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2025-2026学年上海市静安区市西初级中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是不等式2x-1＞3的解的是（　　）
A. x=5 B. x=2 C. x=0 D. x=-3
2.如果a＞b＞0，c为有理数，下列不等式一定成立的是（　　）
A. ab＞a2 B. a+3＞b-2 C. a2＜b2 D. ac＞bc
3.对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形
4.如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1=115°，则∠2的度数为（　　）
A. 75°
B. 90°
C. 100°
D. 115°
5.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠B=∠DCE
D. ∠D+∠DAB=180°
6.如果△ABC≌△DEF，那么下列说法中正确的是（　　）
A. AB=DF B. AD=CF C. ∠B=∠E D. ∠C=∠D
7.如图，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们一块一块向上叠放并向外延伸.已知积木的长度均为l,在不倾倒的前提下，使得积木组合的最大延伸长度超过l,那么至少需要移动的积木块数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
8.“a的减去b的差是非负数”用不等式表示为 .
9.在△ABC中，如果∠A=30°，∠B=45°，那么∠C= °.
10.在△ABC中，如果∠A=30°，∠B=45°，直线AC与直线BC的夹角为 °.
11.在空格中填入合适的不等号：x2+y2 2xy.
12.将命题“在一个三角形中，等边对等角”写成“如果…，那么…”的形式：______．
13.已知一个等腰三角形的周长是20cm,其中一条边长为4cm,那么该三角形的底边长为 cm.
14.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，△ABC的周长为16cm,△BCE的周长为10cm,那么底边BC= cm.
15.沿着圆锥的高把它纵向切成两个完全相同的部分，如果圆锥被切开的截面是一个等腰直角三角形，且底边长为4cm,那么圆锥的体积为 cm3.（结果保留π）
16.如图，已知AB∥DE，∠B=25°，∠D=140°，那么∠C= °.
17.在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且直线CD、BE交于点P，若∠A=50°，那么∠BPC= °.
18.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点D为线段AB的中点，点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为一边在MD的右侧作等边三角形MND，连接BN.当△BND为直角三角形时，∠DMB= °.
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
19.解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来.
四、解答题：本题共5小题，共39分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题7分)
如图，已知：在△ABC中，D为边AB上一点，过点D作BC的平行线，交∠B的平分线于点E，交AC于点F，G为BE的中点，连接FG并延长，交BC于点H．求证：
(1) BD=DE
(2) BD=DF+BH
21.(本小题7分)
如图，已知∠AOB，点P在∠AOB的内部
(1) 利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求完成作图（保留痕迹，写出结论，不写作法）：
①作点P关于直线OB的对称点P1、以及点P关于直线OA的对称点P2；
②连接OP1、OP2、P1P2，得到△OP1P2
(2) 在（1）的情况下，如果∠AOB=30°，OP=6．在射线OA、OB上分别取动点M、N，试求△PMN周长的最小值，并说明点M、N在什么位置时取到最小值
22.(本小题7分)
在学习“全等三角形的判定”的过程中，我们知道，不能利用“S．S．A”来判定两个三角形全等．但有时，“S．S．A”的条件却可以转化，并得到其他条件，进而判定全等
(1) 如图1，已知：在△ACB与△ACD中，AC为公共边且为各自三角形的最长边，点B、D分别在AC的两侧，且BC=DC，∠ABC=∠ADC．求证：△ACB≌△ACD
(2) 如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是边AB上一点，以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．设DE与AC的交点为G，点P是边BC上一点，满足∠CPD=∠CGD，且点P到直线CD的距离等于线段GE的长度．求∠ACD的度数
23.(本小题6分)
如图，已知：在△ABC中，AC＜AB，AD是BC边上的中线.求证：∠BAD＜∠CAD.
24.(本小题12分)
研究互逆命题的证明，是同学们课余进行数学探究的常用方法
(1) 命题：等腰三角形两个底角的平分线相等．
请写出已知、求证，并证明上述命题为真命题
(2) 1840年德国数学家莱莫斯提出了（1）中命题的一个逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形．这个命题难倒了众人，直到1844年由瑞士几何学家斯坦纳首次给出证明，于是该命题得名“斯坦纳-莱莫斯定理”．
下面给出了该命题证明过程的一部分，请将证明过程补充完整．（填写空白部分并完成剩余部分的证明）
已知：如图，在△ABC中，BE为∠B的平分线，CF为∠C的平分线，BE=CF．
求证：AB=AC．
证明：假设 ．
①若AC＞AB，
由大边对大角，所以∠ABC＞∠ACB．
因为BE、CF分别为∠B、∠C的平分线，
所以∠EBA=∠ABC，∠FCA=∠ACB．
所以 ．
所以在∠EBA的内部，作∠EBP=∠FCA，BP交AC于点P．
因为∠EBP=∠FCA，∠EBC＞∠FCB，
所以对于△PBC，有 ．
由 ，所以PC＞PB．
所以在PC上截取一点Q使得CQ=BP．
（请试着继续完成剩余部分的辅助线说明及后续证明）
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】a-b≥0
9.【答案】105
10.【答案】75
11.【答案】≥
12.【答案】如果在同一个三角形中有两个边相等，那么这两个边所对的角也相等
13.【答案】4
14.【答案】4
15.【答案】
16.【答案】65
17.【答案】50°或130°
18.【答案】30或105
19.【答案】x≤4，数轴表示解集如下：

20.【答案】【小题1】∵DE∥BC，
∴∠GBH=∠E（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE
【小题2】∵G为BE的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGF中，
，
∴△BGH≌△EGF（ASA），
∴BH=EF，
∴BD=DE=DF+EF=DF+BH

21.【答案】【小题1】如图1，△OP1P2即为所求；
【小题2】6；点M，N分别为线段P1P2与直线OA，OB的交点

22.【答案】【小题1】连接BD，
∵BC=CD，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠1=∠ADC-∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AD，
∵AC=AC，BC=CD，
∴△ACB≌△ACD（SSS）
【小题2】22.5°

23.【答案】如图，在△ABC中，AC＜AB，AD是BC边上的中线，把△ABD绕点D顺时针旋转180°到△ECD的位置，
∴∠E=∠BAD，CE=AB，
∴CE＞AC，
∴∠CAD＞∠E，
∴∠BAD＜∠CAD．
24.【答案】【小题1】
已知：在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
求证：BD=CE．
，
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴，
则∠CBD=∠BCE，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴BD=CE
【小题2】
AC≠AB
∠EBA＞∠FCA
∠PBC＞∠PCB
大边对大角

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