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湖南常德市石门县第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷
1．已知、，集合，，若，则（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，，且，所以，即.
若，则，此时，，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】由交集可得，且或，再检验求解即可.
2．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（　　）
A．0或1 B．或1 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，
所以，解得或，
又因为函数在上单调递减，
所以，则，
所以，当时，符合条件．
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的定义得出m的值，再利用幂函数的单调性得出m的取值范围，从而得出满足要求的实数m的值.
3．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线过点，所以，解得，
则抛物线的焦点到准线的距离为2.
故答案为：C.
【分析】将点代入抛物线方程求解即可.
4．已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是中的唯一最大项，
所以且，
则且，
又因为，
所以，
则的取值范围为．
故答案为：A.
【分析】根据等差数列通项公式以及前项和最值的性质建立不等式得出公差d的取值范围.
5．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的高为，则，
所以，圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出圆台的高，再利用圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
6．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，得：，
则，
令，因为，
所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
则当时，有最小值，
所以，则的最大值为.
故答案为：B.
【分析】将题中不等式变形为，构造函数，将不等式转化为恒成立问题，令，利用导数求出函数的最值，从而得出实数m的取值范围，进而得出实数m的最大值.
7．在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；三角形五心
【解析】【解答】解：由题意，可知是以A为顶角的等腰三角形，
如图所示：，，
则，
设，
则，
因为，
所以，
在直角三角形中，.
故答案为：B.
【分析】 设， 利用平面向量基本定理求出，再由余弦函数的定义得出的值.
8．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，
前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择，
因此不同取法种数为种，
按照两个红球被连续取出的情况如下：
（1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法；
（2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法；
（3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法；
（4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法，
两个红球被连续取出的方法共有种，
所求概率为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件以及古典概率公式求解即可.
9．为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．数据点P对应的残差的绝对值为5
C．该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米
D．乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好
【答案】B,C,D
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、由，可得房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，故A错误；
B、代入，可得的预测值，则残差为：，故B正确；
C、，因为线性回归方程恒过点，故，
解得：，C正确；
D、决定系数越接近1，拟合效果越好，因为，故甲机构选取的模型拟合效果更好，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】由，可得房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，即可判断A；
将代入求得预测值，再利用残差的定义求解即可判断B；可利用计算，代入线性回归方程计算平均建筑面积即可判断C；决定系数越接近1，拟合效果越好，比较两个决定系数大小判断拟合效果即可判断D.
10．已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，，
由，得，即函数在定义域上单调递增，
由，得，
不等式，即，解得，
则的值可能为1，2.
故答案为：CD.
【分析】构造函数，求导，利用导数确定单调性，进而求解不等式即可.
11．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
C．曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为
D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：A、 曲线C： ，当时，，解得或2或，三个整点，，，无解，则共有3个整点，故A错误；
B、，曲线C上往取一点到原点的距离，故B正确；
C、曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则，M在曲线C上，
则，故C正确；
D、与曲线C一定有公共点，∵与曲线C只有一个公共点，
则，∴，∴或，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 曲线C： ，令，求出整点的坐标即可判断A；利用已知和两点距离公式求解即可判断B；曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则在曲线C上即可判断C；与曲线C一定有公共点，联立直线y＝kx与曲线C解出方程的根，求得实数k的取值范围即可判断D．
12．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是　 　．
【答案】14
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，设与交于点，
则，，，
在原图形中，，，，
所以，原图形周长是.
故答案为：14.
【分析】根据斜二测画法，将直观图还原成平面图形，再利用平行四边形的周长公式，从而得出原图形周长．
13．已知向量，，若，则函数的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，
因为，所以，解得，
则，，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则（或）.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求得，可得函数，求导，利用导数判断的单调性，求最小值即可.
14．在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，得：，
由正弦定理，得，
因为，所以，
则，所以，
又因为，
所以，
则，
因为，所以，
设的外接圆半径为，，
则，所以，
又因为，
所以和面积之差为：
，
因为，所以，则，
所以，当时，；
当时，；
当时，，
则和面积之差的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由等差中项公式和正弦定理求出角，利用辅助角公式，将变形，利用正弦定理得出的值，再将面积差用外接圆半径和角表示，从而化为二次函数形式，结合角的取值范围求解即可.
