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天津市小站第一中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：二次根式有意义，则，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式，求解即可.
2．如图，在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式性质先将化简为，再根据二次根式的除法法则进行计算可判断A选项；由二次根式乘法法则“”进行计算可判断C选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、D选项.
4．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B．∵，∴可以构成直角三角形，故该选项符合题意；
C．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 依据勾股定理逆定理， 计算另外两条短边平方之和，再计算最长边的平方，最后看看是否相等即可．
5．在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A(0，0)，B(2，1)，C(1，3)，
，，BH=1，AH=2，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
轴，轴，
，，
，
，
，
∴BH=AG=1，AH=DG=2，
点D坐标为．
故答案为：A.
【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，根据两点间的距离公式计算出AB、BC的长度得出AB=BC，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABCD是正方形，由正方形性质得∠BAD=90°，AB=DA，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠DAG=∠ABH，从而利用“AAS”证△ABH≌△DAG，由全等三角形的对应边相等得出BH=AG=1，AH=DG=2，从而结合点D在第二项象限得出点D的坐标.
6．下列条件不能判断四边形为正方形的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的菱形
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
C. 对角线互相垂直且相等的四边形，有可能是等腰梯形，错误；
D.对角线相等的菱形是正方形，正确；
故选C.
【分析】依据正方形的判定定理进行推导求解.
7．如图，菱形的顶点，在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形的面积（　　）
A．16 B． C．12 D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
∴中，，
∴=，
故答案为：B．
【分析】根据点A和点B的坐标求出AB=4，再利用勾股定理求出OC的值，最后利用菱形的面积公式计算求解即可.
8．如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图为圆柱体的侧面展开图，
圆柱体的底面周长为，
半周长为，
又，
，
沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是．
故选：C．
【分析】根据题意先将圆柱展开，进而即可求出BC的长，再根据勾股定理求出AC即可求解。
9．如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】如图，过点作交于．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理，通过，证明，根据平行线的性质，推出，利用勾股定理求出即可．
10．如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①∵是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故①正确；
②如图，延长，交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
故③错误；
④设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确．
综上可知：一定成立的是①②④，
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理。
① 根据 F 是 AD 中点，结合 与平行四边形对边相等的性质，可得 ；由 推出内错角 ，再结合等边对等角 ，可证 ，即 。
② 延长 EF 交 CD 延长线于 M，由平行四边形 可得内错角相等，结合对顶角与 ，通过 ASA 可证明 ，得到 ；由 与 推出 ，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得 。
③ 由 可知 与 等底同高，面积相等；由于 ， 与 同高但底更小，因此 ，结论③不成立。
④ 设 ，由 等边对等角得 ，进而推出 ；通过角度和计算可得 ，同时 ，可证 。
11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2） 180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2） 180°=360°×2，
解得n=8．
∴此多边形的边数为6．
故答案为：6．
【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
12．如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】先根据矩形的性质，得，结合的度数，可证明是等边三角形，进而得出，再由矩形的对角线相互平分，得到，即可解答．
13．如图，在中，是边上的中线．点E在线段上，，如果，那么的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是边上的中线．
∴，
则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因此 ，由等边对等角可得 ；由 可知 为等腰三角形，结合三角形内角和为 180°，可算出底角 ；最后通过角的和差关系 代入数值计算即可。
14．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为　 　．
【答案】
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由已知可得，
在中，，
，
点M表示的数为．
故答案为：
【分析】先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为， 进而求解本题 ．
15．如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，点E是的中点，，
