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广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高考考前适应性考试数学试卷
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A． B．1 C． D．
3．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（　　）
A． B．1 C． D．3
4．已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （　　）
A． B． C．5 D．10
5．已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（　　）
A．40%分位数 B．60%分位数 C．75%分位数 D．85%分位数
8．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（　　）.
A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①②
9．设数列的前n项和为．下列说法正确的是（　　）
A．若是等差数列，且，，则公差为2
B．若，，则数列是等差数列
C．若是等比数列，且，公比，，则
D．若是等比数列，且，则公比为
10．已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（　　）
A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为
C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为
12．若直线与曲线相切，则实数的值为　 　.
13．在中，，，，则　 　.
14．某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是　 　.
15．已知数列满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）设函数，求．
16．已知函数，为的导函数．
（1）求的单调区间；
（2）记，．当时，证明：．
17．如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
18．某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元.
（1）求顾客第2次取出红球的概率.
（2）记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X).
（3）该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案 请说明理由.
19．已知双曲线E的方程为，是一个定点．
（1）若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；
（2）若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．
（i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；
（ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合中元素是非负实数，而集合中元素是直线上的点，所以.
故答案为：C.【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算，结合复数的乘方运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
当时，，
则，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用函数的奇偶性的性质和已知条件，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量 在向量 上的投影向量为，
因为，所以，代入可得：
，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算求即可.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：若点在圆外，则，所以，
若点在圆外，则，所以，
显然是的真子集，
故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据点与圆的位置关系分别求点，点在圆外时，的取值范围，再根据集合的包含关系，以及充分、必要条件定义判断即可.
6．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：设，
令，得；
令，得；
故．
故答案为：A.
【分析】利用赋值法求解即可.
7．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由表格可知，分数段的占比为，分数段的占比为，该区间的分数范围是分，
110分与90分的差值为分，因此分在的占比为：，
将低于分的占比与分在区间内的占比相加，即110分对应的百分位数为第百分位数.
故答案为：B.
【分析】根据扇形图，结合百分位数的定义求解即可.
8．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：当，且时，，因此0是任何数域的元素，故①正确；
当，且时，由数域的定义知，
因此，故②正确；
当时，，故③错误；
如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，故④正确.
故答案为：A.
【分析】当，且时，结合数域的定义即可判断①；当，且时，根据数域的定义即可判断②；取特殊值即可判断③；如果，那么，且当时，即可判断④.
9．【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、，解得，，故A错误；
B、，，计算得，，数列为常数列，常数列是公差为的等差数列，故B正确；
C、等比数列前项和公式：，代入得：，化简：，，解得，，则，故C正确；
D、若数列的公比，则，矛盾，故，
由已知，解得，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的求和公式求公差即可判断A；根据递推式求出数列的前几项，结合等差数列的定义即可判断B；利用等比数列求和公式求得、，再求通项即可判断C；根据等比数列和的比值化简得，求出公比为即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、根据三角函数定义得，，故A正确；
B、由二倍角公式得，故B错误；
C、由，故C正确；
D、因为角的终边过点，所以，
解得，
当时，，，，
由两角和的正弦公式得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可判断A；根据余弦的二倍角公式求解即可判断B；根据同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式求解即可判断C；根据正弦的两角和公式求解即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意底面半径为1，圆锥高，
A、为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的，
即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确；
B、在圆锥的轴截面中，作，垂足为，如图所示：
为母线的中点，，，
椭圆的长轴长，故B错误；
C、设抛物线与底面圆的一个交点为，
以为原点，为x轴，在平面中，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，
设抛物线方程为，则，解得，
则抛物线的焦点到准线的距离为，故C错误；
D、如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，
则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为，
设双曲线方程为，
则，将代入双曲线方程得，解得，
所以，故双曲线的离心率为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意底面半径为1，圆锥高，根据为母线的中点，可得截面圆的半径为，求圆的面积即可判断A；圆锥的轴截面中，作，垂足为，求椭圆的长轴长即可判断B；建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程即可判断CD.
12．【答案】5
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点，
由，得，
则，整理得，解得或（舍去），
即，切点为，
将代入直线方程得，解得．
故答案为：5.
【分析】设切点，函数求导，利用导数几何意义求得切点为，再将代入直线方程求解即可.
13．【答案】3
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由，可得，
由正弦定理，得：，则，
解得，
由余弦定理，得：，
整理得：，
则，
解得舍去或.