15．已知数列满足，．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值．
【答案】（1）证明：由，变形可得且，
则数列是首项为1，公差为的等差数列，，
故数列的通项公式是；
（2）解：由（1）得，
设，则，，
当时，
，
由题意可得单调递增，且当时，，得到，
由，可知符合题设条件的m的最小值为9．
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）原式变形可得，易知数列是首项为1，公差为的等差数列，利用等差数列的定义求解通项公式即可；
（2）由（1）得，设，利用裂项相消法求和，再结合的特点求解m的最小值即可.
（1）由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列，
所以．故的通项公式是．
（2）由（1）得．
设，则，．
当时，
，
由题意可得单调递增，且当时，，得到．
由，可知符合题设条件的m的最小值为9．
16．某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单.
（1）该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率；
（2）该订单发生延迟的概率；
（3）若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率.
【答案】（1）解：设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ，
由题意可知，，
可得，
所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为；
（2）解：由题意可得
，
则该订单发生延迟的总概率；
（3）解：由题意可得，
则订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，利用条件概率公式求解即可；
（2）利用全概率公式求解即可；
（3）利用条件概率公式求解即可.
（1）设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ，
由题意可知，，
可得，
所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为．
（2）由题意可得
，
所以该订单发生延迟的总概率．
（3）由题意可得，
所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为．
17．已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示．
（1）设点Q在圆锥的底面圆周上运动．
（ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）若，证明：平面．
（2）设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值．
【答案】（1）解：（ⅰ）由平面，可得为平面的法向量，
设直线和平面所成角为，则，
因为平面，
所以直线和平面所成角的正弦值为；
（ⅱ）证明：因为，
因为圆锥底面圆的半径，所以，
所以，结合可知共线，所以平面，
下面证明平面平面，
由于，结合平面，平面，
所以平面，由于，显然，
所以为平行四边形，所以，
结合平面，平面，所以平面，
由于为平面中的两条相交直线，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
设，则在圆锥侧面上，的夹角余弦值为，
即①，
设平面的法向量为，由，
在平面上②，，结合①②可得，
，
取等条件，则的最小值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）（ⅰ）由平面，可得为平面的法向量，直线和平面所成角为，利用线面的夹角公式求出的值，从而得直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）根据勾股定理求得，再利用线面平行的判定定理证明平面平面，最后利用平面与平面平行的性质证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，设，由在圆锥侧面上可转化为与的夹角余弦值为，利用向量法求出平面的法向量，结合求的最小值即可.
（1）（ⅰ）解：由于平面，所以为平面的法向量，
设直线和平面所成角为，则，
因为平面，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
（ⅱ）证明：因为，
因为圆锥底面圆的半径，所以，
所以，结合可知共线．所以平面．
下面证明平面平面，
由于，结合平面，平面，
所以平面，由于，显然，
所以为平行四边形，所以，
结合平面，平面，所以平面，
由于为平面中的两条相交直线，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）以为原点，建立如图坐标系，此时，，，，，
设，则在圆锥侧面上，的夹角余弦值为，
即①，
设平面的法向量为，由，
在平面上②，，结合①②可得，
，
取等条件，所以的最小值为．
18．已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
（1）求双曲线的方程；
（2）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
（3）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
【答案】（1）解：由题意的焦距为，双曲线的焦距是，
设双曲线：，可得，，
则双曲线：；
（2）解：不妨设：，设：，
联立：，解得：，
联立，解得：，
联立，解得：，
从而；
（3）证明：延长，分别交渐近线于，两点，如图所示：
由（2）可知，
因为四边形是平行四边形，，所以，
设，，
则：，与：联立，解得，同理求得：，
故，
设的倾斜角为，则，而，
故，
则，因此.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知双曲线的焦距是，设：，根据焦距为，可得，求得，即可得双曲线的方程；
（2）不妨设：，设：，联立方程组求得点，，的横坐标，计算可得的值即可；
（3）延长，分别交渐近线于，两点，由（2）可知，结合（1）可得，设，求得直线的方程，联立求得，同理可得，可得，设的倾斜角为，可得，再利用面积公式求的面积即可.
（1）由题意的焦距为，双曲线的焦距是，
设：，所以：，.
