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第二十六章《二次函数》单元检测卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（ ）
A．0 B．2 C． D．
3．当时，的函数值为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与轴交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
8．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．
9．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意实数，总成立
D．若点，在抛物线上，则
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________．
12．抛物线经过点，则________．
13．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）．
14．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟．
15．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______．
16．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________．
17．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________．
18．如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．（6 分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当时，写出x的取值范围．
20．（6 分）一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为．
(1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当时，求y的函数值．
21．（8 分）已知二次函数．
(1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标；
(2)在平面直角坐标系中列表画出的图象；
(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
22．（8 分）某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六 一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件．
(1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？
(2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？
23．（8 分）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；
(3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？
24．（10 分）已知二次函数（a为常数且）．
(1)当点在该函数图象上时，求a的值．
(2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式．
(3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值．
25．（10 分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形；
(3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积．
26．（10 分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
(1)______；
(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由；
(4)若抛物线与抛物线（其中）交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示）
参考答案
一、单项选择题.
1．B
解：抛物线的顶点坐标为．
2．B
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴的值可以是2．
3．A
将代入得
．
4．D
解：当时，
，
∴抛物线与轴的交点坐标是．
5．A
解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为，
∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得，
∴所得抛物线解析式为．
6．D
解：∵二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而增大，
∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧，
∴．
7．B
解：∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线开口向上，故错误；
顶点坐标为，故正确；
对称轴为直线，故错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故错误．
8．A
解：∵抛物线与轴交于，
∴是一元二次方程的两个根，
∴，
解得：，，
∴．
9．B
解：设点坐标为，
轴，，
，
、、三点均在二次函数的图象上，
，
为线段的中点，
，，
，
，
，
，
，
．
10．B
解：由图象可知，抛物线开口向下，则.
顶点的坐标为，
对称轴为直线，即，
，即，故A错误；
设抛物线的解析式为 .
令，得，即抛物线与轴的交点坐标为.
由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，
， 解得，故B正确；
根据图象得：当时，取得最大值为：，
对任意实数，，
∴，故C错误；
∵对称轴为，
∴，，
当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误．
二、填空题．
11．
解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为．
12．
解：把点代入得：
，
整理得，
移项得，
等式两边同时除以，得．
13．<
二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上，
该抛物线的对称轴为直线 ，
根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小，
已知 ，所以 ．
14．3.75
解：∵，且，
∴当时，y取得最大值，
∴最佳加工时间为3.75分钟．
15．
解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根，
∴．
16．5
解：，
∴顶点为，
∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，，
∴，关于抛物线的对称轴对称，
∴，
将点代入，则，
整理得，，
解得，（舍），
∴．
17．
解：，
顶点坐标为，
抛物线顶点在直线上，
，
整理得，
则，
，
解得：，，
顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，
当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去；
当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求；
故的值为．
18．
解：设，则，
∵等边三角形中，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在中，
由勾股定理得
，
∵，
∴当时，取得最小值，即取得最小值，
∴当线段最短时，的长为．
三、解答题.
19．（1）解：∵点与点B关于直线对称，
∴点B的坐标为，
代入，得：，
解得，
∴二次函数的表达式为
（2）解：由，
解得：，
∵
∴
20．（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为，
∴，其中；
（2）解：由（1）知，，
∴当时，．
21．（1）解：，
当时，，
即，与y轴交点坐标为；
（2）解：列表如下：
x 0 1
y 0 0
函数图象如下所示，
（3）解：由图象可得，时x的取值范围是或．
22．（1）解：设每件应降价x元，由题意得
，
解得：，，
∵为增大销量，减少库存，
∴每件童装应降价20元，
则售价为（元）；
（2）解：设总利润为W元，由题意，得
，
∴，
∴抛物线的开口向下，W有最大值，
∴当时，，元．
即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元．
23．（1）解：米，三边栅栏总长为米，
米．
，即．
墙长米，
，
解得．
（2）解：令，则，
整理，得，
解得或．
，
，
当时，满足条件的花园面积能达到平方米．
（3）解：将化为顶点式为，
，
当时，最大，最大面积是平方米．
24．（1）解：把，代入中，
得：
∴．
（2）解：∵对称轴为直线，
∴
．
（3）解：当时，，
图象开口向上，对称轴为直线，顶点，
①当时，最大值最小值
解得：．
②当，即时，最大值最小值
解得：．
③当，即时，最小值为顶点纵坐标，
要使最大值最小值，
∴最大值，
令，
解得：，
当时，即时，
函数在时取最大值，
∵都不在的范围内，
∴该情况不成立，
当时，即时，
函数在时取最大值，
令，
∴
∵，
∴都不在这个范围内，
故该情况不成立，
综上所述：或．
25．（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把代入得，
，
解得．
∴．
∵，
∴，
当时，，
∴．
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P，
∴设，，
∴，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：由题意，得，则，
由（2）得，．
∴
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为．
26．（1）解：∵抛物线与x轴交于两点、，
∴，解得，
即；
（2）解：由（1）可知，，
∴抛物线，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴，即，
∵点P是抛物线在第四象限内一点，
∴设点，其中，
∵点，
设直线的函数表达式为，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
联立，即，
则有，即，
解得或，
∴点，
∴；
（3）解：∵抛物线与抛物线交于点C，
联立，即，
解得，则，
∴点，
∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m，
∴点M的纵坐标为，
∴点，
设直线的函数表达式为，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
联立，即，
可得，且点N的横坐标为n，
则，
∵点C的横坐标为，
∴，
∴，
即为定值；
（4）解：∵抛物线与抛物线（其中）交于点C，
联立，即，
可得，则，
∴点，
∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m，
∴点M的纵坐标为，
∴点，
设直线的函数表达式为，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
联立，
即，
可得，且点N的横坐标为n，
则，
∵点C的横坐标为，
∴，
∴，
即．

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