故答案为：
【分析】由已知条件和同角三角函数的基本关系式，从而得出的值，再由正弦定理得出BC的长，再根据余弦定理j结合边长的取值范围，从而得出AC的长.
14．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”，
事件“两名去年参赛的都被选中”，
则，，
则，
即所求概率为．
故答案为：.
【分析】先记事件，根据古典概型概率公式以及对立事件的概率公式、条件概率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由，可得，
显然，则，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，则，即；
（2）解：易知，
则
．
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）递推式，变形可得，推出数列是首项为，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可；
（2）求导，将和代入函数，利用裂项相消法求和，即可得．
（1）由已知得，
显然，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即.
（2）由题意知，
所以
．
16．【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，得，得，
令，得，得，
则单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：易知，记，
由题意知，则，
从而，
当时，，，则，
因此，在区间上单调递减，，
当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）易知，记，求导，利用导数判断函数在上的单调性，可得，证得结论成立即可.
（1）依题意，有．
令，得，得，
令，得，得．
因此单调递增区间为，
单调递减区间为．
（2）略
17．【答案】（1）证明：易知，是等腰直角三角形，，
由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以，
因为，，平面，则平面，
而平面，则，
因为，则，所以，
，，
所以，
所以，即，
因为，，，，平面，所以平面，
又平面，故平面平面；
（2）解：由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
由（1）知平面，故平面的一个法向量是，
设是平面的一个法向量，
则，取，可得
设平面与平面夹角为，，
则平面与平面夹角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）易知，是等腰直角三角形，，根据圆柱的特征结合勾股逆定理先证，，再由线线垂直得线面垂直，最后根据线面垂直的性质证明即可；
（2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）略
（2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
由（1）知平面，故平面的一个法向量是，
设是平面的一个法向量，
则有，取，可得
设平面与平面夹角为，
所以，
则平面与平面夹角的大小为.
18．【答案】（1）解：设＂第1次取出红球＂为事件 ，设＂第2次取出红球＂为事件 ，则，
若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ，
若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ，
由全概率公式得：，
则顾客第2次取出红球的概率为；
（2）解：由题意知， 的可能取值为0，20，40；
，
，
，
的分布列为：
0 20 40
；
（3）解：设顾客甲获得奖励的总金额为 元，易知 的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为：
0 6 12 18
，
因为 ，所以顾客甲应该选择新增抽奖方案.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据全概率公式求解即可；
（2）由题意知， 的可能取值为0，20，40，求得相应的概率，写出离散型随机变量求出 的分布列，再根据期望公式求解即可；
（3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，易知 的可能取值为，求得相应的概率，列离散型随机变量的分布列，再根据期望公式求的期望，比较判断即可.
（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则，
设＂第2次取出红球＂为事件 ，
若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ，
若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ，
由全概率公式得：
答：顾客第2次取出红球的概率为 .
（2）由题意知， 的可能取值为0，20，40；
，
，
所以 的分布列为：
0 20 40
，
（3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。
由题意， 的可能取值为。
，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 6 12 18
，
因为 ，
所以顾客甲应该选择新增抽奖方案.
19．【答案】（1）解：易知双曲线E的渐近线方程为，
若点M在双曲线E的渐近线上，则，
即；
（2）解：（i） 设P，Q的坐标分别为，，易知，
因为P，Q在双曲线E上，所以，
作差可得，即，
因为M是的重心，所以，即，，
又因为直线PQ的斜率为2，所以，即，代入，解得，
则双曲线E的方程为；
（ii）证明：因为，当直线PQ不垂直于y轴，设直线PQ的方程为，
代入，化简得，
所以，
因为，所以，即，
即，
化简得，
所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切；
当直线PQ垂直于y轴，易得，直线PQ也与该圆相切；
所以存在定圆与直线PQ相切.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）易知双曲线E的渐近线方程为，将点M代入渐近线，结合离心率公式求解即可；（2）（i） 由点M为双曲线上一定点，可得，设P、Q的坐标分别为，，将点P、Q坐标代入双曲线，利用作差法结合重心的性质求解即可；
（ii）设直线PQ的方程为，联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，结合，点到直线的距离公式化简看是否能求出一个定圆.
（1）双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上，
则，所以；
（2）设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上，
所以，
（i）因为P，Q在双曲线E上，所以，
作差可得，即，
因为M是的重心，所以，即，，
又因为直线PQ的斜率为2，所以，即，
代入解得，
所以双曲线E的方程为；
（ii）略
1 / 1广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高考考前适应性考试数学试卷
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合中元素是非负实数，而集合中元素是直线上的点，所以.
