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浙江省绍兴鲁迅中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题
1．两平行直线和之间的距离为（　　）
A． B．2 C． D．3
2．在四棱柱中，设，，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知点为坐标原点，且，则（　　）
A．36 B． C．6 D．
4．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（　　）
A． B． C． D．
5．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
8．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（　　）
A．直线与直线AF垂直
B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形
D．点C和点G到平面AEF的距离相等
二、多选题
9．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若，则向量，的夹角是锐角
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（　　）
A．平面上存在定点使得的长度为定值
B．的最大值为
C．的最大值为
D．点到直线的距离的最大值为
11．如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．当时，若，则
C．当时，直线与直线所成角的大小为
D．当时，三棱锥的体积的最大值为
三、填空题
12．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则　 　．
13．，其中，，则二元函数的最小值为　 　
14．已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是　 　.
四、解答题
15．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
16．已知平面内两点，．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
17．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
18．如图，已知AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B'C，如图，将B'DH沿边DH翻折至BDH.
（1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B-DCH的体积.
19．已知两条直线，
（1）若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时，有最小值，并求此时的方程；
（2）若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值；
（3）设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：平行直线和之间的距离.
故答案为：A.
【分析】利用平行直线间的距离公式计算得出两平行直线和之间的距离.
2．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如图，连接，
则，，
，所以.
故答案为：C
【分析】作图，以，， 作为基底向量，先表示出 ，然后再结合空间向量的线性运算，最后表示出即可.
3．【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以．
又因为，解得，所以，
则，所以．
故答案为：.
【分析】根据和数量积的坐标表示，从而求出的值，再利用向量的模长公式，从而得出的值.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意可得：平面的法向量，
在平面上任取一点，则，
故点到平面距离
故答案为：A.
【分析】由题意，先求平面的法向量，再根据向量法求解点面距离即可.
5．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】因为直线与直线互相垂直，所以，解得.
故直线即为，直线即为.由，解得，
则这两条直线的交点坐标为.
故答案为：A.
【分析】首先根据两直线垂直得到，再联立两条直线的方程，解二元一次方程组即可求交点坐标.
6．【答案】D
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：将直线方程化为，
则此直线过直线和直线的交点，
由
解得
因此，所求定点为．
故答案为：D．
【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，再联立方程组得出定点坐标.
7．【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为点，则，且，
所以，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C
【分析】首先由A、B两点进行求解，再根据空间向量的线性运算求解，然后结合投影向量的公式，利用空间向量的数量积、模长公式进行计算，即可得到结果.
8．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A、若，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，这不成立，所以假设错误，A不符合题意.
B、的中点，连接，，，因为E，F，G分别为，，的中点，所以，，，，所以，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，因为平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面，B符合题意．
C、如图所示，连接，延长，交于，由选项可知，，因为，，所以，，所以四点共面，所以梯形为截面，C不符合题意.
D、记点C与点G到平面的距离分别为，假设正方体边长为1．，，所以，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】对于A，可以先假设直线与直线垂直，然后进行推理，从而得出两者之间矛盾即可判断；
对于B，的中点，作辅助线，结合面面平行的判定可得平面平面，再根据面面平行的性可得结论，即可判断；
对于C，进行连接，延长，交于，可得四点共面，从而可得截面；
对于D，利用等体积法求解点到面的距离判断.
9．【答案】B,C
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算；异面直线
【解析】【解答】解：A、若，则向量，的夹角为零或锐角，故A错误；
B、根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确；
C、，且，则四点共面，故C正确；
D、分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量夹角和数量积的关系即可判断A；根据空间向量共面定理即可判断B；由题意，根据四点共面即可判断C；根据异面直线的平行线即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；两条直线垂直的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：易知直线恒过点，
直线恒过定点，
因为两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以，所以当为中点时，，故A正确；
因为，所以，又因为，
所以，，
故，当且仅当取等号，故B正确，C错误；
设到直线的距离为，由于，
则，故最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求直线恒过的定点，结合两直线垂直，根据直角三角形的性质求解即可判断A；根据基本不等式求解即可判断BC；根据三角形面积公式结合不等式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、当时，分别是线段和线段的中点，也是的中点，
则，故A正确；
B、当时，，
即，，，满足，故B正确；
C、过作交于，如图所示：
易知面，则与直线成角即为，
当时，，在中，
则，
，即，故C错误；
D、易知是正三角形，
三棱锥体积为
，
当且仅当，即时等号成立，即三棱锥的体积的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的相关知识分析判断即可.
