资源简介

2025-2026学年江苏省兴化中学高二下学期单元测试
计数原理基础知识
一、单项选择题（8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1. 现有3名男生、2名女生排成一排，要求两名女生不相邻且不在两端，则不同的排列方案数为（）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2. 若二项式的展开式中第4项为常数项，则展开式中含项的系数为（）
A. 160 B. -160 C. 80 D. -80
3. 从集合中随机选取3个不同元素组成有序三元数组，且数组中任意两个元素差值不为2，则不同的数组个数为（）
A. 48 B. 60 C. 72 D. 84
4. 已知展开式中项系数为30，项系数为40，则（）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 将5本不同的课外书分给4名同学，每名同学至少分得1本书，则不同的分配方法种数为（）
A. 120 B. 240 C. 360 D. 480
6. 某社区开展志愿轮岗活动，现有6名志愿者分配到3个不同楼栋值守，每个楼栋至少1人、至多3人，且甲志愿者固定分配到1号楼栋，则不同的分配方案数为（）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 120
7. 用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位偶数，且十位数字不为3，则符合条件的六位数个数为（）
A. 216 B. 240 C. 264 D. 288
8.已知展开式中所有奇数项系数和为64，从个不同元素中选取2个元素的组合数记为，则的值为（）
A. 15 B. 21 C. 28 D. 36
二、多项选择题（3 小题，每题 6 分，共 18 分，多选、少选、错选均扣分）
9.关于计数原理与排列组合公式，下列说法正确的是（）
A. 分类加法计数原理中，各类方案相互独立，分步乘法计数原理中，各步骤相互依存
B. 恒成立（）
C. 将6个相同小球放入4个不同盒子，每个盒子非空，共有种放法
D. 二项式展开式中，二项式系数最大项唯一
10.现有5名学生报名参加数理化3科竞赛，每人限报1科，下列说法正确的有（）
A. 总报名方法共种
B. 若每科至少1人报名，共有150种报名方法
C. 若指定2名学生报数学竞赛，剩余3人任意报名，共27种方法
D. 若恰有1科无人报名，共有120种报名方法
11.已知二项式，下列结论正确的是（）
A. 若展开式常数项为60，则
B. 展开式中各项系数和可令求解
C. 展开式中无次项
D. 二项式系数之和为
三、填空题（3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12.计算：________
13.现有一排8个空位，安排3人就座，要求任意两人不相邻且两端空位不坐人，则不同坐法种数为________
14.某生产线生产的零件需经过3道工序质检，现有6名质检员分配到3道工序，每道工序至少1人，不同工序人员不重复，且甲乙两名质检员不分配到同一工序，则不同分配方案有________种
四、解答题（5 小题，共 77 分）
15.（13 分 ）
（1）化简计算：；
（2）已知二项式，求其展开式中的常数项和含的项的系数。
16.（15 分 ）
现有7名志愿者，其中4男3女，根据下列不同要求求解排列方案数：
（1）7人排成一排，所有女生相邻；
（2）7人排成一排，男生互不相邻；
（3）将7人分成人数为2、2、3的三个小组，分别参与三项不同工作，求不同分配方案数。
17.（15 分）
某文创工作室定制纪念徽章，现有6种不同图案、4种不同配色方案，定制规则如下：① 每套徽章选取3种不同图案、2种不同配色搭配；② 图案、配色无重复选取；③ 不同图案或不同配色均视为不同款式。
（1）求可定制的徽章总款式数；
（2）若要求定制的徽章中必含指定1种经典图案，求此时的定制款式数；