：
（2）不妨设：，设：，
联立：，解得：
联立，解得：
联立，解得：，
从而.
（3）如图，延长，分别交渐近线于，两点，
由（2）可知，
因为四边形是平行四边形，，
所以，
设，
则：，与：联立，
解得，同理求得：，
故，
设的倾斜角为，则，而，
故，
则，因此.
19．已知函数
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得，求证：．
【答案】（1）解：当时，函数，求导得：，
则，切线斜率，
由点斜式得切线方程：；
（2）解：由在有零点，因为时，所以，则，
设，，求导可得，
令，，
则，
当时，，
则在单调递增，
即，
所以当时，，
当时，，
即在上单调递增，
当时，由，
当时，，则的值域为
所以由在有零点，则，
即实数的取值范围为；
（3）证明：由已知得：，
，
由（2）得，则，即，
由（2）知在上单调递增，
要证明，只需要证明，
又因为，所以即证明，
因为，所以只需要证明，
构造函数，，，
求导得：，，
所以在上单调递增，
在上单调递增，
则，，
即，，
利用不等式性质可得：，
即原不等式得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）由题意，分离参数可得，构造函数，求导，利用导数判定函数的单调性，求值域，即可求参数范围；
（3）由，可得，由，可得，由（2）知在上单调递增，要证明，只需要证明，利用分析法，结合已知条件，转化为导数证明不等式即可.
（1）当时，，求导得：，
则，切线斜率，
由点斜式得切线方程：；
（2）由在有零点，因为时，
所以，
设，，
求导得：，
令，，
则，
当时，，
则在单调递增，
即，
所以当时，，
当时，，
即在上单调递增，
当时，由，
当时，，则的值域为
所以由在有零点，则，
即实数的取值范围为；
（3）由已知得：，
，
由（2）得，则，即，
由（2）知在上单调递增，
要证明，只需要证明，
又因为，所以即证明，
因为，所以只需要证明，
构造函数，，，
求导得：，，
所以在上单调递增，
在上单调递增，
则，，
即，，
利用不等式性质可得：，
即原不等式得证.
1 / 1湖南常德市石门县第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷
1．已知、，集合，，若，则（　　）
A． B． C．或 D．
2．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（　　）
A．0或1 B．或1 C．1 D．0
3．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
4．已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
7．在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．数据点P对应的残差的绝对值为5
C．该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米
D．乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好
10．已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（　　）
A． B． C．1 D．2
11．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
C．曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为
D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
12．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是　 　．
13．已知向量，，若，则函数的最小值为　 　.
14．在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为　 　.
15．已知数列满足，．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值．
16．某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单.
（1）该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率；
（2）该订单发生延迟的概率；
（3）若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率.
17．已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示．
（1）设点Q在圆锥的底面圆周上运动．
（ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）若，证明：平面．
（2）设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值．
18．已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
（1）求双曲线的方程；
（2）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
（3）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
19．已知函数
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，，且，所以，即.
若，则，此时，，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】由交集可得，且或，再检验求解即可.
2．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，
所以，解得或，
又因为函数在上单调递减，
所以，则，
所以，当时，符合条件．
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的定义得出m的值，再利用幂函数的单调性得出m的取值范围，从而得出满足要求的实数m的值.
3．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线过点，所以，解得，
则抛物线的焦点到准线的距离为2.
故答案为：C.
【分析】将点代入抛物线方程求解即可.
4．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是中的唯一最大项，
所以且，
则且，
又因为，
所以，
则的取值范围为．
故答案为：A.
【分析】根据等差数列通项公式以及前项和最值的性质建立不等式得出公差d的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的高为，则，
所以，圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出圆台的高，再利用圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
6．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，得：，
则，
令，因为，
所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
则当时，有最小值，
所以，则的最大值为.
故答案为：B.
【分析】将题中不等式变形为，构造函数，将不等式转化为恒成立问题，令，利用导数求出函数的最值，从而得出实数m的取值范围，进而得出实数m的最大值.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；三角形五心
【解析】【解答】解：由题意，可知是以A为顶角的等腰三角形，
如图所示：，，
则，
设，
则，
因为，
所以，
在直角三角形中，.
故答案为：B.
【分析】 设， 利用平面向量基本定理求出，再由余弦函数的定义得出的值.
