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2026年广西壮族自治区贺州市九年级中考模拟数学试题
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列汽车车标图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．分式有意义,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心
5．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．小明在处理一组数据“12，12，28，35，20，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
8．以下计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，点是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
11．在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟．设这两次该校每天作业平均时长的下降率为，则可列方程为（）
A． B．
C． D．
12．如图，折叠正方形的一边，使点C落在上的点F处，折痕交于点G．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．________．
14．直线与直线的交点坐标为________．
15．有四张正面分别标有汉字“美”、“丽”、“贺”、“州”的卡片，它们除汉字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的汉字能组成“美丽”的概率是________．
16．如图，矩形中，，，为矩形的对称中心，为上一点，且，则的长为________．
三、解答题
17．计算及解方程
(1)计算：；
(2)解方程：．
18．如图，中，，，
(1)利用尺规作图，作出的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求的长．
19．近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，凤中教共体学校组织七、八年级学生开展“灵动数据·智汇”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该教共体学校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理（共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），成绩在90以上（含90分）为优秀．下面给出了部分信息：
七年级两组同学的成绩分别为：94，93，93，93，90，89，89，88，85；
八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86．
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 88 93
八年级 88 88
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，______，_______；
(2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有480人，请估计该校七、八年级成绩为级的学生共有多少人．
20．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
21．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
22．根据以下素材，探索完成任务．
问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动．
素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米．
素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
问题解决
任务 设此抛物线的解析式为，求的值．
任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由．
23．综合与实践
【概念理解】
定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．
(1)如图①，在菱形中，，只连接对角线．则四边形________双等腰四边形（填“是”或“不是”）
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，若点在对角线上，四边形为双等腰四边形，求的度数．
【拓展应用】
(3)如图②，是矩形内一点，是边上一点，四边形是双等腰四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长．
参考答案
1．B
【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合要求；
B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
C、是整数，属于有理数，不符合要求；
D、是分数，属于有理数，不符合要求．
2．D
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
3．A
【详解】分式有意义,则x+1≠0,即.
故选:A
4．C
【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径，
∴该点在圆外．
5．B
【详解】解：，
移项得，
即不等式的解集为.
6．C
【详解】解：设被污染的数据为，原数据除外从小到大排序为，这组数据共有个，
因此中位数为排序后第个和第个数的平均数，
在之间，
无论取何值，排序后第个数恒为，第个数恒为，
中位数恒为，不发生变化，C正确；
平均数随改变，总和发生变化，因此平均数改变，A错误；
若，众数变为和，发生改变，B错误；
方差随数据和平均数改变，因此方差改变，D错误．
7．D
【详解】解：过点作，
，
，
，，
，，
，
，
故选：D．
8．A
【详解】对选项A：， A计算正确；
对选项B：与不是同类项，不能合并， B计算错误；
对选项C：， C计算错误；
对选项D：， D计算错误．
9．D
【详解】解：点是反比例函数的图像上的一点，
设，
的面积为，
，
即，
故选：D．
10．A
【详解】解：∵半径于点D，
∴，
由圆的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴．
11．C
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
12．B
【详解】解：设与交于点，如图，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，．
13．2
【详解】解：．
14．
【详解】解：联立两条直线的解析式得，
解得，
∴直线与直线的交点坐标为．
15．
【详解】解：将标有“美”、“丽”、“贺”、“州”的四张卡片分别用、、、表示，
列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
由表格可得，共有种等可能的结果，其中取出的两张卡片上的汉字能组成“美丽”的结果有种，
∴取出的两张卡片上的汉字能组成“美丽”的概率是．
16．
【详解】解：矩形中，，，
，，
，
，
，
，
过点E作于点G，
∵四边形是矩形，
，
，
∴，
∴，
为矩形的对称中心，
∴，
∴，
，
∴，
;
17．(1)；
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
解得，
检验：当时，，，
∴是原方程的解．
18．(1)
(2)
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
设，
∵是的垂直平分线，
∴，
在中，，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
19．(1)，88，40
(2)
解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好．
理由：由表格可知，在平均数相同时，七年学生的竞赛成绩中的中位数、众数、优秀率均高于八年级学生的．（理由不唯一，合理即可）
(3)人
【详解】（1）解：由条件可知七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为C组按从大到小的倒数第2和第3个数据（即88与89）的平均数，
，
88出现的次数最多，出现5次，所占的百分比为，
∴．
，
故答案分别为：，88，40．
（2）略
（3）解：由题意可得，（人）
答：七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生成绩为A级的共有159人．
20．
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）BC=2.
【详解】（1）略
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=2．
考点：切线的判定
21．(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
(2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
22．任务：；
任务，不能．理由如下：
由任务知，该抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米，
∵，
∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过．
【详解】解：任务：由题意可知，，，．
把，代入，得，
，
解得：，
任务：略
23．(1)不是
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴是等腰三角形，
但是不是这两个等腰三角形的腰，
∴四边形不是双等腰四边形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵点在对角线上，四边形为双等腰四边形，
∴，
∴；
（3）解：在矩形中，
过点作于点，延长交于点，则，

∵，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，，；
设，，
则，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．

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