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第25章《一元二次方程》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（ ）
A．任意实数 B．1或 C．1 D．
2．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为( )
A． B． C．或 D．或
3．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
4．老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
5．若实数、满足，且，则的值是（ ）
A． B．3 C．1 D．
6．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（ ）
A．28 B．44 C．55 D．66
7．满足方程的所有正整数解有：（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
8．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．2024
9．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A． B．或 C．或 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____．
12．若，则的最小值为______．
13．温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米．
14．设、是方程的两个实数根，则的值为_______．
15．已知方程和方程的根完全相同，则_____．
16．已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）小海同学解一元二次方程的过程如下：
解：，，
或
所以，原方程的根是，．
(1)小海的求解过程从 步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求证：为非负数；
(2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．
19．（6分）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．
，，的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)代数式的最小值是______；
(2)求代数式的最小值；
(3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______．
20．（8分）已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等．
(1)求证：；
(2)求的值．
21．（8分）当前，政策扶持大学生自主创新创业，王明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，利用暑期销售原创设计的手绘图T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)王明希望每天获得的利润达到1050元，同时顾客优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
(2)王明的同学想要每天获得1200元的利润，并且保证每件T恤衫的利润率不低于，请你分析能否实现？若能实现，求出售价应定为多少；若不能，请说明理由（利润率）
22．（9分）请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根．
23．（9分）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．
求该收纳盒的高是多少？
判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
24．（10分）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值
25．（10分）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为．
小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定，
当，时，_________，_________；
小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索：
条件 条件 条件
选择条件 ，则_________，_________；
选择条件 ，请你帮小桐计算出，的值；
【探索发现】选择条件 ，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法．
【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形；
第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________；
【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得或，
∵
∴，
∴．
2．C
解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为，
方程的根为或．
故选：C．
3．B
解：当方程为一元二次方程时，
，即，
∵方程有实数根，
∴，
化简得，
解得，
即此时且；
当方程是一元一次方程时，
，即，
方程为，
解得，方程有实数根，符合题意；
综上，的取值范围是．
4．C
解：甲：应化为，甲错误；
乙：应化为，乙正确；
丙：应化为，丙错误；
丁：应化为，丁正确；
可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙．
故选：C．
5．B
解：实数，满足， ，且，
整理第二个等式得，
和是一元二次方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，
．
6．B
解：由题意可得：前n行的点数之和为，
A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意；
B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意；
C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意；
D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意．
故选：B．
7．C
解：原方程变形为：
将其视为关于x的一元二次方程，判别式为：
，
∵方程有正整数解，
即判别式为非负完全平方数，
即，且y为正整数，
解得y的可能取值为,,,：
当时，则，
此时，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当时，则，
此时，
∴ （舍去），
即方程组的正整数解为 ；
当时，则，
此时，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当时，则，
此时，
∴ ，
即方程组的正整数解为 或 ；
综上，共有三组正整数解，
故选：C
8．D
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故选：D．
9．D
解：①当时，，
∴6是集合中的元素，则，
②当，且时，
，
即，
，
解得或，
③当，且时，
，
即，
解得，
综上所述，n的值为6，1，，0．
故选D．
10．B
，
解得：，，
当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高，
，，
，
当时，如图，，，，
，
是直角三角形，，
．
故选：B．
二、填空题
11．
解：把代入得，
因式分解得，
解得，，
原方程是关于的一元二次方程，
，
即，
因此．
12．
解：，
．
则．
的最小值为
故答案为：
13．5
解：设玻璃栈道的宽度是米，
则扩建后的矩形的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：玻璃栈道的宽度是5米．
故答案为：5．
14．
解：因为α是方程的实数根，
所以，
即．
因为α，β是方程的两个实数根，
所以根据根与系数的关系，．
∴
故答案为：．
15．
解：解方程 ，得 ，．
将 代入方程 ，
得 ，
即 ，
，
，
所以 ．
则第二个方程为 ，
两边乘以2，得 ．
解此方程，，
所以 ，．
因此 ，
故 ．
故答案为：．
16．
解：由根与系数的关系可得：，，
得：，
又，
，解得，，
∵方程有两个实数根，
，即，解得或；
（舍去），，
∴，
，联立，
解得，，
又，
解得，，
又，
解得，
∴．
三、解答题
17．（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴小海的求解过程从第步开始出现错误，
故答案为：；
（2）解：，
，
，，，
，
，
∴，．
18．（1）证明： ∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴为非负数；
（2）解：该一元二次方程没有整数解，理由如下：
设关于x的一元二次方程的整数解为，
则 移项得
∵为奇数，
∴为奇数，
∴为奇数．
①若为奇数，则为奇数，
∵为奇数，为奇数，
∴为奇数，为奇数，
∴奇数－奇数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意；
②若为偶数，则为偶数，
∵为奇数，为奇数，
∴为偶数，为偶数，
∴偶数－偶数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意．
综上，无论为奇数或偶数都矛盾，故该一元二次方程没有整数解．
19．（1）解：∵，
∴，
，
，
∴代数式的最小值是4，
故答案为：4；
（2）解：∵，
∴，
，，
，
∴的最小值11；
（3）解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的周长：，
故答案为：13．
20．（1）证明：∵，
∴，
是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
．
．
由①+②，得，
．
（2）解：由（1）得，
，
①②，得，
．
均为正整数，，
．
把代入，得．
．
21．（1）解：设每件T恤衫降价x元，则每天的销售量为件，
由题意得：，
解得：或，
当时，售价为（元），
当时，售价为（元），
∵优惠最大，
∴，
∴每件T恤衫的销售价应该定为75元；
（2）解：能实现，理由如下：
设每件T恤衫降价m元，
∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于，
∴，
解得：，
由题意得：，
解得：或，
∵，
∴符合题意，
（元）
∴每件T恤衫的销售价应该定为90元．
22．（1）解：设所求方程的根是，则，
所以，
把代入，
得；
（2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025，
，
，
是方程的实数根．
故答案为：．
（3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，
，
，
方程
化为：方程，
整理得，
因式分解得，
解得．
23．（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：剪去的小正方形的边长为；
（2）解：根据题意，设收纳盒的高为，
则收纳盒底面的长为，宽为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为；
∵，，但，，
∴玩具车不能完全放入该收纳盒．
24．（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
25．解：当，时，
，，
，；
解：，，
，，
、表示的是三角形的边长，
，，
，
解得：，
，；
，
， ，
、表示的是三角形的边长，
、表示的均为正数，
，
，
，、均为正数，
，
方程组，
得：；
【类比迁移】：如下图所示，长方形的长为，长比宽多，
则长方形的面积为，小正方形的边长为，
大正方形的面积可以表示为，
大正方形的面积也可以表示为，
整理得：，
，
解得：，(舍去)，
故答案为:，；
【拓展应用】：如下图所示，已知每个矩形的面积为，
，
，
中间围成的正方形的面积为，
，
或(舍去)，
，
整理得：，
，
解得：，，
方程的正根为或．

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