故答案为：C.【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．若，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算，结合复数的乘方运算求解即可.
3．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
当时，，
则，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用函数的奇偶性的性质和已知条件，从而得出的值.
4．已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （　　）
A． B． C．5 D．10
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量 在向量 上的投影向量为，
因为，所以，代入可得：
，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算求即可.
5．已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：若点在圆外，则，所以，
若点在圆外，则，所以，
显然是的真子集，
故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据点与圆的位置关系分别求点，点在圆外时，的取值范围，再根据集合的包含关系，以及充分、必要条件定义判断即可.
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：设，
令，得；
令，得；
故．
故答案为：A.
【分析】利用赋值法求解即可.
7．在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（　　）
A．40%分位数 B．60%分位数 C．75%分位数 D．85%分位数
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由表格可知，分数段的占比为，分数段的占比为，该区间的分数范围是分，
110分与90分的差值为分，因此分在的占比为：，
将低于分的占比与分在区间内的占比相加，即110分对应的百分位数为第百分位数.
故答案为：B.
【分析】根据扇形图，结合百分位数的定义求解即可.
8．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（　　）.
A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①②
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：当，且时，，因此0是任何数域的元素，故①正确；
当，且时，由数域的定义知，
因此，故②正确；
当时，，故③错误；
如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，故④正确.
故答案为：A.
【分析】当，且时，结合数域的定义即可判断①；当，且时，根据数域的定义即可判断②；取特殊值即可判断③；如果，那么，且当时，即可判断④.
9．设数列的前n项和为．下列说法正确的是（　　）
A．若是等差数列，且，，则公差为2
B．若，，则数列是等差数列
C．若是等比数列，且，公比，，则
D．若是等比数列，且，则公比为
【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、，解得，，故A错误；
B、，，计算得，，数列为常数列，常数列是公差为的等差数列，故B正确；
C、等比数列前项和公式：，代入得：，化简：，，解得，，则，故C正确；
D、若数列的公比，则，矛盾，故，
由已知，解得，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的求和公式求公差即可判断A；根据递推式求出数列的前几项，结合等差数列的定义即可判断B；利用等比数列求和公式求得、，再求通项即可判断C；根据等比数列和的比值化简得，求出公比为即可判断D.
10．已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、根据三角函数定义得，，故A正确；
B、由二倍角公式得，故B错误；
C、由，故C正确；
D、因为角的终边过点，所以，
解得，
当时，，，，
由两角和的正弦公式得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可判断A；根据余弦的二倍角公式求解即可判断B；根据同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式求解即可判断C；根据正弦的两角和公式求解即可判断D.
11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（　　）
A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为
C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为
【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意底面半径为1，圆锥高，
A、为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的，
即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确；
B、在圆锥的轴截面中，作，垂足为，如图所示：
为母线的中点，，，
椭圆的长轴长，故B错误；
C、设抛物线与底面圆的一个交点为，
以为原点，为x轴，在平面中，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，
设抛物线方程为，则，解得，
则抛物线的焦点到准线的距离为，故C错误；
D、如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，
则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为，
设双曲线方程为，
则，将代入双曲线方程得，解得，
所以，故双曲线的离心率为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意底面半径为1，圆锥高，根据为母线的中点，可得截面圆的半径为，求圆的面积即可判断A；圆锥的轴截面中，作，垂足为，求椭圆的长轴长即可判断B；建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程即可判断CD.
12．若直线与曲线相切，则实数的值为　 　.
【答案】5
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点，
由，得，
则，整理得，解得或（舍去），
即，切点为，
将代入直线方程得，解得．
故答案为：5.
【分析】设切点，函数求导，利用导数几何意义求得切点为，再将代入直线方程求解即可.
13．在中，，，，则　 　.
【答案】3
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由，可得，
由正弦定理，得：，则，
解得，
由余弦定理，得：，
整理得：，
则，
解得舍去或.
故答案为：
【分析】由已知条件和同角三角函数的基本关系式，从而得出的值，再由正弦定理得出BC的长，再根据余弦定理j结合边长的取值范围，从而得出AC的长.
14．某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”，
事件“两名去年参赛的都被选中”，
则，，
则，
即所求概率为．
故答案为：.
【分析】先记事件，根据古典概型概率公式以及对立事件的概率公式、条件概率公式求解即可.
