资源简介

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2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷9）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.(2020课标Ⅲ理,1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.6
2.(2026届浙江绍兴诊断,4)“x=π”是“sin x=0”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　 　D.既不充分也不必要条件
3.(2020新高考Ⅱ,3,5分)若D为△ABC的边AB的中点,则=　 (　　)
A.2 C.2
4.(2023新课标Ⅱ,3,5分)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有　 (　　)
A.种 C.种
5.(2023全国乙理,4,5分)已知f(x)=是偶函数,则a=　 (　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
6.(2023新课标Ⅱ,7,5分)已知α为锐角,cos α=,则sin= (　　)
A.
7.(2022全国乙,文10,理8,5分)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　　)
A.14　　　B.12　　　C.6　　　D.3
8.(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f'(x)+,且f(e)=,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a>b>c　　　B.a>c>b　　　C.b>c>a　D.c>b>a
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.(2026届黑龙江齐齐哈尔质量检测,9)已知z=2+i为关于x的方程x2-ax+5=0(a∈R)在复数范围内的一个根,则 (　　)
A.|z2|=5 B.a=4 C.+2为纯虚数 D.2-i为关于x的方程x2-ax+5=0的另一个根
10.(2026届江苏南京中华中学模拟,9)下列命题中正确的是 (　　)
A.若随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=2,则D(X)=
B.若P(AB)=0.34,P(B)=0.71,则P(B)=0.37
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ>2)=p,则P(-2<ξ<0)=-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数X服从二项分布B(10,0.8),则X=8的概率最大
11.(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　　)
A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.(2026届河北保定期中,13)不等式≤1的解集是　　　　.
13.(2025届江苏南京一中二模,12)正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线中,与AD1所成角为60°的有　　　　条.
14.(2022天津,15,5分)设a∈R,对任意实数x,用f(x)表示|x|-2,x2-ax+3a-5中的较小者.若函数f(x)至少有3个零点,则a的取值范围为　　　　.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(2026届广东佛山S6高质量发展联盟联考,18)不同AI大模型各有千秋,适用领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A,B两款不同AI大模型是否使用,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
B款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率;
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,从乙学院全体学生中随机抽取1人,记这3人中使用A款大模型的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y1,其方差估计值为D(Y1),从该校乙学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y2,其方差估计值为D(Y2),比较D(Y1)与D(Y2)的大小.
16.(2025届北京丰台二模,20)已知函数f(x)=(x3+2x2)eax+b(a,b∈R)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程为y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤-x2-2x,求x的取值范围.
17.(2026届湖南长沙一中月考,16)如图,AB是☉O的直径.PA与☉O所在的平面垂直,PA=AB=2,C是☉O上的一动点(不同于A,B),M为线段PB的中点,点N在线段PC上,且AN⊥PC.
(1)求证:AN⊥MN;
(2)当AC=BC时,求直线PC与直线AM所成角的余弦值.
18.已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:g(x)>-;
(3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围.
19.(2022新高考Ⅱ,21,12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.绝密 ★ 启用前
2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷10）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合S=,T=,则S∪T= (　　)
A. 　　　B.S　　　C.T　　　D.Z
2.在△ABC中,已知AB=3,BC=4,AC=5,那么= (　　)
A.25　　　B.24　　　C.-24　　　D.-25
3.★★(跨学科·物理)(2026届浙南名校联盟联考,4)冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动.在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门,多者为胜.小华同学在练习冰球的过程中,以力F=(sin α,cos α),α∈R作用于冰球,使冰球从点A(1,2)移动到点B(4,6),则力F对冰球所做的功的最大值为 (　　)
(动力做的功W=F·)
A.　　　B.3　　　C.4　　　D.5
4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 (　　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则 (　　)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
6.已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏,规则为:每局中两人出法相互独立,且出石头、剪刀、布的概率均为,若两人出法不同则直接定胜负(石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头),若出法相同则重新开局.记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A,则P(A)= (　　)
A.