8．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，
前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择，
因此不同取法种数为种，
按照两个红球被连续取出的情况如下：
（1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法；
（2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法；
（3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法；
（4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法，
两个红球被连续取出的方法共有种，
所求概率为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件以及古典概率公式求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、由，可得房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，故A错误；
B、代入，可得的预测值，则残差为：，故B正确；
C、，因为线性回归方程恒过点，故，
解得：，C正确；
D、决定系数越接近1，拟合效果越好，因为，故甲机构选取的模型拟合效果更好，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】由，可得房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，即可判断A；
将代入求得预测值，再利用残差的定义求解即可判断B；可利用计算，代入线性回归方程计算平均建筑面积即可判断C；决定系数越接近1，拟合效果越好，比较两个决定系数大小判断拟合效果即可判断D.
10．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，，
由，得，即函数在定义域上单调递增，
由，得，
不等式，即，解得，
则的值可能为1，2.
故答案为：CD.
【分析】构造函数，求导，利用导数确定单调性，进而求解不等式即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：A、 曲线C： ，当时，，解得或2或，三个整点，，，无解，则共有3个整点，故A错误；
B、，曲线C上往取一点到原点的距离，故B正确；
C、曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则，M在曲线C上，
则，故C正确；
D、与曲线C一定有公共点，∵与曲线C只有一个公共点，
则，∴，∴或，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 曲线C： ，令，求出整点的坐标即可判断A；利用已知和两点距离公式求解即可判断B；曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则在曲线C上即可判断C；与曲线C一定有公共点，联立直线y＝kx与曲线C解出方程的根，求得实数k的取值范围即可判断D．
12．【答案】14
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，设与交于点，
则，，，
在原图形中，，，，
所以，原图形周长是.
故答案为：14.
【分析】根据斜二测画法，将直观图还原成平面图形，再利用平行四边形的周长公式，从而得出原图形周长．
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，
因为，所以，解得，
则，，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则（或）.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求得，可得函数，求导，利用导数判断的单调性，求最小值即可.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，得：，
由正弦定理，得，
因为，所以，
则，所以，
又因为，
所以，
则，
因为，所以，
设的外接圆半径为，，
则，所以，
又因为，
所以和面积之差为：
，
因为，所以，则，
所以，当时，；
当时，；
当时，，
则和面积之差的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由等差中项公式和正弦定理求出角，利用辅助角公式，将变形，利用正弦定理得出的值，再将面积差用外接圆半径和角表示，从而化为二次函数形式，结合角的取值范围求解即可.
15．【答案】（1）证明：由，变形可得且，
则数列是首项为1，公差为的等差数列，，
故数列的通项公式是；
（2）解：由（1）得，
设，则，，
当时，
，
由题意可得单调递增，且当时，，得到，
由，可知符合题设条件的m的最小值为9．
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）原式变形可得，易知数列是首项为1，公差为的等差数列，利用等差数列的定义求解通项公式即可；
（2）由（1）得，设，利用裂项相消法求和，再结合的特点求解m的最小值即可.
（1）由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列，
所以．故的通项公式是．
（2）由（1）得．
设，则，．
当时，
，
由题意可得单调递增，且当时，，得到．
由，可知符合题设条件的m的最小值为9．
16．【答案】（1）解：设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ，
由题意可知，，
可得，
所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为；
（2）解：由题意可得
，
则该订单发生延迟的总概率；
（3）解：由题意可得，
则订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，利用条件概率公式求解即可；
（2）利用全概率公式求解即可；
（3）利用条件概率公式求解即可.
（1）设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ，
由题意可知，，
可得，
所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为．
（2）由题意可得
，
所以该订单发生延迟的总概率．
（3）由题意可得，
所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为．
17．【答案】（1）解：（ⅰ）由平面，可得为平面的法向量，
设直线和平面所成角为，则，
因为平面，
所以直线和平面所成角的正弦值为；
（ⅱ）证明：因为，
因为圆锥底面圆的半径，所以，
所以，结合可知共线，所以平面，
下面证明平面平面，
由于，结合平面，平面，
所以平面，由于，显然，
所以为平行四边形，所以，
结合平面，平面，所以平面，
由于为平面中的两条相交直线，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
设，则在圆锥侧面上，的夹角余弦值为，
即①，
设平面的法向量为，由，
在平面上②，，结合①②可得，
，
取等条件，则的最小值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）（ⅰ）由平面，可得为平面的法向量，直线和平面所成角为，利用线面的夹角公式求出的值，从而得直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）根据勾股定理求得，再利用线面平行的判定定理证明平面平面，最后利用平面与平面平行的性质证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，设，由在圆锥侧面上可转化为与的夹角余弦值为，利用向量法求出平面的法向量，结合求的最小值即可.
