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第一章 动量守恒定律
章末总结
例1 (2026·江苏省前黄高级中学段考)如图1-1所示，光滑水平面上静止的、 两个物
体相互接触，但并不粘合，两物体的质量分别为、。从 时
刻开始，水平推力和水平拉力分别作用在、上，和 随时间的变化规律分
别为、 ，求：
图1-1
（1）从静止到、刚要分开的过程中，、 整体的动量变化量；
【答案】 ，方向水平向右
[第1步：求、 分开前整体的加速度]
取水平向右为正方向，、分开前，对、 整体分析，有
解得
[第2步：求、 刚要分开时整体的速度]
设经过时间，、刚要分开，此时、之间弹力为0，对 ，有
解得
此时、整体的速度为
[第3步：求从静止到、 刚要分开的过程中，整体的动量变化量]
从静止到、刚要分开的过程中，、 整体的动量变化量为
，方向水平向右。
（2）从静止到、刚要分开的过程中，它们之间弹力对 的冲量。
【答案】 ，方向水平向左
【解析】随线性变化，时，，时， ，则从静止到
、刚要分开的过程中， 的冲量为
对，根据动量定理可得
解得
可知、之间弹力对的冲量大小为 ，方向水平向左。
例2 如图1-2所示，固定光滑曲面轨道在 点与光滑水平地面平滑连接，地面上静止
放置一个表面光滑、质量为的斜面体。一质量为的小物块从高 处由静止开
始沿轨道下滑，在点与质量为的静止小物块发生碰撞，碰撞后、 立即粘连
在一起向右运动（碰撞时间极短），之后平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最
大高度小于斜面体高度。不计空气阻力，重力加速度为 。求：
图1-2
（1）、 碰撞过程中产生的热量；
【答案】
【解析】设滑到曲面轨道底端时的速度为， 下滑过程机械能守恒，由机械能守
恒定律得
设、碰后共同速度为，、 碰撞过程动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒
定律得
由能量守恒定律得
解得、碰撞过程中产生的热量 。
（2）和在斜面体 上上升的最大高度；
【答案】
【解析】、、组成的系统在水平方向动量守恒，、 到达最高点时三者在水平
方向速度相等，以向右为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得和在斜面体上上升的最大高度 。
（3）斜面体 获得的最大速度。
【答案】 ，方向水平向右
【解析】、一起冲上斜面体后又返回地面时，获得的速度最大，设此时、 的
共同速度为，的速度为，、与 组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为
正方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得，
即斜面体获得的最大速度为 ，方向水平向右。
建构导图明思路
例3 (福建高考题)如图1-4所示，形滑板 静置在粗糙水平地面上，滑板右端固定一
劲度系数为的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块 相连，弹簧处于原长状态，一小物
块以初速度从滑板最左端滑入，滑行后与 发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极
短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板也开始运动，已知、、 的质量均
为,滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 ；
最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内，求：
图1-4
（1） 在碰撞前瞬间的速度大小；
【答案】
【解析】物块从滑板左端运动至刚要与物块 相碰过程，由动能定理得
解得物块碰撞前瞬间的速度大小为 。
（2）与 碰撞过程中损失的机械能；
【答案】
【解析】物块、 碰撞时间极短，碰撞过程中动量守恒，取向右为正方向，由动量
守恒定律得
解得物块与物块 碰后一起运动的速度大小
根据能量守恒定律可得物块与物块 碰撞过程系统损失的机械能为
解得 。
（3）从与相碰到开始运动的过程中，和 克服摩擦力所做的功。
【答案】
【解析】滑板刚要滑动时，对滑板 ，由平衡条件得
解得弹簧的压缩量 （即滑板开始运动前物块和 物块 一起运动的位移
大小。）
故从与相碰到滑板开始运动的过程中物块和物块 克服摩擦力做功
解得 。
. .