7.设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　　)
A.　　　 C.
8.若函数y=sin个单位长度后得到的图象关于y轴对称,则实数ω可以是 (　　)
A.　　　C.2　　　D.-2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知幂函数f(x)=ea-2xa+1,则 (　　)
A.a=3
B. f(x)为奇函数
C.方程f(x)=x有3个不相等的实根
D. f(1.1)>f(-0.8)>f(a)
10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　　)
A.p1≥p2　　 　B.p2>10p3
C.p3=100p0　　　D.p1≤100p2
11.已知正方形ABCD的边长为2,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去.若把正方形ABCD的面积记为数列的首项a1,后继各正方形的面积依次为a2,a3,…,an,…,则下列结论正确的为 (　　)
A.a10=
B.前10个正方形的面积之和为
C.数列{log2an}的前100项之和为-4 850
D.若这个作图过程可以一直继续下去,则所有正方形的面积之和将趋近于8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.
13.已知函数f(x)=sin,将f(x)的图象向左移动φ(φ>0)个单位长度后得到的图象对应的函数为g(x),若函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值是一个小于1的正数,则一个符合条件的φ=　　　　.
14.已知一个红球和三个半径为3的白球,这四个球两两外切,且它们都内切于一个半径为7的黑球,则红球的表面积为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:BC⊥DA;
(2)点F满足,求二面角D-AB-F的正弦值.
16.2023年9月26日,位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了,首期共有70个摊位,集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业,推动潮州菜产业发展,是潮州美食产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度,随机对100名游客进行问卷调查(满分100分),这100名游客的评分分别落在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所示.
(1)根据频率分布直方图,求这100名游客评分的平均值(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表);
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价,采用分层抽样的方法从满意度评分位于区间[50,60),[60,70),[80,90)的游客中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到满意度评分位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望.
17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
18.已知函数f(x)=ln x-ax-1(a∈R).
(1)若f(x)存在两个零点,求实数a的取值范围;
(2)设函数g(x)=xf(x),若g(x)有两个极值点x1,x2,证明:x1x2>e2.
19.已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,有|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=2,过点M作MN⊥l于点N,求;
(3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系并证明.
五、附加题：本题共 15 小题，共 150 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20.已知数列{an}的首项a1=1,an+an+1=4×3n.
(1)求证:{an-3n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)令bn=,求数列{bn}中的最大项.
21.已知α=2ln 64,β=3ln 9,γ=7ln 5,则 (　　)
A.γ>α>β　　　B.γ>β>α　　　C.β>γ>α　　　D.β>α>γ
22.若a=,b=,c=,则 (　　)
A.a23.已知f(x)=x2+2x-ln x,m∈R.
(1)若曲线f(x)在(1, f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直,求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若m=0,当024.(2025全国一卷,19,17分)(1)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间的最大值;
(2)给定θ∈(0,π)和a∈R,证明:存在y∈[a-θ,a+θ]使得cos y≤cos θ;
(3)设b∈R,若存在φ∈R使得5cos x-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立,求b的最小值.
25.某物流公司为了扩大业务量,计划改造一间高为6米,底面积为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙,无需建造费用,设仓库前面墙体的长为x(4≤x≤6)米.现有甲、乙两支工程队参加竞标,甲队的报价方案为仓库前面新建墙体每平方米400元,左右两面新建墙体每平方米300元,屋顶和地面以及其他共计28 800元;乙队给出的整体报价为·6k·104元(k>0).不考虑其他因素,若乙队要确保竞标成功,则实数k的取值范围是　　　　.
26.甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛.经约定,进行如下4场比赛决定胜负关系:
①乙、丙两名同学进行本场比赛,败者落入败者组;
②甲与第①场比赛胜者比赛,败者落入败者组;
③败者组两人进行比赛,败者记为第三名;
④第②,③场比赛胜者进行比赛,胜者记为第一名,败者记为第二名.
设每场比赛双方获胜的概率均为.
(1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率;
(2)求甲最终获胜的概率;
(3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析,该比赛规则是否对甲有利.
27.某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
28.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
29.在两个大小相同、距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛,每人至多投3次.具体比赛规则如下:①在距离较远的区域内投一次特制沙包,投进得5分,没投进不得分;②在距离较近的区域内投两次普通沙包,每投进一次得3分,没投进不得分(若可以投两次普通沙包,则连续投两次普通沙包);③若前两次均投进或均未投进,都停止比赛;④得分高于5分则获得相应奖励.已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是,在距离较近的区域内投中沙包的概率是,且每次是否投进互不影响.