12．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为为空间两两夹角都是的三个单位向量，所以
.
故答案为：
【分析】求模长可以利用平方的方法，再根据空间向量的运算求得正确答案，注意平方后别忘开方.
13．【答案】7
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：，，在由直线、、、围成的矩形区域内（含边界），如图所示：
因为
所以二元函数表示动点到定点，，，距离的和，
在矩形边界及内部任取点，连接，，，，，
于是有，当且仅当点在线段上时取等号，
，当且仅当点在线段上时取等号，
于是，
当且仅当点是线段与的交点时取等号，
又，所以直线为，即，
显然直线与轴的交点为在线段上，即当时，的最小值为7.故答案为：．
【分析】由题意先将问题转化为动点到定点，，，距离的和，再建立直角坐标系，利用数形结合思想求解即可．
14．【答案】4
【知识点】空间向量基本定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
不妨令，
则，
又因为，
所以，点共面，
则.
故答案为：.
【分析】利用空间向量基本定理和向量共线定理以及四点共面的判断方法，则得出点共面，再结合棱锥的体积与棱锥的体积关系与三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积.
15．【答案】（1）解：因为为的重心，为边的中点，
所以
，
所以
（2）解：因为分别为边和的中点，
所以
（3）解：
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【分析】（1）由为的重心 ，所以G是BE的三等分点且靠近E点，可根据向量共线以及空间向量的线性运算进行化简即可；
（2）由H为BC的中点，利用平行四边形法则得到：，再利用共线定理，以及三角形法则即可；
（3）进行转化，然后再结合三角形法则，再利用共线定理进行化简即可.
（1）解：因为为的重心，为边的中点，
所以
，
所以
（2）解：因为分别为边和的中点，
所以
（3）解：
16．【答案】（1）解：由题意，得，
则直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）解：因为的中点坐标为，
由（1）可知，线段垂线的斜率为，
所以，线段垂直平分线的方程为，即，
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以，点在直线上，
则设点为，
由，可得：，
解得或，
所以，点坐标为或，
则直线的方程为或．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直，则两直线的斜率乘积为，从而得出直线的斜率，再根据点斜式方程得出过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）利用中点坐标公式得出的中点坐标，再利用（1）得出线段垂线的斜率，再根据点斜式方程得出线段垂直平分线的方程，再由等腰直角三角形的结构特征得出点在直线上，设点为，再根据等腰直角三角形两直角边垂直，则所在直线斜率存在，再由两直线斜率之积为建立方程得出a的值，从而得出点C的坐标，进而得出直线的方程．
（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
17．【答案】（1）证明：连接，并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，
所以平面，平面，
则、，
又因为，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
则，，
所以
则，
所以，
则点为的中点，
又因为点为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面
（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，
又因为，
所以，
则，，
所以，
则，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，
则，、
令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以，
则，
设二面角的大小为，
则，
所以，
则二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据线面垂直的定义得出线线垂直，再利用三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，从而得到点为的中点，再利用中位线定理得到，再根据线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）利用已知条件建立适当的空间直角坐标系，再利用勾股定理得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：存在点F满足题意，且，理由如下：在图甲中，取B'C的中点M，连接AM，如图所示
因为AB'C是等边三角形， B'C的中点为M，所以，
因为DH⊥B'C，所以AM∥DH，在图乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，
所以AM∥平面BDH，且；在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示
因为，所以MF∥BH，又因为平面BDH，平面BDH，
所以MF∥平面BDH，又因为MFAM=M，MF，AM平面AMF，所以平面AMF//平面BDH，
又因为AF平面AMF，所以AF∥平面BDH.