（1）（ⅰ）解：由于平面，所以为平面的法向量，
设直线和平面所成角为，则，
因为平面，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
（ⅱ）证明：因为，
因为圆锥底面圆的半径，所以，
所以，结合可知共线．所以平面．
下面证明平面平面，
由于，结合平面，平面，
所以平面，由于，显然，
所以为平行四边形，所以，
结合平面，平面，所以平面，
由于为平面中的两条相交直线，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）以为原点，建立如图坐标系，此时，，，，，
设，则在圆锥侧面上，的夹角余弦值为，
即①，
设平面的法向量为，由，
在平面上②，，结合①②可得，
，
取等条件，所以的最小值为．
18．【答案】（1）解：由题意的焦距为，双曲线的焦距是，
设双曲线：，可得，，
则双曲线：；
（2）解：不妨设：，设：，
联立：，解得：，
联立，解得：，
联立，解得：，
从而；
（3）证明：延长，分别交渐近线于，两点，如图所示：
由（2）可知，
因为四边形是平行四边形，，所以，
设，，
则：，与：联立，解得，同理求得：，
故，
设的倾斜角为，则，而，
故，
则，因此.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知双曲线的焦距是，设：，根据焦距为，可得，求得，即可得双曲线的方程；
（2）不妨设：，设：，联立方程组求得点，，的横坐标，计算可得的值即可；
（3）延长，分别交渐近线于，两点，由（2）可知，结合（1）可得，设，求得直线的方程，联立求得，同理可得，可得，设的倾斜角为，可得，再利用面积公式求的面积即可.
（1）由题意的焦距为，双曲线的焦距是，
设：，所以：，.
：
（2）不妨设：，设：，
联立：，解得：
联立，解得：
联立，解得：，
从而.
（3）如图，延长，分别交渐近线于，两点，
由（2）可知，
因为四边形是平行四边形，，
所以，
设，
则：，与：联立，
解得，同理求得：，
故，
设的倾斜角为，则，而，
故，
则，因此.
19．【答案】（1）解：当时，函数，求导得：，
则，切线斜率，
由点斜式得切线方程：；
（2）解：由在有零点，因为时，所以，则，
设，，求导可得，
令，，
则，
当时，，
则在单调递增，
即，
所以当时，，
当时，，
即在上单调递增，
当时，由，
当时，，则的值域为
所以由在有零点，则，
即实数的取值范围为；
（3）证明：由已知得：，
，
由（2）得，则，即，
由（2）知在上单调递增，
要证明，只需要证明，
又因为，所以即证明，
因为，所以只需要证明，
构造函数，，，
求导得：，，
所以在上单调递增，
在上单调递增，
则，，
即，，
利用不等式性质可得：，
即原不等式得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）由题意，分离参数可得，构造函数，求导，利用导数判定函数的单调性，求值域，即可求参数范围；
（3）由，可得，由，可得，由（2）知在上单调递增，要证明，只需要证明，利用分析法，结合已知条件，转化为导数证明不等式即可.
（1）当时，，求导得：，
则，切线斜率，
由点斜式得切线方程：；
（2）由在有零点，因为时，
所以，
设，，
求导得：，
令，，
则，
当时，，
则在单调递增，
即，
所以当时，，
当时，，
即在上单调递增，
当时，由，
当时，，则的值域为
所以由在有零点，则，
即实数的取值范围为；
（3）由已知得：，
，
由（2）得，则，即，
由（2）知在上单调递增，
要证明，只需要证明，
又因为，所以即证明，
因为，所以只需要证明，
构造函数，，，
求导得：，，
所以在上单调递增，
在上单调递增，
则，，
即，，
利用不等式性质可得：，
即原不等式得证.
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