(1)若甲同学先投特制沙包,求他投掷2次就停止该项比赛的概率.
(2)为使获得奖励的概率最大,甲同学应先投哪种沙包
(3)为使投中沙包累计得分的期望最大,甲同学应先投哪种沙包
30.在平面直角坐标系 中，点 ， 的坐标分别为 ，．设曲线 上任意一点 满足 ．
(1) 求曲线 的方程，并指出此曲线的形状；
(2) 对 的两个不同取值 ，，记对应的曲线分别为 ，．
①若两曲线 ， 关于某直线对称，求 与 的积；
②若 ，判断两曲线的位置关系，并说明理由．
31.已知两点 ，，设圆 与 轴交于 ， 两点，且动点 满足：以线段 为直径的圆与圆 相内切，如图所示．记动点 的轨迹为 ，过点 与 轴不重合的直线 与轨迹 交于 ， 两点．
(1) 求轨迹 的方程；
(2) 设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，求证：；
(3) 记 ， 的面积分别为 ，，求 的最大值及此时直线 的方程．
32.设复数 与复平面上点 对应．
(1) 若 ，求复数 对应点 到坐标原点距离；
(2) 设复数 满足条件 （其中 ，），当 为奇数时，动点 的轨迹为 ，当 为偶数时，动点 的轨迹为 ，且两条曲线都经过点 ，求轨迹 与 的方程；
(3) 在（）的条件下，轨迹 上存在点 ，使点 与点 的最小距离不小于 ，求实数 的取值范围．
33.已知抛物线 经过点 ．过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ，，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
(1) 求直线 的斜率的取值范围；
(2) 设 为原点，，，求证： 为定值．
34.已知数列 满足 ，，，，，数列 的前 项和为 ．
(1) 求数列 的通项公式．
(2) 若 ，求正整数 的值．
(3) 是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 值，若不存在，说明理由．绝密 ★ 启用前
2027年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷6）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合A={0,1},B={x|x2-5x+t=0},若A∩B={1},则A∪B=(　　)
A.{0,-4,1} B.{0,1}
C.{0,1,2} D.{0,1,4}
2.若复数z满足(i-i2 026)(z-1)=2(i为虚数单位),则||=(　　)
A. B. C. D.3
3.已知x∈R,则“x>2”是“ln x>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.不存在
5.函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,8) B.(-∞,0]∪(8,+∞) C.[0,8) D.(8,+∞)
6.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当0A.-3 B.- C. D.3
8.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,建立如图所示的平面直角坐标系,且A(0,3),C(3,0),B(0,0),,则=(　　)
A.3 B.1 C.2 D.4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a7+a9=16,则下列各式一定成立的是(　　)
A.a8=8 B.S15=120
C.a3+a13=16 D.a16=16
10.货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12海里,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8海里.货轮自A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是(　　)
A.A处与D处之间的距离是24海里
B.灯塔C与D处之间的距离是8海里
C.灯塔C在D处的西偏南60°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
11.如图,四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D',已知A'B'=4,C'D'=2,则下列说法正确的是(　　)
A.A'D'=2
B.AB=4
C.四边形ABCD的面积为6
D.四边形ABCD的周长为6+
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c<3a,则的取值范围为　　　　　.
13.已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=ln(x+1)-a,若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)>g(x2),则实数a的取值范围是　　　　　.
14.有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=　　　　.　
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,AC与BD交于点O,平面PBD⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD.
(1)证明:PO⊥平面ABCD;
(2)若OA=2OD=2,直线DC与平面PBC所成角的正弦值为,求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
16.人类从未停下对自然界探索的脚步,位于某大草原点C处正上空300 m的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以40 m/s的极限速度出击,与此同时机警的羚羊以30 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑800 m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能 请说明原因.
17.已知数列{an}满足a1=1,an+1=记bn=a2n.
(1)证明:数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)设cn=,Sn为数列{cn}的前n项和,证明:≤Sn<3.
18.已知函数f(x)=ln x+1,g(x)=axex,a∈R.
(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程,并证明除切点外,函数f(x)的图象在切线l的下方.