图1-5
例4 (清华大学夏令营试题)一质量为、长为 的柔软绳自由悬垂，下端
恰与一台秤的秤盘接触。某时刻放开柔软绳上端，如图1-5所示，求台
秤的最大读数。重力加速度为
【答案】
【解析】设时刻落到秤盘上的绳长为,此时绳速为。在 时间内，
有质量为的绳落到秤盘上，其中 为绳的线密度（线密度等于绳单位长度
的质量）。设时间内台秤对微元段绳的支持力为 ,取向上为正方向，忽略微元段
绳本身的重力冲量，根据动量定理，有
解得
故台秤的读数
当时，台秤的读数最大，所以台秤的最大读数为 ,出现在柔软绳将要全部落
到秤盘上时。
图1-6
例5 (清华大学“领军计划”试题)如图1-6所示，用长度同为 的轻质细
绳悬挂四个弹性小球、、、，它们的质量依次为、 、
、，且满足。将球拉起一定角度 后
释放，则球开始运动时的速度为重力加速度为 ( )
D
A. B.
C. D.
【解析】设碰撞前瞬间的速度为 ，根据机械能守恒定律，有
解得
设与碰撞后与的速度分别为和 ，根据动量守恒定律，有
①
根据机械能守恒定律，有
②
联立①②式得
因，则。同理，, ，所以
,D选项正确。
【强化训练丨变式题】
图1-7
1.(武汉大学强基计划试题，多选)如图1-7所示，质量为的物体 紧挨着
质量为的物体，从距离地面的高度为 处由静止开始下落，
下落以后所有的碰撞都发生在同一条竖直线上，并且均为完全弹性碰撞，
设两个物体的线度都远小于。如果碰撞后物体处于静止状态，用
代表物体 弹起的高度，下列结果正确的是( )
AC
A. B. C. D.
【解析】设与地面碰撞前瞬间的速度大小为，着地后原速返回与 发生弹性碰
撞，碰撞后的速度为 ，以竖直向上为正方向，由动量守恒定律及碰撞前后动能不
变有，，可求得 ，选项A正确，
B错误；以整个过程为研究对象，由机械能守恒定律有 ，又因
为，可求得 ，选项C正确，D错误。
图1-8
2.(中国科学技术大学自主招生试题)如图1-8所示，光滑的水平桌面
上有一小车，小车的支架上用长为 的细杆悬挂一质量为
的钢球。细杆质量忽略不计，小车及支架的质量为
，开始时小车静止，细杆拉到水平位置，由静止释放。
求当细杆落到与水平方向夹角为 时小车发生的位移。
【答案】 ，方向水平向左
【解析】本题可根据“人船模型”进行求解。 当细杆落到与水平方向夹角为 时，
设钢球的水平位移大小为，小车发生的位移大小为 ，根据“人船模型”，有
， ，解得小车的位移大小为
，方向水平向左。
3.(清华大学强基计划试题改编，多选)如图1-9，砂石以的速度沿 倾角
的斜面传送带匀速抛出，最终落入卡车内（下落后不反弹）， ，砂石在传
送带上时的质量为 ，称量台在卡车下方，所称得的重量不计卡车自重，
则在传送带开始运行后取 ( )
BC
图1-9
A.称量台称得质量为 B.称量台称得质量为
C.称量台所受静摩擦力为 D.称量台所受静摩擦力为
【解析】砂石从传送带上抛出时具有的水平初速度 ，竖直
初速度 ，根据机械能守恒定律知，砂石在落入卡车前瞬间竖
直方向的速度 ，由动量定理可得，砂石下落对卡车的额外
冲击力，折合质量 ，再考虑到已下落砂石在车中的质量
式中 ，（【点拨】砂石在空中做斜抛运动耗时0.8 s,
故车内有前1.2 s抛入的砂石。）可得称量台称得的重量为 ,故A错误，B正确。
设砂石落在卡车上时所受平均力为，在水平方向的分力为 ，则在水平方向，根
据动量定理有 ,由牛顿第三定律及力的平衡可知，称量台所
受静摩擦力大小为 ，故C正确，D错误。
. .
