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山东泰安市肥城市2025—2026学年度下学期期末考试七年级数学试题
一、单选题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．打开电视，正在播放新闻
C．明天早晨的太阳从东方升起 D．射击运动员射击一次，命中九环
3．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知为（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，是的角平分线，于点，交的延长线于点，若恰好平分，．则下列结论：；；；，其中正确的结论有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．已知是二元一次方程的一组解，则______．
12．如图1，在面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在长方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积约为______．
13．将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是__________．
14．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为___________．
15．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______．

三、解答题
16．解下列方程组或不等式（组）
(1)；
(2)；
(3)解不等式，并把解集表示在所给的数轴上：
(4)求不等式组的整数解．
17．主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在我市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，初一数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300
自觉佩戴头盔的骑行者/人 171 216 266 250 228 285
骑行者自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m
(1)表格中 ；
(2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为 ；（结果精确到0.01）
(3)若该小组某天调查到有50位骑行者经过该路口时没有佩戴头盔，请问这天经过该路口的电动自行车大约有多少辆？
18．如图，已知，与互补．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
19．如图，直线与直线相交于点．
(1)求p的值；
(2)直接写出关于x，y的二元一次方程组的解；
(3)若直线与x轴交于点，求m和n的值．
20．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别是多少元；
(2)若快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且他平均每天的提成不低于340元，求他平均每天最多可送多少件．
21．如图， ，直线与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：平分．
22．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．
【问题解决】
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围．
23．【探究型问题】
(1)小欣遇到这样一个问题：
如图①，在等边三角形中，于点，为上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．求的度数．
小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题：
方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题；
方法二：过点作于点，构造全等三角形可以解决问题．
请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题．
(2)参考小欣思考问题的方法，解决下列问题：
如图②，在等腰三角形中，，于点，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明．
参考答案
1．D
解∶选项A：是代数式，不是方程，不符合题意；
选项B： 中，项的次数为2，不符合二元一次方程定义，不符合题意；
选项C： 中含有三个未知数，不符合二元一次方程定义，不符合题意；
选项D：，是含有两个未知数的整式方程，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程定义；
故D选项正确．
2．C
解：A、经过路口遇到的信号灯颜色不确定，该事件是随机事件，不符合要求；
B、打开电视播放的内容不确定，该事件是随机事件，不符合要求；
C、太阳每天早晨一定从东方升起，该事件一定发生，是必然事件，符合要求；
D、 射击运动员射击一次的命中结果不确定，该事件是随机事件，不符合要求．
3．D
解：已知，
对A选项，不等式两边同时加1，不等号方向不变，得，A不成立；
对B选项，不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，B不成立；
对C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，C不成立；
对D选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ，即 ，D成立．
4．C
解：A选项：∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，本选项缺少“两条直线平行”的前提条件，∴该说法错误；
B选项：∵全等三角形要求至少有一组对应边相等，三个角对应相等只能保证三角形形状相同，大小不一定相等，无法判定全等，
∴该说法错误；
C选项：∵这是平行公理，表述内容正确，
∴该说法正确；
D选项：∵该结论只有在同一平面内才成立，本选项缺少“同一平面内”的前提条件，
∴该说法错误．
5．B
解：∵ ，
∴，
∵，
∴， 即，
∵，
∴，
∴．
6．C
解： 点在直线上，
把，代入，得
解得
直线与的交点为
直线可化为，直线可化为，
方程组的解就是两直线交点的坐标，即
7．D
解：∵在中，，，
∴，
由作图可知：垂直平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴.
8．D
解：根据题意可得．
9．B
解：A．不等式的解集是，故不符合题意；
B．不等式的解集是，故符合题意；
C．不等式的解集是，故不符合题意；
D．不等式的解集是，故不符合题意．
10．D
解：，
，
平分，
，
，
，
是的角平分线，
，，故正确；
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故正确；
，，
，故正确；
综上所述，正确的结论有个．
11．
解：将，代入方程，
得，
则
．
故答案为∶
12．
解：试验频率稳定在0.5，长方形总面积，
阴影面积．
13．/15度
解：∵
∴
∴．
14．
解：解得，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴要使不等式组的解集为，则需．
15．
【详解】：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，
∵的平分线交于点D，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
∵，，，
且，
∴，
直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
16．(1)；
(2)；
(3)，表示解集如图：
；
(4)整数解：，0，1，2，3
（1）解：
①+②：，
解得
将代入①：，
，
方程组解：；
（2）解：
②两边同乘6去分母：
展开化简：③
①+③：，
将代入①：，
，
方程组解：；
（3）解：
去括号：
移项合并：
系数化为1：
数轴画法：数字3处画空心圆圈，向左画射线；
（4）解：不等式组
解①得：
解②得：
不等式组解集：
整数解：，0，1，2，3
17．(1)0.95
(2)0.95
(3)1000辆
（1）解：由题意得，；
（2）由表格可知，随着统计次数的增加，骑行者自觉佩戴头盔的频率逐步稳定在0.95附近，
故经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为0.95；
（3）解：辆，
答：这天经过该路口的电动自行车大约有1000辆．
18．(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：，
．
．
，
，
又，
，
；
（2）解：平分，
，
又，
．
，
，
．
，
，
．
19．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，直线与直线相交于点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为；
（3）解：∵，，
∴，
解得．
20．(1)平均每送一件和平均每揽一件的提成分别是1.5元和2元；
(2)平均每天的送件数最多是120件
（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是x元，平均每揽一件的提成是y元，根据题意得：
，
解得，
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别是1.5元和2元；
（2）解：设他平均每天的送件数为a件，则他平均每天的揽件数为件，
根据题意得：
，
解得，
答：他平均每天最多可送件．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
；
（2）证明：，，
∴，，
∴ ，
，
，
，
∴平分．
22．(1)②
(2)
(3)
（1）解：由得，；
由得，．
解不等式组得，．
因为，，
所以不等式组的“相伴方程”是②．
（2）解：由得，x．
解不等式组得，，
则，
解得．
（3）解：由得，；
由得，；
由得，．
因为所给方程都是不等式组的“相伴方程”，
所以，
解得．
23．(1)，解法见解析
(2)图见解析，猜想，证明见解析
（1）解：方法一：连接并延长交于，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵在等边中，于点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：过F作于点M，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵在等边中，于点D，
∴是的垂直平分线，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
，
（2）解：补全图形如图，猜想，证明如下：
连接，设交于点M，
∵，，
∴是的垂直平分线，，
∴，
又∵，
∴，
∴;
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．

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