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第二十五章《一元二次方程》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ）
A．2027 B． C．2031 D．
6．已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
7．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
9．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ）
A． B． C． D．
10．对于关于的方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②当时，方程无实数解；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④一元二次方程有两个相等的实根，则；
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．将方程化成一般形式是____________
12．若是一元二次方程的根，则的值为___．
13．用配方法解一元二次方程得，则的值为__________．
14．已知为实数，且，则的值是___________．
15．已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____．
16．若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一实数根为3，求m的值；
(2)求证：无论m取何值，方程总有实数根．
19．（6分）已知实数满足，
(1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程；
(2)若，求的值．
20．（8分）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元
21．（8分）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”．
(1)求方程的“两根点”的坐标：
(2)点是关于的一元二次方程的“两根点”．若点在直线上，求的值．
22．（9分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，
，即的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式，求它的最大值；
(2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．
23．（9分）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程的解是（、、均为常数，），则方程的解是？
解法探讨
（1）小明的思路如下所示：
小明的思路 第1步把1、代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出； 第3步用直接开平方法解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“x”，则“”的值是______，从而更简单地解决了问题．
（3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是______；
策略运用
（4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答．
已知方程有两个相等的实数根，其中a、b、c是三边的长，判断的形状．
24．（10分）我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到．
【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________；
【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程．
25．（10分）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”．
举例说明：方程①：（，），特征数对；
方程②：（，），特征数对；
验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．
解答下列问题：
(1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”．
①则该方程的两根分别为 ， ；
②若其特征数对为，求k的值．
(2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q．
(3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值．
参考答案
一、选择题
1．A
选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求；
选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求；
选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求；
选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求．
故选：A．
2．D
解：∵任意实数的平方为非负数
∴
∵方程可以用直接开平方法求解
∴等式右边需满足非负，即
解得．
3．D
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即，
当时，，故A选项不符合题意；
当时，，故B选项不符合题意；
当时，，不满足，故C选项不符合题意；
当时，，满足条件，故D选项符合题意．
4．B
解：∵是方程的根，
∴将代入方程得，
即，
解得，
则原方程为，
因式分解得，
∴或，
故方程的另一个根为．
故选：B．
5．A
解：∵，
∴，
∴，
∴，
与对比，得，，
∴．
故选：A．
6．B
解：由题意得，
；
，
∵关于的方程和的解相同，
∴，，
∴．
7．B
解：设平均每月的增长率为
∵一月底价格为元/升
∴二月底价格为 元/升
∴三月底价格为
又∵三月底价格为元/升
∴可得方程
8．A
解：∵、是方程的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，，
又∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
9．B
解：∵ 方程 有一个根为 ，
∴ ，
两边同乘 得： ，
即 ．
∴是方程的一个根，
设方程的另一个根为，则：，
又∵ ，
∴ ，
，
∴．
∴，
∴方程的两根为和，
故选B．
10．D
解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误；
对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误；
对于③：是方程的一个根，代入得，整理得，
或，不是一定有，故③错误；
对于④：一元二次方程有两个相等的实根，
，且判别式，即，
对两边同乘得，代入得：
，
，故④正确；
综上只有④正确．
二、填空题
11．
解：∵，
∴，
∴，
∴，即．
12．
解：将代入方程，
得，即，
解得．
13．3
解：用配方法解得，
两边平方得，
展开左边得，
整理得，
原方程为
对比系数，可得．
14．4
解：设，则，
原方程化为，
即，
，
，
解得或，
由于，故，
即．
故答案为：4．
15．或
解：∵关于x的方程，
∴，，，
∴，，
∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根，
∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且，
∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则；
②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则．
∴综上所述，的值为或．
16．
解：∵，，
∴由根与系数的关系得：，；
，；
…
，；
∴原式
．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）移项，得，
配方，得，即 ，
开平方，得，
∴；
（2）提取公因式，得，
化简，得，即 ，
∴ 或 ，
∴．
18．（1）解：方程有一实数根为3，
∴，
解得；
（2）证明：∵关于x的一元二次方程
，
无论取何值，方程总有实数根．
19．（1）解：设一元二次方程为．
，
，
，
∴一元二次方程为；
（2）解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根，
．
∴的值为．
20．（1）解：设月平均增长率为x，
根据题意得，
解得：，（舍去）
答：月均增长率为．
（2）解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件，
由题意得，，
解得，，
尽量减少库存，
，即售价应降低4元．
答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元．
21．（1）解：，
解得：，，
，
方程的“两根点”的坐标为；
（2）解：，
分解因式可得：，
解得方程的两根分别为：和，
当时，即，
“两根点”的坐标为，
点在直线上，
，
解得：；
当时，即，
“两根点”的坐标为，
点在直线上，
，
解得：（不符合题意，舍去）；
．
22．（1）解：，
的最大值为；
（2）解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动
∴点从点运动到点所需时间为，
点从点运动到点所需时间为，
的最小值为20．
23．（1）解：将代入到方程中，
得，
∴，
解得
∴．
∴
第个方程可变形为，
即，
解得：；
（2）解：∵关于的方程的解是，
∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或，
故答案为：或；
（3）解：函数的图象与x轴交于点和，
函数的图象相当于将上述图象向左平移2个单位，
∴与x轴交于点和，
∴方程的解为；
故答案为：；
（4）解：∵当时，成立，
∴方程必有一根是
∴方程的两根为．
∴．
∴．
∴是一个直角三角形
24．（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图2，
每个小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为，
利用图形的面积关系得配方后的方程为，即，
解为，
故答案为：，，，；
（2）解：先变形为，如图，
每个小长方形的长为，宽为，
利用图形的面积关系得配方后的方程为，即，
∴；
解为．
25．（1）解：①，
∴，
解得：或，
因此两根为和；
②∵其特征数对为，
∴ ，，
∵，，
∴，
由第二个方程得，
代入第一个方程验证：时，，符合要求；
时，舍去，因此．
（2）解：∵方程的根为，
由韦达定理得，，
∵方程的根为，
由韦达定理得：，即，
代入得，
整理得．
两根积：，展开得，
代入，得，
因此．
（3）解：，
∴，解得：，
∴方程B的特征数对：，．
对方程A：，
由韦达定理得，，
∴（），，
∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程A：是“全整根方程”，
∴是非负完全平方数，
∴时，，符合，此时；
时，，符合，此时；
其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9．

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