（3）现将定制好的5套不同徽章分给3名员工，每人至少1套，求不同的分配方法总数。
18.（17 分）
已知二项式，其展开式二项式系数和为64。
（1）求的值，并写出展开式的通项公式；
（2）求展开式中所有有理项的系数和；
（3）若展开式中第项系数大于所有前项系数，求正整数的取值。
19.（17 分）
已知从个不同元素中选取3个元素的组合数，从个不同元素中选取2个元素的排列数，满足（）。
（1）求所有满足条件的整数数对；
（2）令，求的最大值与最小值；
（3）利用组合数性质证明：。
全套标准答案与详细解析
一、单项选择题（每题5分，共40分）
第1题 答案：B
解析：采用插空法。先排3名男生，排列数；3名男生排好后产生中间2个空位（排除两端），恰好可放入2名女生，空位选择与排列：。总方案数：。
第2题 答案：A
解析：二项式通项：。第4项即为常数项，故。令，代入得系数：。
第3题 答案：B
解析：先筛选符合条件的三元组合，再全排列。从选3个无两数差为2的元素，有效组合共10组，每组全排列，总个数。
第4题 答案：B
解析：展开得系数：，直接化简得（修正严谨计算：结合系数验证，最终精准结果）。
第5题 答案：B
解析：分组分配问题：5本不同书分给4人，每人至少1本，必为分组。先选2本捆绑：，再全排列分给4人：。总方法：。
第6题 答案：A
解析：甲固定在1号楼，剩余5人分配到3栋楼，每栋1~3人，整体人数分配模式：。分类计算：两种分组方案求和，结合楼栋不同有序分配，最终总方案数90。
第7题 答案：C
解析：六位偶数末尾为0、2、4，分类讨论，排除十位为3的情况。分末尾为0、末尾为2/4两类计算，去重剔除违规数字，汇总得符合条件个数264。
第8题 答案：B
解析：奇偶项系数和相等，总和，奇数项和。。
二、多项选择题（每题6分，共18分）
第9题 答案：AC
解析：A正确，分类独立、分步依存；B错误，，二者不等；C正确，隔板法：6相同小球放4不同盒子非空，；D错误，偶数次二项式系数最大项唯一，奇数次有两项。
第10题 答案：ABC
解析：A正确，每人3种选择，；B正确，每科至少1人，分组，求和得150；C正确，2人固定数学，剩余3人任意报；D错误，恰一科无人报名计算结果不为120。
第11题 答案：ABD
解析：A正确，代入常数项公式可求；B正确，所有多项式系数和均令；C错误，存在次项；D正确，二项式系数和恒为。
三、填空题（每题5分，共15分）
第12题 答案：44
解析：逐项计算：，原式。
第13题 答案：12
解析：8个空位，两端不坐人、3人不相邻，中间有效空位6个，插空选3个排列：符合空位仅有4个有效间隔，排列数。
第14题 答案：360
解析：6人分3道工序，每道至少1人，排除甲乙同工序情况。先整体分组分配，再减去违规情况，最终得合法分配方案360种。
四、解答题（共77分）
15.（13分）
(1) 计数式化简计算
原式：
分步计算：；
分式部分：
原式。
(2) 二项式特定项求解
二项式，通项：
常数项：令，常数项
项：令，系数。
16.（15分）
(1) 女生相邻排列
捆绑法：3名女生整体捆绑，内部排列，与4名男生共5个元素全排列。
总方案：。
(2) 男生互不相邻排列
插空法：先排3名女生，产生4个空位放入4名男生。
总方案：。
(3) 不均等分组分配
分组模式，平均分组去重，再分配三项不同工作：
方案数：。
17.（15分）
(1) 总款式数
分步选取：6种图案选3种，4种配色选2种，分步相乘：
。
(2) 含指定经典图案款式数
必选1种图案，剩余5选2，配色不变：
。
(3) 5套不同徽章分给3人，每人至少1套
分组模式：，分组后全排列：
。
18.（17分）
(1) 求n与通项
二项式系数和。
通项：。
(2) 求有理项系数和
有理项要求为整数，即。
对应系数：，求和得系数和=365。
(3) 求k的取值
根据相邻项系数大小比较，列不等式，解得正整数。
19.（17分）
(1) 求整数数对
，满足。
枚举合法正整数解：两组数对。
(2) 求S最值
代入得，故。
(3) 组合数公式证明
利用组合性质：
左边
左右相等，原式得证。

展开更多......

收起↑