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2025-2026学年高一下学期单元测试
三角函数应用
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.某机械摆杆做简谐周期运动，其端点竖直位移y（单位：cm）关于运动时间t（单位：s）的模型为。已知摆杆单次完整摆动时长为0.8s，端点最大位移为12cm，且初始时刻位移为0且向上运动，则该运动模型解析式为（）
A. B. C. D.
2.在平面几何动态模型中，定线段，动点满足，则面积的最大值为（）
A. B. C. D.
3.某观景山坡为倾斜平面，坡面与水平面夹角为，坡上一条直步道与坡底水平线夹角为，若步道实际倾斜角（与水平面竖直夹角）为，则三者三角关系为（）
A. B. C. D.
4.某山体隧道断面轮廓可由三角函数曲线精准建模，已知隧道断面高度曲线满足解析式，其中为断面竖直高度（单位：m），为水平偏移角，该隧道断面的最大净空高度为（）
A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m
5.海上测距模型中，两观测点相距10海里，观测目标船，测得，，则测点到目标船的直线距离为（）
A. B. C. D.
6.某测温仪器的电压波动模型为，已知电压波动的最小正周期为，则该电压模型的波动频率对应的参数为（）
A. 2 B.1 C. D. 4
7.在不规则三角形地块测量中，已知三角形两边长为，两边夹角为，且地块周长为定值，则该三角形外接圆面积的最小值为（）
A. B. C. D.
8.声波传播模型为，已知声波峰值为10，谷值为2，初相位，周期为，则该声波模型解析式为（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.关于三角函数在周期场景中的应用，下列说法正确的有（）
A. 模型的图像对称中心纵坐标恒为5
B. 潮汐水位模型的周期仅由决定，与初相无关
C. 简谐运动的振幅决定运动平衡位置
D. 模型平移变换不改变周期与振幅
10.利用解三角形解决地形测量问题，已知中，满足，则下列结论正确的有（）
A. B. 一定为锐角三角形
C. 存在最大值 D. 若，则三角形面积存在最大值
11.针对三角变换建模曲面问题，函数用于模拟曲面起伏，下列性质满足实际应用场景的有（）
A. 曲面起伏的最大差值为4 B. 模型最小正周期为
C. 当时，曲面达到波峰 D. 模型可化简为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.风力发电机叶片转动高度模型为（单位：m），则叶片转动过程中，距离地面的最大高度与最小高度的差值为________。
13.在三角测绘中，三角形三边长满足，且周长为12，则该三角形面积的最大值为________。
14.某交变电流模型，已知时电流为，电流峰值为，最小正周期为，且初相为锐角，则初相________。
四、解答题（共5小题，合计77分）
15.（13分）某公园景观水池的水位随昼夜呈周期性变化，水位高度（单位：m）与时间（单位：h，）满足三角函数模型。已知每日凌晨0时水位最低，为2m，中午12时水位最高，为6m，昼夜周期为24h。
(1) 求该水位变化的三角函数解析式；
(2) 求当日水位高度不低于5m的时间段；
(3) 求当日水位在一个周期内的平均高度。
16.（15分）野外地形测量中，有一不规则四边形地块，已知中，，为等边三角形。
(1) 求对角线的长度；
(2) 求四边形地块面积的最大值；
(3) 求面积最大时对应的外接圆半径。
17.（15分）某无人机空中巡航，飞行轨迹的竖直高度模型为，为飞行水平转角。
(1) 化简该轨迹高度函数的标准三角形式；
(2) 求无人机飞行的最大高度、最低高度及波动周期；
(3) 若要求飞行高度不低于1，求水平转角的取值范围。
18.（17分）已知两海岸观测站相距米，在海平面同一水平线上，海中救援目标点，满足，，且。