(2)若0(ⅰ)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)恰有两个零点;
(ⅱ)设x1为h(x)的较大零点,h'(x0)=0,证明:x1<3x0.
19.已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,点D(p,0),过F的直线交Γ于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A1,B1,直线A1D,B1D与直线AB分别交于点M,N.
(1)求Γ的方程;
(2)记M,N的纵坐标分别为yM,yN,当=1时,求直线AB的斜率;
(3)设E为x轴上一点,记k1,k2分别为直线ME,ND的斜率,若为定值,求点E的坐标.绝密 ★ 启用前
2027年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷7）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合A={0,1,2},B={x|xA.-1 B.0 C.1 D.2
2.已知M=x2-x+3,N=x+2,则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N B.MC.M≥N D.M≤N
3.已知i为虚数单位,复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则a=(　　)
A.2或-2 B.2
C.0 D.-2
4.若集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠ ,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.(-∞,0]
C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
5.把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin x的图象,则f(x)=(　　)
A.sin() B.sin()
C.sin(2x-) D.sin(2x-)
6.已知函数f(x)>0,且f(x+1)=
若f(8)=1,则(　　)
A.f(1)≥3 B.f(2)≤10
C.f(3)≤31 D.f(4)≤16
7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)内的最大值为,则a= (　　)
A. B.1
C.+1 D.-1
8.设max{a,b,c,d}表示a,b,c,d中最大的数,已知x,y均为正数,则max{4x,y,}的最小值为
A. B.2 C. D.3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.十七世纪法国数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年,于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想,使它终成为费马大定理.根据前面叙述,下列说法正确的为 (　　)
A.存在至少一组正整数组(x,y,z)是关于x,y,z的方程x3+y3=z3的解
B.关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解
C.关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解
D.当整数n>3时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn有正实数解
10.设z1,z2为复数,则下列结论正确的有(　　)
A. B.|z1z2|=|z1||z2| C.若|z1|=|z2|,则 D.若z1z2∈R,则z1+z2∈R
11.(2025·福建漳州质检)已知两个非零向量a,b的夹角为θ,定义运算 :a b=|a|·|b|·sin θ,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则下列说法正确的是(　　)
A. θ∈[0,],a b=a·b
B.a在b上投影向量的模为
C.若a=(2,0),b=(-1,1),则a b=2
D.a b=|x1y2-x2y1|
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则实数k的取值范围是　　　　　.
13.过函数图象上一点,垂直于函数图象在该点处的切线的直线,称为函数图象在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数图象的法线,该直线称为两个函数图象的“公法线”.函数y=与函数y=1+ex+1的图象的“公法线”方程为　　　　　　　　.
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=29,且S10=S20,则Sn的最大值为　　　　.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)<0的解集;
(2)若不等式f(x)≥2x-3对一切实数x>1恒成立,求a的取值范围;
(3)解关于x的不等式:f(x)16.某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动.已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示:
参与活动情况 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲
参加环境保护知识宣讲 6人 4人
未参加环境保护知识宣讲 5人 30人
(1)从该班随机选取1名学生,试估计该学生至少参加一项活动的概率;
(2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的6名学生中,有4名男生和2名女生.现从这6名学生中随机选取2人作为主讲人,求选取的2人中恰有1名男生和1名女生的概率.
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,M为线段PA的中点,连接BM.
(1)证明:BM∥平面PCD.
(2)求M到平面PCD的距离.
(3)线段PD上是否存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(3,),F1,F2是E的左、右焦点.
(1)求E的标准方程;
(2)过F2的直线与E交于P,Q两点,若△F1PQ的内切圆半径为r,r=|PQ|,求|F2P|·|F2Q|的值.
19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法,在计算机数学中有着广泛的应用.给定自然数m,n,我们定义函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似为R(x)=,且满足:f(0)=R(0),f'(0)=R'(0),f(2)(0)=R(2)(0),…,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f(2)(x)=[f'(x)]',f(3)(x)=[f(2)(x)]',…,f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)]',已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为R(x)=.