，
，
故答案为：2．
【分析】根据三角形中位线长度等于第三边的一半，求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，再进行计算即可．
16．如图，在矩形中，，．
（1）线段的长为　 　；
（2）点E，F分别在边，上，，G为的中点，连接与对角线相交于点H．若，则线段的长为　 　．
【答案】；2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵矩形中，，，
∴，，
∴；
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【分析】本题考查矩形的性质、三角函数、全等三角形的判定与性质、含 30° 角的直角三角形性质。
（1）在 中，，，利用正切函数 ，代入 AD 的长度即可求得 CD。
（2）先根据 的长度与 算出 FC、AE、DF 的长度，由勾股定理求得 AF 的长度，可得 ；由 G 是 AF 中点得 ，结合角度推导可得 ，通过 SAS 可证明 ，得到 ；最后在 中，，利用正切函数即可求出 GH 的长度。
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质将括号内的各个二次根式化简，再根据乘法分配律展开括号，同时根据二次根式乘法法则计算即可；
（2）先根据二次根式性质将括号内的第一个二次根式化简，再合并括号内的同类二次根式，进而根据二次根式除法法则计算即可；
（3）先根据完全平方公式展开括号法，再根据二次根式性质及乘法法则分别计算，最后计算加减法得出答案；
（4）先根据平方差公式展开括号，再根据二次根式性质化简，最后计算减法得出答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
18．如图，为的边上的一点，已知，，，，求的长．
【答案】解：由题意得：
，，，，
，
，
，
是直角三角形，，
，
由勾股定理得：
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用。先计算 与 的数值，验证二者相等，根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，且 ，由此可得 ；再在 中利用勾股定理求出 CD 的长度，最后由 计算结果。
19．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，求的长．
【答案】解：四边形是菱形，
，即点是的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理。菱形的对角线互相平分，因此点 O 是 AC 的中点；又因为点 M 是 AB 的中点，所以 OM 是 的中位线；根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，即 ，代入 BC 的数值即可求解。
20．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题：
（1）汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L；
（2）设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示；
（3）这辆汽车最多能行驶多少小时？
【答案】（1）37.5；25
（2）解：由题意得，；
（3）解：当时，，解得，
即这辆汽车最多能行驶16小时．
【知识点】用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：汽车行驶耗油，则油箱里还有油，汽车行驶耗油，则油箱里还有油；
故答案为：37.5；25；
【分析】（1）根据“油箱剩下的油=油箱里原有的油-行驶过程中耗掉的油”列式计算即可；
（2）根据“油箱剩下的油=油箱里原有的油-行驶过程中耗掉的油”即可建立出y关于x的函数关系式；
（3）当油箱中剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令（2）所得关系式中的y=0，求出对应的x的值即可.
（1）解：汽车行驶耗油，则油箱里还有油，汽车行驶耗油，则油箱里还有油；
（2）解：由题意得，；
（3）当时，，解得，
即这辆汽车最多能行驶16小时．
21．小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离（米）与散步所用时间（分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．
（1）小明走了约________分钟到达离家________米处的一个阅报栏．
（2）小明在阅报栏前看了________分钟报．
（3）小明看报后，又向前走了________分钟，到达离家________米处．
（4）小明在返回到家时小明走了________分钟．他回家的速度是________．
【答案】（1）3；250
（2）5
（3）2；450
（4）6；75米/分
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：根据函数图象，点A到点B，距离不变，推断点A到达阅报栏，
点A的坐标，即走了3分钟，距离250米；
（2）解：小明在公共阅报栏阅读报纸的时间是点A到点B的时间差，
即（分钟）；
（3）解：看报后，从点B到点C，用时是两点的时间差，即（分钟），
点C的纵坐标就是离家的距离，即450（米）；
（4）解：点C到点D的时间差，就是回家的用时，即（分钟），
（米/分钟）．
【分析】本题考查一次函数图象的实际应用，结合行程问题分析分段图象的含义。
（1）第一段上升的线段对应从家出发前往阅报栏的过程，线段终点的横坐标为到达时间，纵坐标为离家距离。
（2）中间水平的线段对应在阅报栏停留看报的过程，两端点的横坐标之差即为看报时长。
（3）第二段上升的线段对应看报后继续散步的过程，两端点的横坐标之差为行走时间，终点纵坐标为离家的最远距离。
（4）最后下降的线段对应从最远处返回家的过程，两端点的横坐标之差为回家用时，用离家最远距离除以回家用时即可得到回家的速度。
（1）解：根据函数图象，点A到点B，距离不变，推断点A到达阅报栏，
点A的坐标，即走了3分钟，距离250米；
（2）解：小明在公共阅报栏阅读报纸的时间是点A到点B的时间差，
即（分钟）；
（3）解：看报后，从点B到点C，用时是两点的时间差，即（分钟），
点C的纵坐标就是离家的距离，即450（米）；
（4）解：点C到点D的时间差，就是回家的用时，即（分钟），
（米/分钟）．
22．如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接．若，求的长．
【答案】（1）证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理。
（1）由 O 是 AD 中点得 ，结合平行四边形 推出内错角相等，加上对顶角相等，通过 ASA 证明 ，得到 ，先证四边形 ABDE 是平行四边形；再由 得 ，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明。