15．已知数列满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）设函数，求．
【答案】（1）解：由，可得，
显然，则，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，则，即；
（2）解：易知，
则
．
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）递推式，变形可得，推出数列是首项为，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可；
（2）求导，将和代入函数，利用裂项相消法求和，即可得．
（1）由已知得，
显然，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即.
（2）由题意知，
所以
．
16．已知函数，为的导函数．
（1）求的单调区间；
（2）记，．当时，证明：．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，得，得，
令，得，得，
则单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：易知，记，
由题意知，则，
从而，
当时，，，则，
因此，在区间上单调递减，，
当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）易知，记，求导，利用导数判断函数在上的单调性，可得，证得结论成立即可.
（1）依题意，有．
令，得，得，
令，得，得．
因此单调递增区间为，
单调递减区间为．
（2）略
17．如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
【答案】（1）证明：易知，是等腰直角三角形，，
由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以，
因为，，平面，则平面，
而平面，则，
因为，则，所以，
，，
所以，
所以，即，
因为，，，，平面，所以平面，
又平面，故平面平面；
（2）解：由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
由（1）知平面，故平面的一个法向量是，
设是平面的一个法向量，
则，取，可得
设平面与平面夹角为，，
则平面与平面夹角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）易知，是等腰直角三角形，，根据圆柱的特征结合勾股逆定理先证，，再由线线垂直得线面垂直，最后根据线面垂直的性质证明即可；
（2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）略
（2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
由（1）知平面，故平面的一个法向量是，
设是平面的一个法向量，
则有，取，可得
设平面与平面夹角为，
所以，
则平面与平面夹角的大小为.
18．某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元.
（1）求顾客第2次取出红球的概率.
（2）记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X).
（3）该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案 请说明理由.
【答案】（1）解：设＂第1次取出红球＂为事件 ，设＂第2次取出红球＂为事件 ，则，
若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ，
若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ，
由全概率公式得：，
则顾客第2次取出红球的概率为；
（2）解：由题意知， 的可能取值为0，20，40；
，
，
，
的分布列为：
0 20 40
；
（3）解：设顾客甲获得奖励的总金额为 元，易知 的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为：
0 6 12 18
，
因为 ，所以顾客甲应该选择新增抽奖方案.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据全概率公式求解即可；
（2）由题意知， 的可能取值为0，20，40，求得相应的概率，写出离散型随机变量求出 的分布列，再根据期望公式求解即可；
（3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，易知 的可能取值为，求得相应的概率，列离散型随机变量的分布列，再根据期望公式求的期望，比较判断即可.
（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则，
设＂第2次取出红球＂为事件 ，
若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ，
若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ，
由全概率公式得：
答：顾客第2次取出红球的概率为 .
（2）由题意知， 的可能取值为0，20，40；
，
，
所以 的分布列为：
0 20 40
，
（3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。
由题意， 的可能取值为。
，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 6 12 18
，
因为 ，
所以顾客甲应该选择新增抽奖方案.
19．已知双曲线E的方程为，是一个定点．
（1）若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；
（2）若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．
（i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；
（ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．
【答案】（1）解：易知双曲线E的渐近线方程为，
若点M在双曲线E的渐近线上，则，
即；
（2）解：（i） 设P，Q的坐标分别为，，易知，
因为P，Q在双曲线E上，所以，
作差可得，即，
因为M是的重心，所以，即，，
又因为直线PQ的斜率为2，所以，即，代入，解得，
则双曲线E的方程为；
（ii）证明：因为，当直线PQ不垂直于y轴，设直线PQ的方程为，
代入，化简得，
所以，
因为，所以，即，
即，
化简得，
所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切；
当直线PQ垂直于y轴，易得，直线PQ也与该圆相切；
所以存在定圆与直线PQ相切.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）易知双曲线E的渐近线方程为，将点M代入渐近线，结合离心率公式求解即可；（2）（i） 由点M为双曲线上一定点，可得，设P、Q的坐标分别为，，将点P、Q坐标代入双曲线，利用作差法结合重心的性质求解即可；
（ii）设直线PQ的方程为，联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，结合，点到直线的距离公式化简看是否能求出一个定圆.
（1）双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上，
则，所以；
（2）设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上，
所以，
（i）因为P，Q在双曲线E上，所以，
作差可得，即，
因为M是的重心，所以，即，，
又因为直线PQ的斜率为2，所以，即，
代入解得，
所以双曲线E的方程为；
（ii）略
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