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江西上饶市广信区2025-2026学年度第一学期期末绿色评价 九年级 数学试题卷
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件中是随机事件的是（ ）
A．太阳从东边升起 B．水中捞月
C．抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D．三角形任意两边之和大于第三边
5．如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C．5 D．
6．如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ）
A．旋转木马转一圈需要
B．当时，小明与入口的距离为
C．小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了
D．当时，y随x的增大而增大
二、填空题
7．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
8．抛物线的顶点的坐标为________．
9．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______．
10．如图，有一个半径为2的圆形时钟，过8点和12点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为_________．
11．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________．
12．如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______．
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
15．如图，在中，，．求证：
(1)；
(2)．
16．如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）．
(1)甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________．
(2)若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率．
17．如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．
(1)在图1中画出边的中点；
(2)在图2中将绕点顺时针旋转．
18．第届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件元时，每天可售出件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件．
(1)设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售________件；（用含x的代数式表示）
(2)当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利元？
19．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若四边形的面积为，，求的长．
20．初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息：

请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题：
(1)求 ______， ______， ______，并补全函数图象；
(2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______；
(3)已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围．
21．如图，在中，，，D是边上一点，以为直径作，交边于点E，交边于点F，E是的中点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
22．【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由．
【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同．
①线段与的数量关系是 ；
②的度数为 ．
【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度．
23．如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示．
(1)①的长为___________，的长为___________；
②当时，关于的函数解析式为___________．
(2)当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式．
(3)在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积．
参考答案
1．D
解：、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意；
、当时，方程为，是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
故选：．
2．C
解：A：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意；
B：是分式，不是整式，不满足二次函数定义，不符合题意；
C：，满足二次函数定义，符合题意；
D：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意；
故选：C．
3．D
解：小方格的边长相等，得，
∴，即旋转角为．
故选D．
4．C
解：A、太阳从东边升起是必然事件；
B、水中捞月是不可能事件；
C、抛掷一枚硬币次都正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件；
D、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件．
故选：C．
5．A
解：连接，则，过点O作交于点D，
∵若，
∴，
则=
∴．
故选：A．
6．C
解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意；
B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意；
C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意；
D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：C
7．
解：设另一个根为，
由根与系数的关系得，
解得
故答案为．
8．
解：抛物线，
当时，，
∴抛物线的顶点的坐标为，
故答案为 ：．
9．
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种，
∴抽到“中庸”书签的概率为，
故答案为：．
10．
解：连接、，过点O作于点C，如图：
由题意可知：，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．
11．16
解：∵和是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：16．
12．或或
解：在中，，，
，
当点在上方时，，如图，
，，
点在上，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
是等边三角形，
；
当点在下方时，延长交于点，如图，此时，
，，
，
在中，，
，
是等边三角形，
；
当，
是等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
为中点，
，
根据勾股定理可得：，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
13．(1)，
(2)，
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
即，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
14．二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
解：∵二次函数的表达式为，，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标．
15．(1)
证明：∵，
∴，
∴，
∴；
(2)
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）略
16．(1)
(2)
（1）解：∵一张空餐桌共4个座位，
∴甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
① ② ③ ④
① （②，①） （③，①） （④，①）
② （①，②） （③，②） （④，②）
③ （①，③） （②，③） （④，③）
④ （①，④） （②，④） （③，④）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙两位同学不坐在正对面的结果有：①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，共8种，
∴甲和乙两位同学不坐在正对面的概率为．
17．(1)
解：如图，即为所求．
(2)
解：如图，即为所求．
18．(1)
(2)当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元
（1）解：设每件玩偶套装降价x元，
∵每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件，
∴每天可销售件，
故答案为：．
（2）由题意可得：，
，
，
，
为了尽快减少库存，
，
答：当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元．
19．(1)
证明：把顺时针旋转到的位置，
，
，
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形；
(2)
【详解】（1）略
（2）解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积，
正方形的面积为，
，
在中，，，
，
是等腰直角三角形，
．
20．(1)，，，
补全该函数图象如图，

(2)图象关于轴对称
(3)或
【详解】（1）分别将，2，，别代入，
求得，，，
故答案为：，，．
（2）由图象可得，图象关于轴对称．
（3）观察图象可知，或，
的取值范围为或．
21．(1)
证明：如图所示，连接，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径
是的切线；
(2)
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，，
又，
中，，
如图所示，作交于H，
，
中，，
，
，，
，
．
22．（1），理由如下：
和都是等边三角形，
，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
；
（2）①；②；
（3）8
【详解】解：（1）略
（2）①；②
理由：由（1）可知绕点逆时针旋转得到，
则，
，；
等边三角形，
，
，
，
；
故答案为：①；②；
（3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质知，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
23．(1)①，；②
(2)
(3)
（1）解：①根据函数图象可得与重合时，时，则，
当时，则点与点重合，此时是的中点，
根据函数图象可得时，，
即时，，则
∵
∴
∴
∴是的中位线，则
∴，
故答案为：，．
②∵
∴
∴，即，
∴
∴当时，，
故答案为：．
（2）解：∵时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，
∴设抛物线解析式为：，
将，，代入，
得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（3）解：∵时，，存在对应的值相等，
∴对称轴为直线①
又∵②，
联立①②解得：
∴此时与重叠部分的面积为．
当时，
∵，则
∴
∴
∵当时，
∴当
整理得，
解得：或
∵
∴不存在此情形，
综上所述，与重叠部分的面积为．

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