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6.1第3课时 方差、标准差与离差平方和
基础巩固提优
1.(2025·贵州遵义桐梓期末改编)在方差计算公式： 15) ]中,10,15分别表示( ).
A.数据的个数和方差
B.平均数和数据的个数
C.数据的个数和平均数
D.数据的方差和平均数
2.(2025·泸州中考)某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差(单位：个 )如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择( ).
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3.某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示：
身高/ cm 163 164 165 166 168
人数 1 2 3 1 1
那么，这批女演员身高的方差为 .
4. 教材P153例3·变式计算2,3,4,5,6,8,11,13的离差平方和.
思维拓展提优
5.某市举办以“古诗词大会”为主题的比赛，某中学计划在四支队伍中择优推选一支队伍，参加市级比赛，下表是该校四支队伍参加选拔赛成绩的平均数和方差.根据表中数据，可知2号队伍的成绩最好且发挥最稳定，则m，n的值可能是( ).
队伍 1号队伍 2号队伍 3号队伍 4号队伍
平均数 95 m 94 94
方差 1.8 n 0.5 1.8
A. 93,0.5 B. 95,0.4
C. 93,1.9 D. 95,1.9
6.(2025·恩施州二模)已知甲、乙两人10 次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差s P，s z的描述正确的是( ).
A. B.
C. D.无法确定
7.假设法，(2024·大庆中考)小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1,2,3,4,5,6这六个数字中选出四个数字，玩猜视频学方法数游戏.下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是( ).
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
8.第1组数据为0,0,0,1,1,1,第2组数据为其中m，n是正整数，下列结论：①当m=n时，两组数据的平均数相等；②当m>n时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当m=n时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差.其中正确的是( ).
A. ① B. ①③
C. ②③ D. ①②③
9.数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的标准差是 .
10.(湖北黄冈麻城福田河中学自主招生)已知一组正数x ,x ,x ,x ,x 的方差为 则关于数据. 的四个说法：①方差为s ；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4s .其中正确的说法是 .
11.对数据8，9，12，15如何分组使组内离差平方和最小
12.数据:-7,-1,0,3,4,7,8.
(1)请你计算出离差平方和；
(2)请你计算它的方差.
13.某篮球队员在篮球联赛中分别与甲队、乙队对阵各四场，如表是他的对阵情况统计.
场次 对阵甲队 对阵乙队
得分/分 失误/次 得分/分 失误/次
第一场 25 2 27 3
第二场 30 0 31 1
第三场 27 3 20 2
第四场 26 2 26 4
(1)他在对阵甲队和乙队的各四场比赛中，平均每场得分分别是多少
(2)利用方差判断他在对阵哪个队时得分比较稳定.
(3)根据上表提供的信息，判断他在对阵哪个队时总体发挥较好，简要说明理由.
延伸探究提优
14.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、方差)回答下列问题：
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点
(2)哪段台阶路走起来更舒服，为什么
(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
提示：图中的数字表示每一级台阶的高度(单位：cm)，并且数据:15,16,16,14,14,15 的方差 数据：11,15,18,17,10,19 的方差
中考提分新题
15.为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题.
(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是 (填“甲”或“乙”)；甲队员得分的平均数为26.5分，乙队员得分的方差为 ；
(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好；
(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×(-1)，且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
第3课时 方差、标准差与离差平方和
1. C [解析] 中，10，15分别表示数据的个数和平均数.故选C.
归纳总结 根据方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差即可得结论.
2. B[解析]由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙，所以乙、丁两名同学的成绩好.
因为乙跳绳成绩的方差小于丁，
所以乙同学成绩好且发挥稳定.故选 B.
归纳总结 根据方差和平均数的意义求解即可.
3.2 [解析] 165(cm),
解题关键本题考查方差，解答本题的关键是求出数据的平均数，明确方差的计算公式
4.首先，计算这组数据的平均值：
(2+3+4+5+6+8+11+13)÷8=6.5.
然后计算每个数据与平均值的差值的平方：
最后将这些差值的平方相加，得到离差平方和：
20.25+12.25+6.25+2.25+0.25+2.25+20.25+42.25=106.
综上，这组数据的离差平方和为106.
5. B[解析]成绩的平均数越大代表成绩好，方差越小说明成绩越稳定，∴m的值可能是95，n的值可能是0.4.故选B.
6. C[解析]根据题意，得乙的成绩更集中， 故选C.
7. A[解析]假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大，此时 方差为
当数据为1,2,5,6时,
4.25,故 A 选项符合题意;
B. 当选出的数据为2,3,5,6时, 故B选项不符合题意；
C.当该同学选出的四个数字为2，3，4，5时， 4+5)÷4=3.5,故该选项不符合题意;
D. 当选出的数据为2,4,5,6或2,3,5,6或2,3,4,6时,极差都是4，故该选项不符合题意.
故选 A.
8. A [解析]①第1组平均数为0.5;当m=n时,第2组平均数为 ∴①正确;
②当m>n时,m+n>2n, ∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数，∴②错误；
③第1组数据的方差为 第2 组数据的方差为 ,∴当m=n时,第2组数据的方差等于第1组数据的方差，∴③错误.故选 A.
9. [解析]数据0,1,2,3,x的平均数是2,即1+0+2+3+x=10,解得x=4.
方差 则标准差是
10.①③ [解析]由方差的计算公式可得
由一组正数x ,x ,x ,x ,x 的方差s 为 ，可得平均数
对于数据. 设其平均数为x ，方差为s ，则有 其方差
一般地，设有n个数据x ，x ，…，x ，若每个数据都乘a后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为原方差乘a
故正确的说法有①③.
11.经过多种分组尝试，可确定将数据分为{8，9}，{12，15}时组内离差平方和最小.
12.(1)计算出 然后计算离差平方和
(2)由(1)知
13.(1)对阵甲队的平均每场得分是 26)=27(分)，对阵乙队的平均每场得分是 31+20+26)=26(分).
(2)对阵甲队的方差是
对阵乙队的方差是
∵3.5<15.5，∴他在对阵甲队时得分比较稳定.
(3)他在对阵甲队时总体发挥较好.理由如下：
他在对阵甲队的平均每场得分大于对阵乙队的平均每场得分，而对阵甲队的方差小于对阵乙队的方差，他对阵甲队的平均失误是 (次)，对阵乙队的平均失误是 (次),
∴他在对阵甲队时总体发挥较好.
∴相同点：两段台阶路高度的平均数相同，
不同点：两段台阶路高度的方差和极差均不相同.
(2)甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差较小.
(3)每个台阶高度均为15 cm(原平均数)，使得方差为0.
15.(1)甲 [解析]由折线图，可得甲得分更稳定，已知乙的六次成绩的平均数为26，则根据方差计算公式可得出乙的方差为
(2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.(答案不唯一，合理即可)
(3)甲的综合得分为26.5×1+8×1.5+2×(-1)=36.5.
乙的综合得分为26×1+10×1.5+3×(-1)=38.因为38>36.5，所以乙队员表现更好.

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