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辽宁省阜新市彰武县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题
1．下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．轴对称图形
5．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．“秋高气爽，丹枫迎秋”．如图，叶梢点与叶端点之间的距离为，为的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点，，均在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一条直线上，点D，F，B在同一条直线上），则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．阳光下旗杆的影子属于_________投影．（填“平行”或“中心”）
12．做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据：
抛掷总次数 100 200 300 400
杯口朝上频数 20 42 66 88
杯口朝上频率 0.2 0.21 0.22 0.22
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为____________（结果精确到0．01）．
13．如图，在菱形中，，，则对角线的长是_____．
14．如图，在中，点D、E分别是的中点，若的面积为2，则的面积为_____．
15．如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接，，则的面积为_________．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
18．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，且每个小方格的边长为1个单位长度，的顶点都在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，且点的对应点在第一象限．
(1)请在网格内画出．
(2)点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______．
19．如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车．

(1)甲车停在区的概率是__________；
(2)请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率．
20．如图，在中，，是的中点，是的中点，延长至点，使得．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的周长．
21．项目学习项目
背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习
活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习
活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次．
活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于？
平台回复的结果：……
交流展示 ……
请根据以上的活动报告，解答下列问题．
(1)求所使用平台前三天下载量的日平均增长率．
(2)请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由．
22．综合与探究：
(1)问题情景：如图1，，连接交于点O，，，，则________．
(2)拓展延伸：如图2，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N．当时，求线段的长．
(3)延伸探究：在（2）的条件下，P，Q在运动的过程中始终保持，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)将一次函数图象向上平移个单位长度，使得与反比例函数图象只有一个交点，求m的值．
(3)若点在反比例函数的图象上，F是线段延长线上的一点，过点F作直线，交反比例函数的图象于点．若，求点G的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B D A B D A A
1．B
解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是，
故选：B．
2．C
解：∵，
∴．
故选：C．
3．C
解：该几何体的左视图是：
故选：C．
4．B
解：、矩形和菱形均为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此两者均具有此性质，原选项不符合题意；
、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，原选项符合题意；
、菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，原选项不符合题意；
、矩形和菱形均为轴对称图形，原选项不符合题意；
故选：．
5．D
解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∴的值为．
故选：D．
6．A
解：∵正方形对角线长为，且面积，
∴．
故选：A．
7．B
解：∵为的黄金分割点，且，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴的长为，
故选：B．
8．D
解：∵反比例函数为，其中，
∵，
∴，
∴，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∵，
∴点在第二象限，，
∵，
∴点和点在第四象限，
∴，，
∵在第四象限内，随着的增大而增大，
∴，
∴，即，
故选：D．
9．A
解：由题意知，设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故选：A．
10．A
解：根据题意得，、、，
设，则，
、
，即
解得或（不符合题意，舍去），
，
故选：A．
11．平行
阳光下旗杆的影子属于平行投影．
故答案为：平行．
12．0.22
解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，
估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22．
故答案为∶ 0.22．
13．
如图所示，连接与交于点，根据菱形的性质可得，由即可求解．
解：如图所示，连接与交于点，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
14．8
解：∵点D、E分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
15．3
解：如图，连接，
由题意知，设，
∵轴，轴，A，B在上，
∴设，，
∴，，
∴
．
故答案为：3．
16．(1)，．
(2)，
（1）解：
，
，
，
解得，．
（2）解：
，，，
，
，
解得，．
17．(1)
(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力
（1）解：由题意，得，
则，
∴y关于x的函数解析式为．
（2）解：由（1）得，
∴当时，，
故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．
18．(1)
如图，即为所求．
(2)，
（1）略
（2）解：由图可得：点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
19．(1)
(2)
（1）解：∵甲车停放的所有可能结果有3种，停在A区的只有1种，
∴甲能够停放在A区的概率是；
（2）解：依题意，、两个停车区域的空车位即为“”，“”，“”，

一共有6种等可能的结果，满足“甲、乙两车停在相同区域”的结果有2种，即，
∴甲、乙两辆车停在相同区域的概率为．
20．(1)
解：不能，理由如下：
设十字框中最中间的一个数为，
由题意可得：，
解得：，
∵十字框内的数均为奇数，而得出的的数均为偶数，
∴十字框中的五个数字之和不能等于．
(2)
（1）略
（2）解：∵在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
，
∴四边形的周长为．
21．(1)所使用平台前三天下载量的日平均增长率为；
(2)
解：猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下：
设一段铁丝的长度为，另一段为，
根据题意，得，即，
∵，
∴方程无解，
∴这两个正方形的面积之和不能等于，
答：人工智能平台回复的结果是“不能”．
（1）解：设下载量的日平均增长率为，
根据题意，得，
解得：或（舍去），
答：所使用平台前三天下载量的日平均增长率为；
（2）略
22．(1)6
(2)
(3)是定值，为定值
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
故答案为：6
（2）解：如图，连接，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（3）解：是定值．
设．
由（2）可知，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴为定值．
23．(1)，
(2)1或9
(3)
（1）解：由题意知，将点A，点B代入反比例函数得：
，整理得：，解得，
∴点，点，
将点A，点B代入一次函数得：
，解得，
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）解：∵直线沿着y轴向上平移m个单位长度，
∴平移后的函数表达式为，
∵平移后的函数与反比例函数图象只有一个交点，
∴，整理得，
∴，
解得，，
∵，
∴m的值为1或9．
（3）解：∵点E在反比例函数图象上，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，过点E作，
∴，
∴，
易知直线的表达式为，
设点B关于直线的对称点为，且交于点H，
∴的中点为，
∵的中点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得或，
∴或（不符合题意，舍去），
设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
令，解得或，
∴．

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