(1)求实数a,b的值;
(2)证明:当x>0时,f(x)>R(x);
(3)已知x1,x2,x3是函数g(x)=xln x-k(x2-1)的三个不同的零点,求实数k的取值范围,并证明:x1+x2+x3>-3.绝密 ★ 启用前
2027年普通高等学校招生全国统一考试（培优卷）
数学
本试卷共8页，22小题，满分200分.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,如0.333 3……就是一个无限循环小数,可记为0.,同理0.=0.121 212…….若集合A={n|=0.,n∈N*,a,b∈N,a≠b,a,b≤9},则A中所有元素的和为(　　)
A.44 B.110 C.132 D.143
2.设集合S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对任意x,y∈S,若x≠y,则x+y∈T;②对任意x,y∈T,若x≠y,则x-y∈S,下列说法正确的是(　　)
A.若S有2个元素,则S∪T有4个元素
B.若S有2个元素,则S∪T有3个元素
C.存在3个元素的集合S,满足S∪T有5个元素
D.存在3个元素的集合S,满足S∪T有4个元素
3.某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小红、小强三个员工,要求每个员工都能拿到面包,则小明最终拿到偶数个面包的情况有(　　)
A.180种 B.210种 C.240种 D.360种
4.已知随机变量X的分布列为
X 1 2
P a b
则“E(X)=”是“D(X)=”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若关于x的不等式x2-ax+2<0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(3,+∞) D.(,+∞)
6.已知复数z在复平面内对应的点为(x,y),若|z-2|=1,则(　　)
A.(x-2)2+y2=1 B.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+y2=2 D.x2+(y-1)2=2
7.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数.若函数g(x)=的图象与f(x)的图象的公共点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(x2 026,y2 026),则(xi+yi)=(　　)
A.4 052 B.4 050 C.2 026 D.2 025
8.定义运算:=a1a4-a2a3,将函数f(x)=的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图象关于原点对称,则m的最小值是(　　)
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.生活经验告诉我们:a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),若再添加m克糖(m>0)后,糖水会更甜,于是得出“糖水不等式”:.根据“糖水不等式”等知识判断,下列说法一定正确的是
A.若b>a>0,m>0,则
B.若a>b>0,m<0且b+m>0,a+m>0,则
C.若a,b,c为△ABC三条边长,则
D.若a,b,c为△ABC三条边长,则<2
10.已知不等式f(x)=kx2+(2k-1)x-2,下列说法正确的有(　　)
A.若k=-,则不等式f(x)>0的解集为
B.若k>0,则不等式f(x)<0的解集为
C.若 x∈R,f(x)+x<0恒成立,则整数k的取值集合为{-1}
D.若恰有两个整数x使得不等式f(x)<0成立,则实数k的取值范围是{k|k≥1}
11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则(　　)
A.f(0)=2 B.f(x)为偶函数 C.3为函数f(x)的一个周期 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=-2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知命题p: x∈{x|x≤},-2x+a≥0,命题q:x2+x+2a-1=0有实数根,若p为真命题,q为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　.
13.如图,圆M为△ABC的外接圆,AB=4,AC=6,N为边BC的中点,则=　　　.
14.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且(5n+4)Tn=(4n+3)Sn,则=　　　　　.
四、解答题：本题共 8 小题，共 127 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速60 km/h.经数次测试,得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的数据如下表所示:
x 0 10 40 60
Q 0 1 420 4 480 6 720
为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系,现有以下三种函数模型供选择:①Q=x3-2x2+cx;②Q=1-;③Q=300logax+b.
(1)当0≤x≤60时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需说明理由),并求出相应的函数表达式;（6分）
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A中学行驶到B中学,其中,国道上行驶50 km,高速上行驶300 km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动,国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足(1)中的函数表达式;高速路上车速x(单位:km/h)满足x∈[80,120],且每小时耗电量N(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的关系满足N=2x2-10x+200(80≤x≤120).则当国道和高速上的车速分别为多少时,该车辆的总耗电量最少 最少总耗电量为多少 （8分）
16.已知函数f(x)=ex-a(x-1).
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线l在x轴上的截距为2,求a的值;（4分）
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围;（5分）
(3)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:>1.（6分）
17.某电台举办有奖知识竞答比赛,选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为,若甲自己没有把握答对,则在规定时间内连线亲友团寻求帮助,其亲友团每道题能答对的概率为p,假设每道题答对与否互不影响.