体验高考
1.(2024·江苏卷)如图1-10所示，在水平面上有一个形滑板， 的上表面有一个静止
的物体，左侧用轻弹簧连接在滑板的左端，右侧用一根细绳连接在滑板 的右端，
开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，剪断细绳后，则( )
A
图1-10
A.弹簧恢复原长时动量最大 B.弹簧压缩最短时 动量最大
C.整个系统动量变大 D.整个系统机械能变大
【解析】
2.(2023·广东卷，多选)某同学受电动窗帘的启发，设计了如图1-11所示的简化模型。
多个质量均为 的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力。开窗帘过程中，电机对
滑块1施加一个水平向右的恒力，推动滑块1以 的速度与静止的滑块2碰撞，
碰撞时间为，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为 。关于两滑块的碰
撞过程，下列说法正确的有( )
BD
图1-11
A.该过程动量守恒
B.滑块1受到合外力的冲量大小为
C.滑块2受到合外力的冲量大小为
D.滑块2受到滑块1的平均作用力大小为
【解析】
3.(重庆高考题)在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小组得
到了假人头部所受安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图1-12）。从碰撞开始
到碰撞结束过程中，若假人头部只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头部
( )
D
图1-12
A.速度的变化量大小等于曲线与横轴围成的面积
B.动量大小先增大后减小
C.动能变化正比于曲线与横轴围成的面积
D.加速度大小先增大后减小
【解析】假人的头部只受到安全气囊的作用，则 图像与横轴围成的面积表示合
外力的冲量大小，根据动量定理可知， 图像与横轴围成的面积等于假人头部动
量的变化量大小，故A错误；由题意结合图像可知，假人头部动量一定先减小，故B
错误；根据动量与动能的关系有，结合 图像与横轴围成的面积表示动
量的变化量大小，可知动能的变化量和曲线与横轴围成的面积不成正比，故C错误；
假人头部只受到安全气囊的作用，则根据牛顿第二定律可知 ，即假人头部的加
速度大小先增大后减小，故D正确。
4.(2023· 新课标卷，多选)如图1-13所示，使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止
于水平桌面上，甲的极正对着乙的 极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间
的动摩擦因数相等。现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻
( )
BD
图1-13
A.甲的速度大小比乙的大
B.甲的动量大小比乙的小
C.甲的动量大小与乙的相等
D.甲和乙的动量之和不为零
【解析】
根据牛顿第三定律，甲、乙之间相互的作用力大小相等，方向相反，甲、乙两磁铁
的受力情况如图所示：
（整体法）
取向左为正方向
（隔离法）
取向左为正方向
图1-14
5.(2024·福建卷)某小组基于动量守恒定律测量玩具
枪子弹离开枪口的速度大小，实验装置如图1-14
（a）所示。所用器材有：玩具枪、玩具子弹、装
有挡光片的小车、轨道、光电门、光电计时器、
十分度游标卡尺、电子秤等。实验步骤如下：
（1）用电子秤分别测量小车的质量 和子弹的质
量 ；
（2）用游标卡尺测量挡光片宽度，示数如图（b）所示，宽度_____ ；
0.99
【解析】游标卡尺的分度值为 ，则挡光片的宽度为
。
（3）平衡小车沿轨道滑行过程中的阻力。在轨道上安装光电门和 ，让装有挡光
片的小车以一定初速度由右向左运动，若测得挡光片经过、 的挡光时间分别为
、 ，则应适当调高轨道的____（选填“左”或“右”）端。经过多次调
整，直至挡光时间相等；
右
【解析】小车经过光电门的速度为
测得挡光片经过、的挡光时间分别为、 ，可知小车经过光电门
的速度大于经过光电门 的速度，故应适当调高轨道的右端。
（4）让小车处于 的右侧，枪口靠近小车，发射子弹，使子弹沿轨道方向射出并粘
在小车上，小车向左运动经过光电门，测得挡光片经过的挡光时间 ；