（2）在图中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB 平面BHC，
所以DH⊥平面BHC，以H为原点建立的空间直角坐标系，如图所示
则H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），
设，则，
，，
设平面BDA的法向量为则
，即，
令，则，，
所以，
易知平面BHC的一个法向量
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，
所以，
化简整理得：，
所以，，，
所以B（，0，），
所以三棱锥B-DCH的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥的体积为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三线合一可得，根据H，D分别为AB' 和B' M中点，可知中位线得到M∥DH，再利用线面平行的判定定理可得到AM∥平面BDH，再根据线段成比例，可以得到MF∥BH，利用线面平行的判定定理可得到MF∥平面BDH，再有面面平行的判定定理，可得到平面AMF//平面BDH，最后再利用面面平行的性质定理（两个平面平行，一个平面内的线平行于另一个平面）即可得到AF∥平面BDH.
（2）根据已知题目的条件DH⊥HC，DH⊥HB结合线面垂直的判定定理（一条线垂直于平面内的两条相交的直线，则线面垂直）得到DH⊥平面BHC，再进行建立空间直线坐标系，然后写出相关点的坐标，设表示出B点坐标，分别表示，，求出平面BDA的法向量，由y轴垂直于平面BHC，即可表示法向量 ，然后再通结合向量的夹角公式求出，，表示出点B坐标，求解出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式即可求解.
（1）存在点F满足题意，且，理由如下：
在图甲中，取B'C的中点M，连接AM，如图所示
因为AB'C是等边三角形， B'C的中点为M，
所以，
因为DH⊥B'C，
所以AM∥DH，
在图乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，
所以AM∥平面BDH，且；
在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示
因为，
所以MF∥BH，
又因为平面BDH，平面BDH，
所以MF∥平面BDH，
又因为MFAM=M，MF，AM平面AMF，
所以平面AMF//平面BDH，
又因为AF平面AMF，
所以AF∥平面BDH.
（2）在图中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB 平面BHC，所以DH⊥平面BHC，以H为原点建立的空间直角坐标系，如图所示
则H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），
设，则，
，，
设平面BDA的法向量为则
，即，
令，则，，
所以，
易知平面BHC的一个法向量
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，
所以，
化简整理得：，
所以，，，
所以B（，0，），
所以三棱锥B-DCH的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥的体积为.
19．【答案】（1）解：由直线，
令，
得，
则直线恒过定点，
所以，
当且仅当时，最小值为9，此时直线.
（2）解：由直线，知直线恒过定点，
因为分别与轴交于两点，且，
则又因为函数在上单调递增且，
则当时，面积.
（3）解：由，可得，
因为均恒过定点，
设直线，
由，
，
设直线交轴于点，
因为，
所以
，
又因为，
所以，
则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程；恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意结合赋值法求出点A、B、P的坐标，再利用两点间的距离公式和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值和此时的a的值，并求出此时直线l的方程.
（2）根据题意求出直线与x轴的交点A的坐标和直线与y轴的交点B的坐标，再利用三角形面积公式可得，再结合二次函数求最值的方法，从而得出这个四边形面积的最大值.
（3）当时，分别求出两直线、的方程，设直线MN方程，再联立直线方程和联立直线方程分别求出点M坐标和点N坐标，再结合图形和三角形面积公式，从而可得，再由k的取值范围和函数求值域的方法，从而得出保留部分三角形面积的取值范围.
（1）由直线，令，
得，直线恒过定点，
则，
当且仅当时，最小值为9．此时直线；
（2）由直线，知恒过定点，
分别与轴交于两点，且，
故，
又函数在上单调递增，
因为，故当时，面积；
（3）由，可得，均恒过定点，
设直线，由；
，设直线交轴于点，而，
则
，
又，所以，故.
