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第13章《三角形》章节自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（ ）
A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定
2．在中，若，，则的值不可能为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（ ）
A．是的角平分线
B．为边上的高
C．是边上的中线
D．为的高线
4．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．9个
5．在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知是的高，，，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，是平行四边形的边上的点，连接、、Q是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不与、重合），连接并延长到，设 ，要使得为定值，则值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论：
①；②；③；④．正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11． 已知、、分别为的三边长，化简：_________．
12．将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____．
13．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．
14．如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点B的对应点为，连接，若，则面积的最大值为____．
15．如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________．
16．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由．
18．（8分）已知的三边长分别为，，．
(1)若，满足，求整数的最小值．
(2)化简：．
19．（10分）（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，，，与交于点F，求的度数．
20．（10分）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)若的面积为，，求线段的长度．
21．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合）
（1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若，试说明：是“和谐三角形”；
【应用拓展】
（3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数．
23．（14分）综合与探究
问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．
(1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由．
(2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数．
(3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求．
参考答案
一、选择题
1．C
解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上，
薄板状物体的重心位置在直线上．
故选：C．
2．D
解：∵在△ABC中，，，
∴，
∴，
∴．
选项A：在的范围内，故该选项不符合题意；
选项B：在的范围内，故该选项不符合题意；
选项C：在的范围内，故该选项不符合题意；
选项D：不在的范围内，故该选项符合题意．
3．C
解：A．∵，
∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意；
B．∵，
∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意；
C．∵G为的中点，
∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意；
D．∵，
∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
4．D
解：可以组成的三角形有:
，，，，，，，，，共9个．
故选：D．
5．B
①，，
，即，
为直角三角形．
故①符合题意．
，，
．
不是直角三角形．
故②不符合题意．
，
，．
，
，．
，．
为直角三角形．
故③符合题意．
，
，．
，
，．
，．
不是直角三角形．
故④不符合题意．
综上，①和③能确定，共2个．
故选：B
6．C
解：情况一：当高在内部时，
∵，，
∴．
情况二：当高在外部时，
∵，，
∴．
综上，的度数为或.
7．C
解：平行四边形，
，，
Q是的中点，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
8．C
解：如图，延长交于点，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，为定值，
∴．
9．B
解：如下图所示，
由折叠可知，
四边形是长方形，
，
，
设，
则，
，
，
，
，
由折叠可知，
又，
，
解得：，
，
，，
，
，
，
．
10．B
解：，平分，
平分，
，
，①正确；
，
是的角平分线，
，
；②正确；
是的角平分线，平分，
，
，
，
，
，③正确；
，故④错误；
二、填空题
11．
解：∵a、b、c分别为的三边长，
，，
，
．
12．
解：由题意得，，
∴，
．
13．3
解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性；
故至少要钉上根木条.
14．
解：作，设，交于点，
∵为的中点，
∴，，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当重合时，最大，
此时最大．
15．
解：如图，设、交于点，
、，，，，，
，，
，，
，
故答案为：．
16．或或
解：如图，当时，
，，
，
平分，
，
；
如图，当于时，
，
；
如图，当时，
，，
．
综上所述，的度数为或或．
三、解答题
17．（1）解：如图，记，，．
，
又 平分，
，
（2）
理由如下：设，，
平分
，
又
18．（1）解：，
，．
，．
根据三角形三边关系，可得，即．
为整数，
的最小值为3．
（2）解：根据三角形三边关系，可得，，，
．
19．（1）证明：如图①，延长交于点，

∵，
，
，
，
；
（2）解：如图②，

，，
即，
设，，
，，，，
由（1）知：，
，
，
，
．
20．（1）解：，
，
，
，
，，
；
（2）解：是的中线，
，
点是的中点，
，
，
，
．
21．（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，
即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠FDE，
∴AC∥DE，
∴∠CAF＝∠E，
∴∠CAF＝∠E＝∠B
故与∠B相等的角有∠CAF和∠E；
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°
∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°
∴∠BAF＝∠C
又AC∥DE，
∴∠C＝∠CDE，
∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；
（2）①∵
∴
又∵，
∴∠C＝70°，∠B＝20°;
②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则,,
由翻折可知：∵, ,
∴, ,
当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；
当∠FDE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
当∠DFE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且．
22．解：（1），
，
，
，
不是“和谐三角形”；
故答案为：，不是；
（2）是的一个外角，
，
又，
，
，
，
是“和谐三角形”；
（3），，
，
，
，
而，
，
，
，
平分，
，
，
是“和谐三角形”，
或，
或．
23．（1）解：，理由如下：
由题意得：、，
，
，
，
、，
，
；
（2）解：由题意得：、，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意得：、，
，
，
，
．

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