(1)当p=时,若甲答对了某道题,求该题是甲自己答对的概率;（4分）
(2)乙答对每道题(含亲友团助力)的概率为,现甲、乙两人各答两个题目,若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于,求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.（6分）
18.已知函数f(x)=exsin x,g(x)=2ln(x+1)-x.
(1)求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;（3分）
(2)求证:当x∈(0,)时,f(x)>exg(x);（6分）
(3)求证:ln(n+1)19.（18分）设 为正整数，若 满足：
① ，；
②对于 ，均有 ．
则称 具有性质 ．
对于 和 ，定义集合 ．
(1) 设 ，若 具有性质 ，写出一个 及相应的 ；
(2) 设 和 具有性质 ，那么 是否可能为 ，若可能，写出一组 和 ，若不可能，说明理由；
(3) 设 和 具有性质 ，对于给定的 ，求证：满足 的 有偶数个．
20.设复数 与复平面上点 对应．
(1) 若 ，求复数 对应点 到坐标原点距离；（4分）
(2) 设复数 满足条件 （其中 ，），当 为奇数时，动点 的轨迹为 ，当 为偶数时，动点 的轨迹为 ，且两条曲线都经过点 ，求轨迹 与 的方程；（7分）
(3) 在（）的条件下，轨迹 上存在点 ，使点 与点 的最小距离不小于 ，求实数 的取值范围．（8分）
21.如图，在三棱锥 中，，， 为侧棱 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
(1) 证明：；（4分）
(2) 求三棱锥 的体积；（5分）
(3) 在 的平分线上确定一点 ，使得 ，并求此时 的长．（6分）
22.（2024.6新课标I卷）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
（1）写出所有，，使数列是可分数列；（4分）
（2）当时，证明：数列是可分数列；（6分）
（3）从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．（9分）绝密 ★ 启用前
2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷5）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合A={0,1},B={x|x2-5x+t=0},若A∩B={1},则A∪B=(　　)
A.{0,-4,1} B.{0,1}
C.{0,1,2} D.{0,1,4}
2.命题“ x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是(　　)
A. x∈R,x2-2x+1<0
B. x∈R,x2-2x+1≤0
C. x∈R,x2-2x+1≤0
D. x∈R,x2-2x+1<0
3.下列说法错误的为 (　　)
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b且,则ab<0
C.若a>b>0且c<0,则
D.若a>b>0>c>d,则ab>cd
4.已知x+y=+8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　)
A.5 B.9
C.4+ D.10
5.若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
6.已知函数f(x)>0,且f(x+1)=
若f(8)=1,则(　　)
A.f(1)≥3 B.f(2)≤10
C.f(3)≤31 D.f(4)≤16
7.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k>0,若当t=5时消除了10%的污染物,则当t=15时污染物含量还剩余(　　)
A.70% B.85%
C.81% D.72.9%
8.将曲线f(x)=ln绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则tan α=(　　)
A.- B.- C.-2e D.-e
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数ω=cos 120°+isin 120°(i是虚数单位),则(　　)
A.|ω|=1 B.ω2=
C.ω2+ω+1=0 D.=1
10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+1,{bn}为等差数列,且b2=a2,b8=a4,记集合An={x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn,则下列结论正确的是(　　)
A.a1=1 B.S4=16
C.bn=n D.cn=2n-1-n+1
11.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),点M是平面内的一个动点,则下列说法正确的是(　　)
A.若|||-|||=1,则点M的轨迹是双曲线
B.若||+||=2,则点M的轨迹是椭圆
C.若||=||,则点M的轨迹是一条直线
D.若=2,则点M的轨迹是圆
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　　;a1+a2+a3+a4=　　　　.
13.已知向量a=(1,-2),b=(k,1),满足a⊥b,则a与a+b的夹角为　　　　　.
14.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)于1643年提出了三角形中的“费马点”,即“对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于120°时,则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点”.在△ABC中,AC=BC=2,cos C=-,P是△ABC的费马点,则PC的长度为　　　　　.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图1,椰子树是海南最具代表性的树木之一,树干笔直无分枝,叶片形似巨大的羽毛伞.如图2,D,C两处观测点与树干底部点B在同一水平面内,树干AB垂直于水平面,某同学在地面D处,测得树干顶端A处的仰角为30°,D,C两处相距20米,sin∠DBC=sin∠DCB,BC=BD.
