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参考答案
一．选择题（每小题3分，共36分）
1—5. CBCAB 6—10.DCCBA 11—12.AC
二．填空题（每小题3分，共18分）
13. -4 14. 1 15. a≤2且a≠1
16. 2 17. -16 18. 48
三．解答题（46分）
19. 解：（1）（3分）方程整理得：x2-2x-3=0，
分解 因式得：（x-3）（x+1）=0，
所以x-3=0或x+1=0，
解得：x1=3，x2=-1；
（2）（3分）开方得：2x+1=x-1或2x+1=1-x,
解得：x1=-2，x2=0．
（3）（3分）由题意可得：x（x-5）=3（x-5），
（x-3）（x-5）=0，
x-3=0或x-5=0，
∴x1=3，x2=5；
（4）（3分）由题意可得：3x2+3x-（x+1）=0，
3x（x+1）-（x+1）=0，
（3x-1）（x+1）=0，
3x-1=0或x+1=0，
∴x1= ，x2=-1．
20. （1）（4分）证明：在一元二次方程x2-（m+3）x+m+2=0中，
a=1，b=-（m+3），c=m+2，
Δ=b2-4ac=[-（m+3）]2-4×1×（m+2）
=m2+6m+9-4m-8
=m2+2m+1
=（m+1）2，
∵无论m取何值，（m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根；
（2）（4分）解：∵方程的一个实数根是3，
∴32-3（m+3）+m+2=0，
解得：m=1，
∴一元二次方程x2-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴方程的另一个实数根为1．
21. 解：（1）（3分）∵b=2，c=-1，
∴原方程为x2+2x-1=0，
配方得（x+1）2=2，
开方得x+1=±，
解得x1=-1+，x2=-1-；
（2）（4分）对于一元二次方程x2+bx+c=0，
根的判别式为 Δ=b2-4c,
∵b-c=1，
∴c=b-1，
将c=b-1代入Δ得 Δ=b2-4（b-1）=b2-4b+4=（b-2）2，
∵任意实数的平方是非负数，
∴（b-2）2≥0，即Δ≥0，
∴此方程至少有一个实数根．
22. 解：（1）（3分）由条件可知m-1≠0，则m≠1，
∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x+1=0有两个实数根，
∴Δ=（-2）2-4（m-1）≥0，
解得m≤2，
综上所述，m的取值范围是m≤2且m≠1；
（2）（3分）当m=-2时，-3x2-2x+1=0，
整理得3x2+2x-1=0，
∵a,b是一元二次方程3x2+2x-1=0的两个实数根，
23. 解：（1）（4分）设乙款小车单件耗材成本是x元，则甲款小车单件耗材成本是（x+5）元，
由题意得：= ，
解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意，
∴x+5=30，
答：甲款小车单件耗材成本是30元，乙款小车单件耗材成本是25元；
（2）（3分）由题意得：
（30-a）（200+2a）+（25+a）（300-4a）=13500，
整理得：a2-10a=0，
解得：a1=10，a2=0（不符合题意，舍去），
答：a的值是10．
24. （6分） 解：设小路宽问x m,由于花园四周小路的宽度相等，
则根据题意，可得（16-2x）（12-2x）=×16×12，
即x2-14x+24=0，
解之得x=2或x=12．
由于矩形荒地的宽是12m,故舍去x=12．
答：花园四周小路宽为2m.2026-2027学年人教版九年级数学上册单元卷
第二十五章 一元二次方程
一．选择题（每小题3分，共36分）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x+y=2 B．x+=1 C．x2-13=0 D．2x+1=0
2.将关于x的一元二次方程x（x-1）=0化为一般形式为（　　）
A．x2+x=0 B．x2-x=0 C．x2-1=0 D．x2+1=0
3.设a是方程x2+2x-2=0的一个实数根，则2a2+4a+2026的值为（　　）
A．2026 B．2028 C．2030 D．2032
4.用配方法解一元二次方程x2-10x-3=0，下列变形正确的是（　　）
A．（x-5）2=28 B．（x-5）2=22 C．（x+5）2=28 D．（x-10）2=103
5.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程-4x2+3=5x,下列叙述正确的是（　　）
A．a=-4，b=5，c=3 B．a=-4，b=-5，c=3
C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=-5，c=-3
6.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2-1=0 B．x2-2x+2=0 C．x2-2x=0 D．x2-2x+1=0
7.方程x2=2x的解是（　　）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=2，x2=-2
8.已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的周长是（　　）
A．10 B．12 C．20 D．24
9.若实数m,n满足m2+m-3=0，n2+n-3=0，且m≠n,则2m+2n-mn的值为（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
10.某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的为（　　）
A．121（1-x）2=81 B．121（1-2x）=81
C．81（1+x）2=121 D．121（1-x2）=81
11.某高科技公司今年1月份的销售额是2000万元，3月份的销售额是4500万元，如果按照2，3两个月的平均增长率增长，月销售额首次突破1亿元的月份是（　　）
A．5月份 B．4月份 C．7月份 D．6月份
12.关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根x1，x2满足x1=2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　）
A．-3 B．1 C．3 D．9
二．填空题（每小题3分，共18分）
13． 关于x的方程x2+mx-8=0的一个根是2，则另一根是 ．
14.若a为方程x2+2x-9=0的解，则a2+2a-8的值为 ．
15.若关于x的一元二次方程（a-1）x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是 ．
16.电流通过导线会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q=I2Rt.已知电阻为5Ω的导线1s时间产生20J的热量，则电流I的值是 A．
17.方程（x-3）（x+5）-1=0的根x1x2= ．
18.如图，E，F分别是正方形ABCD边AD，DC上的点，且AE=2，CF=6，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，且正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为80，则阴影部分的面积等于 ．
三．解答题（46分）
19. （12分）解下列方程：
（1）（3分）x（x-2）=3； （2）（3分）（2x+1）2=（x-1）2．
（3）（3分）x（x-5）=3x-15； （4）（3分）3x2+2x-1=0．
20. （8分）已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+m+2=0．
（1）（4分）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）（4分）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值．
21. （7分）已知方程x2+bx+c=0（x为实数），请你解答下列问题：
（1）（3分）若b=2，c=-1，解此方程；
（2）（4分）若b-c=1，求证：此方程至少有一实数根．
22．（6分） 已知a,b是关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x+1=0的两个实数根．
（1）（3分）求m的取值范围；
（2）（3分）当m=-2时，
①求a2+b2的值；
②求-3a2-a+b的值．
23. （7分）立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多5元，花费300元制作甲型小车的数量与花费250元制作乙型小车的数量相同，
（1）（4分）分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？
（2）（3分）工坊原定计划安排生产甲型小车200台，乙型300台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降a元，制作数量增加2a台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加a元，制作数量减少4a台，这样全部耗材总费用为13500元，求a的值．
24. （6分）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，小明要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽．

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