（2）过点 O 作 于点 F，由矩形对角线互相平分且相等得 ，根据等腰三角形三线合一可知 F 是 DE 中点，因此 OF 是 的中位线，算出 OF 与 DF 的长度；再由平行四边形对边相等得 ，进而求出 CF 的长度；最后在 中利用勾股定理求得 OC 的长度。
（1）证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
23．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
（2）解：连接并延长交于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为4，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；十字架模型
【解析】【解答】（3）解：如图3，过点B作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据SAS证，根据全等三角形的性质得出，，再证，即可得；
（2）连并延长交于G，同根ASA证明，根据全等三角形的性质计算AM，AG 的长，根据勾股定理，求出长，再根据中位线的性质求出即可；
（3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，根据三角形面积等积变换得BH的值，再根据勾股定理求得CH，，计算即可．
（1）解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
（2）解：连接并延长交于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为4，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点B作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1天津市小站第一中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，
5．在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．下列条件不能判断四边形为正方形的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的菱形
7．如图，菱形的顶点，在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形的面积（　　）
A．16 B． C．12 D．
8．如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为　 　．
12．如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长为　 　．
13．如图，在中，是边上的中线．点E在线段上，，如果，那么的度数为　 　．
14．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为　 　．
15．如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为　 　．
16．如图，在矩形中，，．
（1）线段的长为　 　；
（2）点E，F分别在边，上，，G为的中点，连接与对角线相交于点H．若，则线段的长为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．如图，为的边上的一点，已知，，，，求的长．
19．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，求的长．
20．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题：
（1）汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L；
（2）设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示；
（3）这辆汽车最多能行驶多少小时？
21．小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离（米）与散步所用时间（分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．
（1）小明走了约________分钟到达离家________米处的一个阅报栏．
（2）小明在阅报栏前看了________分钟报．
（3）小明看报后，又向前走了________分钟，到达离家________米处．
（4）小明在返回到家时小明走了________分钟．他回家的速度是________．
22．如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接．若，求的长．
23．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：二次根式有意义，则，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式性质先将化简为，再根据二次根式的除法法则进行计算可判断A选项；由二次根式乘法法则“”进行计算可判断C选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、D选项.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B．∵，∴可以构成直角三角形，故该选项符合题意；
C．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 依据勾股定理逆定理， 计算另外两条短边平方之和，再计算最长边的平方，最后看看是否相等即可．
5．【答案】A
【知识点】点的坐标；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A(0，0)，B(2，1)，C(1，3)，
，，BH=1，AH=2，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
轴，轴，
，，
，
，
，
∴BH=AG=1，AH=DG=2，
点D坐标为．
故答案为：A.
【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，根据两点间的距离公式计算出AB、BC的长度得出AB=BC，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABCD是正方形，由正方形性质得∠BAD=90°，AB=DA，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠DAG=∠ABH，从而利用“AAS”证△ABH≌△DAG，由全等三角形的对应边相等得出BH=AG=1，AH=DG=2，从而结合点D在第二项象限得出点D的坐标.
6．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
C. 对角线互相垂直且相等的四边形，有可能是等腰梯形，错误；
D.对角线相等的菱形是正方形，正确；
故选C.
【分析】依据正方形的判定定理进行推导求解.