图1　　　　　　图2
(1)求观测点D到树干底部点B的距离BD的长度;
(2)求在树干顶端A处观测到C,D两点的夹角∠DAC的余弦值.
16.某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动.已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示:
参与活动情况 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲
参加环境保护知识宣讲 6人 4人
未参加环境保护知识宣讲 5人 30人
(1)从该班随机选取1名学生,试估计该学生至少参加一项活动的概率;
(2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的6名学生中,有4名男生和2名女生.现从这6名学生中随机选取2人作为主讲人,求选取的2人中恰有1名男生和1名女生的概率.
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,M为线段PA的中点,连接BM.
(1)证明:BM∥平面PCD.
(2)求M到平面PCD的距离.
(3)线段PD上是否存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18.如图,已知抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),其中O为坐标原点,抛物线的焦点坐标为F(1,0),A为抛物线上任意一点(原点除外),直线AB过焦点F交抛物线于B点,直线AC过点M(3,0)交抛物线于C点,连接CF并延长交抛物线于D点.
(1)若弦|AB|的长度为16,求△OAB的面积;
(2)求|AB|·|CD|的最小值.
19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法,在计算机数学中有着广泛的应用.给定自然数m,n,我们定义函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似为R(x)=,且满足:f(0)=R(0),f'(0)=R'(0),f(2)(0)=R(2)(0),…,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f(2)(x)=[f'(x)]',f(3)(x)=[f(2)(x)]',…,f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)]',已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为R(x)=.
(1)求实数a,b的值;
(2)证明:当x>0时,f(x)>R(x);
(3)已知x1,x2,x3是函数g(x)=xln x-k(x2-1)的三个不同的零点,求实数k的取值范围,并证明:x1+x2+x3>-3.绝密 ★ 启用前
2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷5）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
复数 的平方根是
A． B． C． D．
已知集合 ，，则
A． B．
C． D．
不等式 的解集是
A． B．
C． D．
已知向量 ，．若 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
在 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
设数列的通项公式为 ，则
A． B． C． D．
（其中 为实数集， 为有理数集）是著名的狄利克函数．
① 函数；
②函数 为偶函数；
③任意实数 ，恒有 ；
④任意实数 ，恒有 ．
其中正确的说法个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
已知圆 ，，动点 为圆 上任意一点，则 的垂直平分线与 的交点 的轨迹方程是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
对任意实数 ，有 ，则下列结论成立的是
A．
B．
C．
D．
10.盒子中有3个球,其中1个红球,2个黄球.从盒子中不放回地随机取球,每次取1个,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)
A.P(ξ=0)= B.E(ξ)=1
C.E(3ξ+1)=3 D.D(3ξ+1)=6
11.如图正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ，，且 ，则下列结论中正确的是
A．
B．
C．三棱锥 的体积为定值
D． 的面积与 的面积相等
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为 ．
13.已知命题 ．若 是真命题，则实数 的取值范围是 ．
14.设向量 ， 满足：，，， 的夹角是 ，若 与 的夹角为钝角，则 的范围是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，，．
(1) 求角 的大小；
(2) 求 的值；
(3) 求 的值．
16.如图，已知四边形 是正方形，，，，，， 分别为 ，， 的中点．
(1) 求证：；
(2) 求平面 与平面 所成锐二面角的大小；
(3) 在线段 上是否存在一点 ，使直线 与直线 所成的角为 ？若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由．
17.在数列 中，，，．
(1) 证明数列 是等比数列．
(2) 求数列 的前 项和 ．
(3) 证明不等式 ，对任意 皆成立．
18.设函数 ，．
(1) 当 时，求 的单调区间；
(2) 当 时， 恒成立，求 的取值范围；
(3) 求证：当 时，．
19.一个函数 ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 ，， 都在 的定义域内，就有 ，， 也是某个三角形的三边长，则称 为“三角形函数”．
(1) 判断 ，， 中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
(2) 如果 是定义在 上的周期函数，且值域为 ，证明 不是“三角形函数”；
(3) 若函数 是“三角形函数”，求 的最大值．（可以利用公式 ）绝密 ★ 启用前
2027年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷12）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知复数 满足 ，则 的共轭复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.若实数 ， 满足约束条件 则 的取值范围是
A． B．
C． D．绝密 ★ 启用前
2027年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷8）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知1+i是关于x的方程x2-ax+b=0的一个根,a∈R,b∈R,则a+b= (　　)
A.0　　　B.2　　　C.1　　　D.4
2.(2025届安徽A10联盟摸底,2)在△ABC中,,,则= (　　)
