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第二十六章《二次函数》单元复习题
一、选择题
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 二次函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则代数式 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知二次函数 的开口向上，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点 ，， 都在抛物线 上，则 ，， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9. 抛物线 的对称轴是________，顶点坐标是________。
10.已知二次函数 的最小值为 ，则 的值为________。
11. 将抛物线 化为顶点式为________________。
12. 已知抛物线 经过点 ，，则抛物线的对称轴为________。
13. 某商品原价 元，连续两次涨价后售价为 元，则平均每次涨价的百分率为________。
14. 已知二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，则 的面积为________。
三、解答题
15. 已知二次函数 。
（1）用配方法将其化为 的形式；
（2）指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）当 时，求函数的最大值和最小值。
16. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该抛物线与 轴的交点坐标。
17. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 。
（1）求 ，， 三点的坐标；
（2）求 的面积。
18. 某跳水运动员进行 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点 的一条抛物线。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 ，入水处距池边的距离为 。同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
求这条抛物线的解析式；
在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
19.已知二次函数 。
（1）求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个交点；
（2）若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值。
20. 某商店将进货价为每件 元的商品按每件 元售出时，每天可售出 件。已知这种商品每涨价 元，每天的销售量就减少 件。问：将售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
参考答案
一、选择题
1. C
A为一次函数；B等于号右边不是整式；D化简后没有二次项。
故选：C．
2. A
【详解】（2，3）
故选：A
3．B
故选：B．
4.B
故选B
5.D
【详解】把代入 中得，
=3+2024=2027，故选D
6.D
开口向下 ；对称轴在左侧 ；与 轴交正半轴 ； 时由图像 ，D 正确。
7.B
开口向上，，。
故选B
8. D
【详解】。，，。。
故选D
二、填空题
9. ；
【详解】；
10.
11.
12.
13.
14.6
令y=0,
令x=0则y=-3,
三、解答题
15. （1）
a=1＞0，所以开口向上，对称轴x=2， 顶点坐标（2，-1）
当x=-1时，最大值为8； 当x=2时，最小值为-1.
16. (1) 设，代入 ：，。
（2），，。
该抛物线与 轴的交点坐标
17. (1) 令y=0，，
所以，，
令x=0则y=-3
。
（2）， 到 轴距离 ，
18. （1）求抛物线的解析式
以跳台边缘 为原点，建立如图所示的直角坐标系： 轴水平向右（指向池内）， 轴竖直向上。
由题意可知：
跳台距水面 ，即水面所在直线为 ；
运动员在空中的最高处距水面 ，即最高点距跳台的高度为 ，即顶点纵坐标为 ；
抛物线经过原点 ；
池边在 点左侧水平距离 处，入水处距池边 ，故入水点的横坐标为 ，即入水点 的坐标为 。
因为抛物线经过原点，所以设抛物线解析式为：
条件一： 顶点纵坐标为 。
由顶点公式，，得：
条件二： 抛物线过点 。
将 ， 代入 ：
化简得：
由 ② 得：
代入 ①：
两边同乘 ，去分母：
用求根公式：
当 时，
此时顶点横坐标
顶点在 点左侧，抛物线对称轴在 轴左侧， 不符合抛物线向右延伸的实际方向，舍去。
当 时，
此时顶点横坐标 ，符合实际。
（2）判断是否会失误
运动员距池边的水平距离为 ，池边在 处，故运动员的横坐标为：
将 代入抛物线解析式：
此时运动员距水面的高度为：
因为 ，即运动员调整好入水姿势时，距水面高度不足 ，尚未在 高度以上完成规定动作。
19.（1）证明抛物线与 轴总有两个交点
令 ，得
计算判别式：
因为 ，且 的值与 无关，恒为正数，
所以无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根，
即该抛物线与 轴总有两个交点。
（2）求 的值
由求根公式，方程 的两根为：
即 ，
两个交点分别为 和 ，它们之间的距离为：
20. 设每件商品涨价 元（），则：
每件售价为 元；
每件利润为 元；
每天销售量为 件。
设每天获得的总利润为 元，则：
展开：
提取公因数并配方：
因为 ，所以当 时， 取最大值，最大值为 。
此时售价为：（元）。
故售价定为每件 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 元。

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