（5）根据上述测量数据，利用公式_ ______（用、、、 表示）即可得到
子弹离开枪口的速度大小 ；
【解析】小车经过光电门的速度为
子弹击中小车并粘上小车的过程，根据动量守恒定律有
解得 。
（6）重复步骤（4）五次，并计算出每次的 值，填入下表；
次数 1 2 3 4 5
速度 59.1 60.9 60.3 58.7 59.5
（7）根据表中数据，可得子弹速度大小的平均值为_____ 。（结果保留三位有
效数字）
59.7
【解析】根据表格数据，可得子弹速度大小 的平均值为
。
图1-15
6.(2025·河北卷)如图1-15，一长为 的平台，距水
平地面高度为。质量为 的小物块以
的初速度从平台左端水平向右运动。物块与
平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，
不考虑空气阻力，重力加速度取 。
（1）求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。
【答案】
【解析】小物块在平台上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有
则小物块从开始运动到离开平台有
小物块从平台飞出后做平抛运动，有，
联立解得，， 。
（2）若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为 ，物块从离开平台到弹起至
最大高度所用时间共计 。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，
以及物块弹离地面时水平速度的大小。
【答案】
【解析】物块第一次落到地面后弹起的最大高度为 ，设物块弹起至最大高度
所用时间为，弹起时竖直方向初速度为，则有，
解得，
则物块与地面接触的时间
取竖直向上为正方向，物块与地面接触的过程中，根据动量定理，在竖直方向有
，
解得
取水平向右为正方向，在水平方向有
，
解得
但由于 减小到0之后，在水平方向上物块与地面无相对运动和相对运动的趋势，
故 。
图1-16
7.(2024·浙江6月卷)一弹射游戏装置竖直截面
如图1-16所示，固定的光滑水平直轨道 、半
径为的光滑螺旋圆形轨道 、光滑水平直
轨道平滑连接。长为、质量为 的平板紧
靠长为的固定凹槽侧壁放置，平板上表面与齐平。将一质量为 的小
滑块从端弹射，经过轨道后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达 即被
锁定。已知，，， ，平板与滑块间的动
摩擦因数、与凹槽水平底面间的动摩擦因数为 。滑块视为质点，不计
空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点时，求滑块离开弹簧时速度 的大小；
【答案】
【解析】滑块恰好能通过圆形轨道最高点时，有
从滑块离开弹簧至滑块运动到 点的过程，根据动能定理，有
解得 。
（2）若，滑块恰好过 点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
【答案】
【解析】若 ,从滑块滑上平板带动平板一起运动，到平板加速至与滑块共速过
程，平板与滑块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律，有
其中
根据能量守恒定律，有
解得 。
（3）若，滑块能到达点，求其离开弹簧时的最大速度 。
【答案】
【解析】若 ，平板与滑块相互作用过程中，滑块的加速度大小为
，平板的加速度大小为
共速后，二者的共同加速度大小为
滑块从滑上平板至到达 点过程，有2种可能情况：
①滑块在平板上一直做减速运动直到到达 点；
②滑块在平板上先做减速运动至与木板共速，此时滑块恰好运动至木板最右端，然
后二者共同做减速运动至到达 点。
假设滑块做第②种运动，则滑块从滑上平板至二者共速过程，有
该过程，滑块、木板的位移分别为，
共速时，二者的相对位移为
解得，，
随后二者共同减速至点，位移为
到达点的速度
说明可以到达 点，因此假设成立，此过程对应的滑块离开弹簧时的速度大小为
，若滑块离开弹簧时的速度大小大于，则滑块在到达 点之前会从木板
右侧掉落，故滑块离开弹簧时的最大速度 。

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