1 / 1浙江省绍兴鲁迅中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题
1．两平行直线和之间的距离为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：平行直线和之间的距离.
故答案为：A.
【分析】利用平行直线间的距离公式计算得出两平行直线和之间的距离.
2．在四棱柱中，设，，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如图，连接，
则，，
，所以.
故答案为：C
【分析】作图，以，， 作为基底向量，先表示出 ，然后再结合空间向量的线性运算，最后表示出即可.
3．已知点为坐标原点，且，则（　　）
A．36 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以．
又因为，解得，所以，
则，所以．
故答案为：.
【分析】根据和数量积的坐标表示，从而求出的值，再利用向量的模长公式，从而得出的值.
4．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意可得：平面的法向量，
在平面上任取一点，则，
故点到平面距离
故答案为：A.
【分析】由题意，先求平面的法向量，再根据向量法求解点面距离即可.
5．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】因为直线与直线互相垂直，所以，解得.
故直线即为，直线即为.由，解得，
则这两条直线的交点坐标为.
故答案为：A.
【分析】首先根据两直线垂直得到，再联立两条直线的方程，解二元一次方程组即可求交点坐标.
6．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：将直线方程化为，
则此直线过直线和直线的交点，
由
解得
因此，所求定点为．
故答案为：D．
【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，再联立方程组得出定点坐标.
7．已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为点，则，且，
所以，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C
【分析】首先由A、B两点进行求解，再根据空间向量的线性运算求解，然后结合投影向量的公式，利用空间向量的数量积、模长公式进行计算，即可得到结果.
8．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（　　）
A．直线与直线AF垂直
B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形
D．点C和点G到平面AEF的距离相等
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A、若，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，这不成立，所以假设错误，A不符合题意.
B、的中点，连接，，，因为E，F，G分别为，，的中点，所以，，，，所以，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，因为平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面，B符合题意．
C、如图所示，连接，延长，交于，由选项可知，，因为，，所以，，所以四点共面，所以梯形为截面，C不符合题意.
D、记点C与点G到平面的距离分别为，假设正方体边长为1．，，所以，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】对于A，可以先假设直线与直线垂直，然后进行推理，从而得出两者之间矛盾即可判断；
对于B，的中点，作辅助线，结合面面平行的判定可得平面平面，再根据面面平行的性可得结论，即可判断；
对于C，进行连接，延长，交于，可得四点共面，从而可得截面；
对于D，利用等体积法求解点到面的距离判断.
二、多选题
9．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若，则向量，的夹角是锐角
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
【答案】B,C
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算；异面直线
【解析】【解答】解：A、若，则向量，的夹角为零或锐角，故A错误；
B、根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确；
C、，且，则四点共面，故C正确；
D、分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量夹角和数量积的关系即可判断A；根据空间向量共面定理即可判断B；由题意，根据四点共面即可判断C；根据异面直线的平行线即可判断D.
10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（　　）
A．平面上存在定点使得的长度为定值
B．的最大值为
C．的最大值为
D．点到直线的距离的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；两条直线垂直的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：易知直线恒过点，
直线恒过定点，
因为两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以，所以当为中点时，，故A正确；
因为，所以，又因为，
所以，，
故，当且仅当取等号，故B正确，C错误；
设到直线的距离为，由于，
则，故最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求直线恒过的定点，结合两直线垂直，根据直角三角形的性质求解即可判断A；根据基本不等式求解即可判断BC；根据三角形面积公式结合不等式求解即可判断D.
11．如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．当时，若，则
C．当时，直线与直线所成角的大小为
D．当时，三棱锥的体积的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、当时，分别是线段和线段的中点，也是的中点，
则，故A正确；
B、当时，，
即，，，满足，故B正确；
C、过作交于，如图所示：
易知面，则与直线成角即为，
当时，，在中，
则，
，即，故C错误；
D、易知是正三角形，
三棱锥体积为
，
当且仅当，即时等号成立，即三棱锥的体积的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的相关知识分析判断即可.
