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山东省济宁市兖州区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．若在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．小明把一根长为的木条加工成一个直角三角形框架，这个三角形的三边长可以是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．河北省在每年4月23日“世界读书日”前后都会举办系列阅读活动．为了解学生们的阅读情况，数学老师统计某班40名学生30天内去图书馆的次数，并将结果绘制成如图所示的统计图，则40名学生去图书馆次数的众数是（ ）
A．2次 B．10人 C．3次 D．3.5次
4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
8．对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大
C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况
9．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为
10．如图，，，动点P从原点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，直线l：经过点P．设点P移动的时间为t秒，下列结论中正确的有（ ）
①；②当直线l经过点B时，t的值为7；③当直线l与线段有交点，且l与x轴，y轴以及线段所围成的封闭图形内部（不含边界）仅有5个整点（横、纵坐标均为整数）时，t的取值范围为．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）．
12．如图，“辽契丹文八角铜镜”收藏于吉林省博物院，形状可看作正八边形，它的一个外角的度数是___________．
13．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是______．
14．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为___________．
15．如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为______．
三、解答题
16．计算
(1)
(2)
17．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示．
(1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________．
(2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？
(3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？
18．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形的周长；
(2)求的度数．
19．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
20．山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
21．青城公园的摩天轮是孩子们非常喜欢的游乐项目，明珠中学的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．
【实践过程】
小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度y和所用的时间x的数据，并绘制变化图如图2．
【问题研究】请根据图2中信息回答
旋转时间 0 3 6 8 12 …
高 5 5 5 …
(1)根据图2补全表格
(2)如表反映的两个变量中，自变量是 ，摩天轮转一周需要 分钟；
(3)摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）；
(4)如图3，摩天轮某个吊舱（吊舱可以看做圆周上的点）从点A旋转到点B需分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度（结果保留）
22．如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题：
命题1：若连接交于点，则．
命题2：若连接，则．
命题3：若连接，则．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
23．【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．
（1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型应用】
（2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系．
参考答案
1．D
解：根据题意得，，
解不等式得．
2．B
解：对选项A，，，，不符合勾股定理，∴不符合题意．
对选项B，，符合勾股定理，∴符合题意．
对选项C，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，∴不符合题意．
对选项D，，，，不符合勾股定理，∴不符合题意．
3．A
解：由统计图知，去图书馆2次的人数最多，故众数是2次．
4．D
解：选项A：∵ 平行四边形本身就有的性质，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中，
∴ 平行四边形是矩形，该选项正确．
故选：D ．
5．D
解：∵点为第二象限内的点，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意．
故选：D．
6．C
解：∵一次函数解析式为，
∴，
∴随的增大而减小，
∵，
∴．
7．C
解：∵，
∴与成正比例，即是的正比例函数，
∴，
故选：．
8．D
解：∵ 离差平方和的大小受数据个数影响，
题干中未提供数据和的个数，
∴ 无法判断两组数据的波动情况．
故选：D．
9．C
解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
10．C
解：动点P从原点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，t秒后P的坐标为，
直线l：经过点，
代入得：，
解得，结论①正确；
已知，直线l的解析式为．
将代入得：，
解得，所以结论②正确；
线段的端点为，，是一条垂直于x轴的线段．
直线l：与的交点横坐标为3，代入得，交点需满足，即，
封闭图形内部的整点：
当时，直线l：，内部整点为、、，共3个，不符合；
当时，直线l：，内部整点为、、、、，共5个，符合；
实际满足“内部仅有5个整点”的t范围是，而非．
所以结论③错误．
11．3（答案不唯一）
解：∵，
∴，
∵，
∴整数可以是，
故答案为：3（答案不唯一）
12．/45度
解：
∴它的一个外角的度数是 ．
13．21
【详解】∵189=32×21，
∴，
∴要使是整数，n的最小正整数为21．
故填：21．
14．
解：当时，，
解得，则；
∴，
当时，，则，
∴，
∴，
∵以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C，
∴，
∴，
∴C的坐标为，
故答案为∶．
15．或
解：①如图，
∵是矩形的对称轴，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可得，，，
在中，，
∴，
设，则，，
在中，，即，解得：，
②是矩形的对称轴，
过点作，并延长交于点Q，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵是矩形的对称轴，
∴，
由折叠的性质可得，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
综上所述，或，
故答案为：或．
16．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)128；128
(2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学
(3)甲班平均分较高
（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128，
故答案为：128；128；
（2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学；
（3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高．
18．(1)
(2)
（1）解：，，，；
四边形的周长为
．
（2）解：连接，
，，，
．
．
，
．
19．（1）；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，
理由如下；∵，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
解：（1）设，其中，
∴，
∴，
∵比较小，将忽略不计，
∴，
∴，
∴；
（2）略
20．(1)
(2)注水5小时可供发电万千瓦时．
（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式．
（2）解：设注水时间为x小时，
根据题意，得，
解得．
答：注水5小时可供发电万千瓦时．
21．(1)见解析
(2)旋转时间x；6
(3)70；5
(4)
（1）解：根据图象可知：当时，，当时，；
填表如下：
旋转时间 0 3 6 8 12 …
高 5 70 5 54 5 …
（2）解：如表反映的两个变量中，自变量是旋转时间，摩天轮转一周需要，
故答案为：旋转时间x；6；
（3）解：根据图象可知：摩天轮最高点距地面，摩天轮最低点距地面，
故答案为：70；5；
（4）解：∵摩天轮转一周需要，
∴摩天轮旋转，旋转的角度为：，
∵摩天轮的直径为，
∴这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度：
．
22．命题1是真命题，
证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，且，，
为的中点，
是的中位线，则，
，则；
命题2是真命题，
证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
；
命题3是真命题，
证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
23．（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
（1）解：．证明如下：
由旋转的性质，得，，，，
∴，
∴点E，B，C共线．
∵，
∴．
在和中
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图1，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴，．
∴，
∵，
∴．
在和中
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，将绕点A逆时针旋转得，
∴，，，
∵，
∴，
∴点E，D，C共线．
，，
，
，，
，
∴，
∵，
∴．

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