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13.2《与三角形相关的线段》
一、单选题
1．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（）
A．3 B．4 C．6 D．12
2．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3.如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．4 B． C． D．4或
5．如图，在中，是边上任意一点，是的边上的中线，，分别是，的中点，，则的值为（ ）
A．4.8 B．6 C．8 D．12
二、填空题
6．如图，在中，是的中点，连接，点在上，且，连接，．若的面积为36，则的面积为__________．
7．已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________．
8．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______．
9．如图，在中，是边上的中线，点在线段上且，线段与线段交于点，的面积 为20，则的面积为____________．
10．已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且．
（1）若则______．
（2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______．
三、解答题
11．如图，、分别是的高和中线，若，，，
(1)求的长
(2)求与的周长差
12．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点．
(1)若，则的度数为_____；
(2)直接写出化简结果：_____；
(3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积．
13．已知关于、的方程组．
(1)求方程组的解（用含的代数式表示）；
(2)若方程组的解满足条件，求的取值范围；
(3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值．
14．综合与实践
我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．
图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
(1)图3中，若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想．
(2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_______．
(3)图4中，G是的重心，点D、E在的边、上，、交于点G，，，，求四边形的面积．
(4)已知的中线，中线，则面积的最大值为________．
15．如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)．
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值．
(3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值．
(4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值．
16.【问题情境】
有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】
（1）如图2，点在的边上，点在上．
①若是的中线，求证：；
②若，则______．
【拓展延伸】
（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．
①求证：；
②若，则______
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，
∵是边上的高，，
∴，
∴，
∴．
2．B
解：如图，连接，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵点E是的中点，的面积是2，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
3．A
解：如图，连接、、，
，
点 是的中点
点是的中点
点是的中点
点是的中点，即
点是的中点，即
点是的中点，即
由图可知，阴影部分的面积为
阴影部分的面积为
4．A
解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分，
∴两部分的长度分别为，，
设等腰三角形的腰长为，底边长为，
分两种情况讨论：
①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则，
解得，
∴底边长，
此时三角形三边为8、8、，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立，
②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则，
解得，
∴底边长，
此时三角形三边为、、4，
∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立，
综上，这个等腰三角形的底边长为4；
故选：A；
5．B
解：连接．
∵ 是的中线，
∴．
∴，即：．
∵，
∴．
∵ 是的中点，
∴．
∵ 是的中点，
∴．
故选：B．
二、填空题
6．12
解：∵D是的中点，
，
，
∵点E在上，且，
，
和的高相等，均为点C到的距离，
，
．
7．
解：，
，，
解得，，
，，是三角形的三边长，
根据三角形三边关系可得 ，
代入的值得，
即，
又为奇数，
.
8．4或11
解：∵中，，，，
∴，
∵为的中点，
∴S ABD=S ACD= S ABC=12，
当点P在边上时，如图，
∵的面积为6，
∴，
∴点P为的中点，即，
此时点运动的路程长为4；
当点P在边上时，如图，
∵为的中点，的面积为6，
∴，
∴，
∴点P为的中点，即，
此时点运动的路程长为；
综上所述，点运动的路程长为4或11．
9．
解：连接，设，
∵是边上的中线，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
联立，
解得，
∴．
10．
（1）解： ，，，，为正整数，
，
将代入，得，
又，
，
且是整数，
；
（2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长，
则其中任意从小到大排列的三个数
，且都满足，
要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列：
取第一个数为，第二个数为，
第三个数满足，取，
第四个数满足，取，
第五个数满足，取，
第六个数需要满足，
，超出到的范围，
不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素，
当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长．
三、解答题
11．（1）解：∵是的高，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中线，
∴，
∴的周长的周长
．
12．（1）解：根据平移可得，
；
（2）解：根据三角形三边关系可得，，
，
；
（3）解：根据平移可得，，，
，即，
分别是的中点，
，
．
13．（1）解：
得：，解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴该方程组的解为；
（2）解：∵，
∴，化简为：，
解得：，
解得：，
解得：；
（3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，
若腰长为x，底边长为y，则，解得：，
∴，
此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去；
若腰长为y，底边长为x，则，解得：，
∴，
此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形；
∴；
14．（1）证明：猜想，证明如下：
由题意可知，，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等，
∴，
∵与同高记作h，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
（3）解：由（2）可得，
∵，，
∴；；
∵，
∴，
∴，
∴四边形．
（4）解：过点A作于点H，如图，
∵中线，中线，
且，
∴；，
∴，
∵，
所有当时，取得最大值为4，
由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等，
∴的最大值为，
的最大值为，
则面积的最大值为．
故答案为：12．
15．（1）解：∵点P运动的距离是，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，点P在上，
∴，
∴；
（3）解：由题意得：点P在上，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
综上所述：或；
（4）解：，，
当点P在上时，，
∴，即，
∴，
当点P在上时，或，
即或，
∴或3.6，
当点P在上时，，
∴，
综上所述：或2.4或3.6或5.6．
16.（1）①证明：∵是的中线，
∴，点为的中点，
∴是的中线，
∴，
∴，
即；
②，
解：设边上的高为，
则，，
∵，
∴，
同理，
则，
即，
∴．
（2）①证明：连接，，，如图：

∵点、、、分别为、、、的中点，
∴，，，分别为，，，的中位线，
∴，，，，
∴，
∵，
即；
②15，
解：由①可得，同理可证得，
，
即，
∵，
∴．

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