三、填空题
12．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为为空间两两夹角都是的三个单位向量，所以
.
故答案为：
【分析】求模长可以利用平方的方法，再根据空间向量的运算求得正确答案，注意平方后别忘开方.
13．，其中，，则二元函数的最小值为　 　
【答案】7
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：，，在由直线、、、围成的矩形区域内（含边界），如图所示：
因为
所以二元函数表示动点到定点，，，距离的和，
在矩形边界及内部任取点，连接，，，，，
于是有，当且仅当点在线段上时取等号，
，当且仅当点在线段上时取等号，
于是，
当且仅当点是线段与的交点时取等号，
又，所以直线为，即，
显然直线与轴的交点为在线段上，即当时，的最小值为7.故答案为：．
【分析】由题意先将问题转化为动点到定点，，，距离的和，再建立直角坐标系，利用数形结合思想求解即可．
14．已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是　 　.
【答案】4
【知识点】空间向量基本定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
不妨令，
则，
又因为，
所以，点共面，
则.
故答案为：.
【分析】利用空间向量基本定理和向量共线定理以及四点共面的判断方法，则得出点共面，再结合棱锥的体积与棱锥的体积关系与三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积.
四、解答题
15．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：因为为的重心，为边的中点，
所以
，
所以
（2）解：因为分别为边和的中点，
所以
（3）解：
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【分析】（1）由为的重心 ，所以G是BE的三等分点且靠近E点，可根据向量共线以及空间向量的线性运算进行化简即可；
（2）由H为BC的中点，利用平行四边形法则得到：，再利用共线定理，以及三角形法则即可；
（3）进行转化，然后再结合三角形法则，再利用共线定理进行化简即可.
（1）解：因为为的重心，为边的中点，
所以
，
所以
（2）解：因为分别为边和的中点，
所以
（3）解：
16．已知平面内两点，．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
【答案】（1）解：由题意，得，
则直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）解：因为的中点坐标为，
由（1）可知，线段垂线的斜率为，
所以，线段垂直平分线的方程为，即，
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以，点在直线上，
则设点为，
由，可得：，
解得或，
所以，点坐标为或，
则直线的方程为或．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直，则两直线的斜率乘积为，从而得出直线的斜率，再根据点斜式方程得出过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）利用中点坐标公式得出的中点坐标，再利用（1）得出线段垂线的斜率，再根据点斜式方程得出线段垂直平分线的方程，再由等腰直角三角形的结构特征得出点在直线上，设点为，再根据等腰直角三角形两直角边垂直，则所在直线斜率存在，再由两直线斜率之积为建立方程得出a的值，从而得出点C的坐标，进而得出直线的方程．
（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
17．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，
所以平面，平面，
则、，
又因为，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
则，，
所以
则，
所以，
则点为的中点，
又因为点为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面
（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，
又因为，
所以，
则，，
所以，
则，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，
则，、
令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以，
则，
设二面角的大小为，
则，
所以，
则二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据线面垂直的定义得出线线垂直，再利用三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，从而得到点为的中点，再利用中位线定理得到，再根据线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）利用已知条件建立适当的空间直角坐标系，再利用勾股定理得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.
18．如图，已知AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B'C，如图，将B'DH沿边DH翻折至BDH.
（1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B-DCH的体积.
【答案】（1）解：存在点F满足题意，且，理由如下：在图甲中，取B'C的中点M，连接AM，如图所示
因为AB'C是等边三角形， B'C的中点为M，所以，
因为DH⊥B'C，所以AM∥DH，在图乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，
所以AM∥平面BDH，且；在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示
因为，所以MF∥BH，又因为平面BDH，平面BDH，
所以MF∥平面BDH，又因为MFAM=M，MF，AM平面AMF，所以平面AMF//平面BDH，
又因为AF平面AMF，所以AF∥平面BDH.