(1) 用表示的长度；
(2) 求面积的最大值；
(3) 求目标点到海岸线的最大垂直距离。
19.（17分）物体在倾斜角为的光滑斜面滑动，合力做功对应的动力模型满足，。
(1) 将动力函数化简为正弦型函数标准形式；
(2) 求斜面动力的最大值、最小值及对应的倾斜角；
(3) 若动力，求斜面倾斜角的有效取值范围。
参考答案与解析
一、单项选择题解析
1.A
由题意：最大位移振幅，周期。
由周期公式，得。
初始条件：且向上运动，即初始相位为0，。
代入得解析式：。D选项相位不满足向上起振，BC振幅、周期错误。
2.A
定线段，，由圆周角定理，在定圆上运动。
由正弦定理：，得外接圆半径。
三角形面积，当为弧中点时，，面积最大。
此时为等边三角形，。
3.B
设步道长度为，坡面竖直高度：，步道水平投影长度：。
实际倾斜角正切值：，选B。
4.C
化简步骤：
辅助角公式合并：
其中，，因此：
由正弦函数值域可知：
当时，，即隧道最大净空高度为5m。
5.C
在中，。
由正弦定理：。
代入：，解得：
。
6.B
由，解得。
7.C
设两边，夹角，由余弦定理：。
由正弦定理，结合周长定值约束，推导得外接圆半径最小值。
外接圆面积。
8.D
由峰值10、谷值2：振幅，平衡位置。
周期得，初相，解析式：。
二、多项选择题解析
9.ABD
A：正弦型函数对称中心为图像平衡点，纵坐标为，正确。
B：周期仅由决定，初相只平移图像，不改变周期，正确。
C：振幅决定波动幅度，平衡位置由常数项决定，错误。
D：平移变换不改变周期、振幅，正确。
10.ACD
由正弦定理角化边：。
和角公式：，，故，A正确。
B：三角形可为钝角三角形，错误。
C：，有最大值，正确。
D：，由均值与三角公式，面积存在最大值，正确。
11.BD
化简：，D正确。
周期，B正确。
最大差值为错误，实际差值为2；为零点，非波峰，AC错误。
三、填空题解析
12.
振幅，最大高度，最小高度，差值。
13.
由余弦定理：。周长，结合均值不等式，当时面积最大，。
14.
峰值，时，，为锐角，故。
四、解答题解析
15.（13分）
(1) 由题意：最低水位2，最高水位6，得：
。
周期，故。
凌晨取最小值，代入得初相。
解析式：。
(2) 列不等式：
化简得：
结合，解得：。
即当日8时至16时水位不低于5m。
(3) 正弦型函数一个周期内波动量抵消，平均值等于平衡位置，故平均高度为4m。
16.（15分）
(1) 求长度
在中，由余弦定理：
得。
(2) 求四边形最大面积
，其中为定值三角形，为定边动态等边三角形，面积固定不变。
先计算固定部分面积：在中，由三角形面积公式：
。
再计算等边三角形面积：。
因此四边形面积为定值：，无最值变化。
(3) 求外接圆半径
等边三角形外接圆半径公式：（为边长），代入，得：
。
17.（15分）
(1) 化简函数
(2) 求最值与周期
由化简结果，对照正弦型函数标准式：
，最小正周期。
由，得：
最大高度：，最低高度：。
(3) 求解水平转角取值范围
由题意飞行高度不低于1，即，化简得：
由正弦函数图像性质，得通解：
不等式整体化简：，即。
综上，水平转角取值范围为。
18.（17分）
(1) 边长表达式
在中，内角和，且。
由正弦定理：。
代入，，得外接圆直径：
。
又，因此：，。
(2) 求三角形面积最大值
三角形面积公式：。
代入已知条件：
由积化和差公式展开化简：
最终化简得：。
当（即）时，面积取得最大值：。
(3) 求最大垂直距离
设到海岸线的垂直距离为，由面积公式，得。
代入最大面积与：
。
。
19.（17分）
(1) 化简动力函数
(2) 求动力最值及对应倾斜角
已知倾斜角定义域，则相位范围：。
结合正弦函数在的单调性：
当，即时，，动力取最大值；
当，即（边界）时，，动力取最小值。
(3) 求解有效倾斜角范围
由，得不等式：
结合，精准解得相位区间，反推倾斜角：，满足动力取值要求。
最大值（），最小值（）。

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