A. C.
3.(2020课标Ⅲ理,1,5分)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.6
4.若(x1,y1),(x2,y2)是函数y=ln x图象上两个不同的点,则下列结论中正确的是 (　　)
A.y1x1-x2 C.y1+y20
5.(2025全国二卷,5,5分)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　)
A.45°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.135°
6.(2025届湖南长沙三模,4)已知某个群体中对某活动持满意态度的人数占比为90%,从该群体中随机抽取10人,设这10人中持满意态度的人数为X,随机变量Y=2X+3,则D(Y)= (　　)
A.1.8　　　B.3.6　　　C.4.2　　　D.4.8
7.(2026届湖北仙桃中学期中,4)平面内,动点P的坐标(x,y)满足方程,则动点P的轨迹方程为 (　　)
A.=1 C.=1
8.(2024新课标Ⅱ,8,5分)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为 (　　)
A.　　　D.1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　)
A.a2+b2≥　　　C.log2a+log2b≥-2　　D.≤
10.(2026届湖南长沙雅礼中学月考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别在棱AA1,AB,AD上(不与棱的端点重合),M为棱CC1的中点,则下列说法正确的是 (　　)
A.若平面EFG与正方体的每条棱的夹角都相同,则直线BD∥平面EFG
B.三角形EFG不可能为直角三角形
C.若G,F分别为棱AD,AB的中点,则存在点E,使得AM⊥平面EGF
D.若二面角A-GF-E的余弦值为,二面角A-EF-G的余弦值为,二面角A-EG-F的余弦值为
11.(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数 f(x)=x3-x+1,则 (　　)
A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.(2020课标Ⅱ理,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种.
13.(2024新课标Ⅱ,12)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.
14.(2026届湖北部分学校联考,14)设函数f(x)=2sin+1(ω>0),若f(x)在上单调递增,则ω的取值范围是　　　　　　　　.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(2022全国乙理,19,12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i 1 2 3 4 5 6
根部横截面积xi 材积量yi 0.04 0.25 0.06 0.40 0.04 0.22 0.08 0.54 0.08 0.51 0.05 0.34
样本号i 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 材积量yi 0.05 0.36 0.07 0.46 0.07 0.42 0.06 0.40 0.6 3.9
并计算得=0.038,=1.615 8,xiyi=0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数=,≈1.377.
16.(2023新课标Ⅱ,20,12分)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:BC⊥DA;
(2)点F满足,求二面角D-AB-F的正弦值.
17.(2024全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=a(x-1)-ln x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a≤2,证明:当x>1时, f(x)18.(2026届浙江9+1联盟期中,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为,A,B是双曲线C上关于原点O对称的两点,且点A在第一象限,点T的坐标为(3,0).
(1)求双曲线C的方程.
(2)若∠ATB=90°,求△ATB的面积.
(3)记直线AT,BT与双曲线C的另一个交点分别为P,Q,直线AB,PQ的斜率分别为k1,k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
19.(2025届山西部分学校三模,19)已知函数f(x)=(x>-1),从点P1(0,0)作x轴的垂线,交f(x)的图象于点Q1,过点Q1作曲线y=f(x)的切线交x轴于点P2,再过点P2作x轴的垂线,交f(x)的图象于点Q2,重复这一过程,得到两个点列,P1,P2,…,Pn,Q1,Q2,…,Qn,点Pn的坐标记作Pn(xn,0).
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)已知bn=2nxn,求数列{bn}的前n项和Sn;
(3)证明:ln(2n+1)<≤2n+2-.(切线不等式:ln x≤x-1)

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