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第二十七章《反比例函数》单元自测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
3．已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（ ）
3
6
A． B．4 C． D．9
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限
C．随的增大而增大 D．若，则
7．如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．若反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．反比例函数的图像经过点，则这个函数的表达式为____________________．
12．若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”）
13．已知点，都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）．
14．如图，的顶点A是直线与双曲线在第一象限内的交点．已知的面积为3，则一次函数的解析式为___________．
15．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为，则B点的坐标为_______．
16．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ______．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题．
(1)该容器内氧气的质量为______．
(2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式．
(3)若该容器的体积为，求氧气的密度．
18．（8分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围．
20．（8分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
(1)求k的取值范围；
(2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围．
21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)分别连结和，求的面积．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 的图象上，点B在x轴上．将线段向左平移一定距离后，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，点B 的对应点为点 D，且直线的解析式为．
(1)若，求的长；
(2)若四边形的面积是8，求直线的解析式．
23．（10分）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E．
(1)求m的值和E的坐标；
(2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标；
(3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．
(1)求反比例函数的解析式及点的坐标；
(2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：，，均是一次函数，是反比例函数，
故选：B．
2．B
解：∵函数是反比例函数，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
3．C
解：设反比例函数的表达式为，
把，代入，
得，
即，
将代入，
得：，
所以空格中所表示的数是，
故选：C．
4．A
解：根据定义，为反比例函数
∵
∴两支曲线分别位于第二、四象限内
故选A．
5．D
解：由题意得：，
∴；
故选：D．
6．C
解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，正确，故本选项不符合题意；
B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，正确，故本选项不符合题意；
C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意；
D、当时，则，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．B
解：设点坐标为，因为点在第二象限，
，所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为，
又由，
，
，
，
这个反比例函数的解析式为．
故选：B．
8．C
解：联立，解得：或，
∴，
当时，，
∴，
当时，则，
∴，
∴，
∴的面积；
故选C．
9．A
解：∵反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
10．C
解：当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致．
当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致．
故选：C．
二、填空题
11．
解：设反比例函数的解析式为，
由题意可知，函数图像经过点，
∴，得，
∴反比例函数解析式为．
故答案为：．
12．减小
解：∵点在反比例函数的图象上
∴，
即；
又∵
∴在图象的每一支上，随的增大而减小．
故答案为：减小．
13．
解：已知反比例函数，根据反比例函数的性质：当时，函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．
点和的横坐标分别为2和3，均为正数，因此两点都在第一象限．
因为，且在第一象限内y随x的增大而减小，所以．
故答案为：．
14．
解： 的面积为3，
，即，
双曲线在第一象限，
，
则一次函数的解析式为，
故答案为：．
15．
解：正比例函数和反比例函数的图象都是关于原点中心对称的图形，
它们的交点、关于原点对称，
，
∴B点的坐标为，
故答案为：．
16．
解：四边形为矩形，且点坐标为，为中点，
，点的纵坐标是4，
将点坐标代入，得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
，，
，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：，
故答案为：8；
（2）根据题意，设所求的函数解析式为，
由图可知，该函数过点，
．
∴所求函数的解析式为．
（3）
∵该容器的体积V为，．
答：氧气的密度为．
18．（1）解：设反比例函数解析式为，
由图象可知，反比例函数图象过点，
∴
∴，
∴；
（2）解：当时，，
∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米．
19．（1）解： 一次函数的图象过，，
，，
，，
点坐标为两点点坐标为两点，
把代入，求得，
反比例函数为；
（2）解：观察图象，若，则的取值范围是或．
20．（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
k的取值范围是；
（2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且，
，
解得，
又，
a的取值范围是．
21．（1）解：将点代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为： ，点，
将代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：一次函数与反比例函数交于点，
根据一次函数和反比例函数的图象得：
当时，x的取值范围是：或；
（3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示：
对于，当时，，当时，，
∴D的坐标为，点C的坐标为，
，
，
点，，
，
，，
．
22．（1）解：由平移可得轴，
∴ 四边形为平行四边形．
∵点在反比例函数 的图象上，
∴，
解得，
∴，
由平移可知，点的纵坐标为，
∵，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点 C 的横坐标为，即点．
∴；
（2）∵四边形的面积是8，点，
∴，
∴，
∴点的横坐标为．
由平移可得点C的纵坐标为2，
∴点的坐标为．
将代入，
得，解得．
∴直线的解析式为．
23．（1）解：点B的坐标为，D为中点，
，
反比例函数的图象经过的中点D，
，
反比例函数解析式为，
把代入反比例函数解析式中，得：，
∴；
（2）解：由，得到直线解析式为，
由，得到直线解析式为，
过点M作轴交于点N，
设，则，，
，
，
解得：，
∴点M坐标为；
（3）解：存在，理由如下：
由题意得：，
如图：
设，
分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，
可得，
解得：，
∴；
当四边形为平行四边形时，
可得，
解得：，
∴；
当四边形为平行四边形时，
可得，
解得：，
∴，
综上，的坐标为或或．
24．（1）解：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
设反比例函数的表达式为，把代入可得
∴反比例函数的表达式为，
把代入中，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
设，的面积等于3，
∴，
解得：或，经检验符合题意；
∴或．

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