（2）在图中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB 平面BHC，
所以DH⊥平面BHC，以H为原点建立的空间直角坐标系，如图所示
则H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），
设，则，
，，
设平面BDA的法向量为则
，即，
令，则，，
所以，
易知平面BHC的一个法向量
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，
所以，
化简整理得：，
所以，，，
所以B（，0，），
所以三棱锥B-DCH的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥的体积为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三线合一可得，根据H，D分别为AB' 和B' M中点，可知中位线得到M∥DH，再利用线面平行的判定定理可得到AM∥平面BDH，再根据线段成比例，可以得到MF∥BH，利用线面平行的判定定理可得到MF∥平面BDH，再有面面平行的判定定理，可得到平面AMF//平面BDH，最后再利用面面平行的性质定理（两个平面平行，一个平面内的线平行于另一个平面）即可得到AF∥平面BDH.
（2）根据已知题目的条件DH⊥HC，DH⊥HB结合线面垂直的判定定理（一条线垂直于平面内的两条相交的直线，则线面垂直）得到DH⊥平面BHC，再进行建立空间直线坐标系，然后写出相关点的坐标，设表示出B点坐标，分别表示，，求出平面BDA的法向量，由y轴垂直于平面BHC，即可表示法向量 ，然后再通结合向量的夹角公式求出，，表示出点B坐标，求解出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式即可求解.
（1）存在点F满足题意，且，理由如下：
在图甲中，取B'C的中点M，连接AM，如图所示
因为AB'C是等边三角形， B'C的中点为M，
所以，
因为DH⊥B'C，
所以AM∥DH，
在图乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，
所以AM∥平面BDH，且；
在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示
因为，
所以MF∥BH，
又因为平面BDH，平面BDH，
所以MF∥平面BDH，
又因为MFAM=M，MF，AM平面AMF，
所以平面AMF//平面BDH，
又因为AF平面AMF，
所以AF∥平面BDH.
（2）在图中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB 平面BHC，所以DH⊥平面BHC，以H为原点建立的空间直角坐标系，如图所示
则H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），
设，则，
，，
设平面BDA的法向量为则
，即，
令，则，，
所以，
易知平面BHC的一个法向量
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，
所以，
化简整理得：，
所以，，，
所以B（，0，），
所以三棱锥B-DCH的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥的体积为.
19．已知两条直线，
（1）若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时，有最小值，并求此时的方程；
（2）若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值；
（3）设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围．
【答案】（1）解：由直线，
令，
得，
则直线恒过定点，
所以，
当且仅当时，最小值为9，此时直线.
（2）解：由直线，知直线恒过定点，
因为分别与轴交于两点，且，
则又因为函数在上单调递增且，
则当时，面积.
（3）解：由，可得，
因为均恒过定点，
设直线，
由，
，
设直线交轴于点，
因为，
所以
，
又因为，
所以，
则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程；恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意结合赋值法求出点A、B、P的坐标，再利用两点间的距离公式和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值和此时的a的值，并求出此时直线l的方程.
（2）根据题意求出直线与x轴的交点A的坐标和直线与y轴的交点B的坐标，再利用三角形面积公式可得，再结合二次函数求最值的方法，从而得出这个四边形面积的最大值.
（3）当时，分别求出两直线、的方程，设直线MN方程，再联立直线方程和联立直线方程分别求出点M坐标和点N坐标，再结合图形和三角形面积公式，从而可得，再由k的取值范围和函数求值域的方法，从而得出保留部分三角形面积的取值范围.
（1）由直线，令，
得，直线恒过定点，
则，
当且仅当时，最小值为9．此时直线；
（2）由直线，知恒过定点，
分别与轴交于两点，且，
故，
又函数在上单调递增，
因为，故当时，面积；
（3）由，可得，均恒过定点，
设直线，由；
，设直线交轴于点，而，
则
，
又，所以，故.
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