇形圆心角，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：由（1）可知扇形中，，，，
根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面，
∴纸杯底面圆形纸片周长，
∴纸杯底面圆形纸片直径，
∵在扇形中裁剪出最大的圆，
∴根据素材二得，圆半径，
∴圆直径，
∵在扇环中裁剪出最大的圆，
∴根据素材三得，圆直径，
∵扇环为新纸杯的侧面，
∴新纸杯底面的，
∴即新纸杯底面圆形周长为，
设新纸杯底面圆形纸片直径为，
∴，
∴，
∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯，
∴素材一中该型号纸杯的底面是圆．
解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴新型号纸杯的侧面积．
27．（1）解：由题意知，点A的“m－区域点”是对过点B的任意直线与以A为圆心，m为半径的都有两个交点，点A的“m－区域距离”是与过点B的直径垂直的弦长，
如图，作以点A为圆心，半径为2的，
观察图象可知，点在内部，点在外部，点在上，
∴符合题意的点为，即点是点A的“2－区域点”，
过点作轴，交于点C，D，连接，
∴，，
在中，，
同理可得：，
∴，即点关于点A的“2－区域距离”是．
（2）解：由题意知，点A是直线上一动点，且横坐标为t，
∴纵坐标为，
要使得坐标原点O是点A的“5－区域点”，
如图，分别作半径为5，且过点O的，，连接，，
∴，
∴，
解得：，，
∴t的取值范围是，
要使点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的弦心距必为最小，
∴当时，存在最小值，
如图，作的平行线，连接，，设分别交x轴，y轴于点G，H，
∴，
易得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
同理可得：，
∴，
即点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是．
（3）解：由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内，
∵点M是线段上的动点，
∴线段均在如图所示的阴影部分内，
如图，作半径为的，作直线交于点，，使得，交x轴于点P，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，，
∴，
在中，，
同理可得：，
∴，，
∴，，
∵，在阴影区域内，且不与边界重合，
∴，解得：，
同理，作交于点，，使得，交x轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，，
∴，，
∵，在阴影区域内，且不与边界重合，
∴，解得：，
综上所述，t的取值范围是或．

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