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
∴中，，
∴=，
故答案为：B．
【分析】根据点A和点B的坐标求出AB=4，再利用勾股定理求出OC的值，最后利用菱形的面积公式计算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图为圆柱体的侧面展开图，
圆柱体的底面周长为，
半周长为，
又，
，
沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是．
故选：C．
【分析】根据题意先将圆柱展开，进而即可求出BC的长，再根据勾股定理求出AC即可求解。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】如图，过点作交于．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理，通过，证明，根据平行线的性质，推出，利用勾股定理求出即可．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①∵是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故①正确；
②如图，延长，交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
故③错误；
④设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确．
综上可知：一定成立的是①②④，
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理。
① 根据 F 是 AD 中点，结合 与平行四边形对边相等的性质，可得 ；由 推出内错角 ，再结合等边对等角 ，可证 ，即 。
② 延长 EF 交 CD 延长线于 M，由平行四边形 可得内错角相等，结合对顶角与 ，通过 ASA 可证明 ，得到 ；由 与 推出 ，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得 。
③ 由 可知 与 等底同高，面积相等；由于 ， 与 同高但底更小，因此 ，结论③不成立。
④ 设 ，由 等边对等角得 ，进而推出 ；通过角度和计算可得 ，同时 ，可证 。
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2） 180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2） 180°=360°×2，
解得n=8．
∴此多边形的边数为6．
故答案为：6．
【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】先根据矩形的性质，得，结合的度数，可证明是等边三角形，进而得出，再由矩形的对角线相互平分，得到，即可解答．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是边上的中线．
∴，
则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因此 ，由等边对等角可得 ；由 可知 为等腰三角形，结合三角形内角和为 180°，可算出底角 ；最后通过角的和差关系 代入数值计算即可。
14．【答案】
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由已知可得，
在中，，
，
点M表示的数为．
故答案为：
【分析】先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为， 进而求解本题 ．
15．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，点E是的中点，，
，
，
故答案为：2．
【分析】根据三角形中位线长度等于第三边的一半，求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，再进行计算即可．
16．【答案】；2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵矩形中，，，
∴，，
∴；
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【分析】本题考查矩形的性质、三角函数、全等三角形的判定与性质、含 30° 角的直角三角形性质。
（1）在 中，，，利用正切函数 ，代入 AD 的长度即可求得 CD。
（2）先根据 的长度与 算出 FC、AE、DF 的长度，由勾股定理求得 AF 的长度，可得 ；由 G 是 AF 中点得 ，结合角度推导可得 ，通过 SAS 可证明 ，得到 ；最后在 中，，利用正切函数即可求出 GH 的长度。
17．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质将括号内的各个二次根式化简，再根据乘法分配律展开括号，同时根据二次根式乘法法则计算即可；
（2）先根据二次根式性质将括号内的第一个二次根式化简，再合并括号内的同类二次根式，进而根据二次根式除法法则计算即可；
（3）先根据完全平方公式展开括号法，再根据二次根式性质及乘法法则分别计算，最后计算加减法得出答案；
（4）先根据平方差公式展开括号，再根据二次根式性质化简，最后计算减法得出答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
18．【答案】解：由题意得：
，，，，
，
，
，
是直角三角形，，
，
由勾股定理得：
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用。先计算 与 的数值，验证二者相等，根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，且 ，由此可得 ；再在 中利用勾股定理求出 CD 的长度，最后由 计算结果。
19．【答案】解：四边形是菱形，
，即点是的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理。菱形的对角线互相平分，因此点 O 是 AC 的中点；又因为点 M 是 AB 的中点，所以 OM 是 的中位线；根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，即 ，代入 BC 的数值即可求解。
20．【答案】（1）37.5；25
（2）解：由题意得，；
（3）解：当时，，解得，
即这辆汽车最多能行驶16小时．
【知识点】用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：汽车行驶耗油，则油箱里还有油，汽车行驶耗油，则油箱里还有油；
故答案为：37.5；25；
【分析】（1）根据“油箱剩下的油=油箱里原有的油-行驶过程中耗掉的油”列式计算即可；
（2）根据“油箱剩下的油=油箱里原有的油-行驶过程中耗掉的油”即可建立出y关于x的函数关系式；
（3）当油箱中剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令（2）所得关系式中的y=0，求出对应的x的值即可.
（1）解：汽车行驶耗油，则油箱里还有油，汽车行驶耗油，则油箱里还有油；
（2）解：由题意得，；
（3）当时，，解得，
即这辆汽车最多能行驶16小时．
21．【答案】（1）3；250
（2）5
（3）2；450
（4）6；75米/分
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：根据函数图象，点A到点B，距离不变，推断点A到达阅报栏，
点A的坐标，即走了3分钟，距离250米；
（2）解：小明在公共阅报栏阅读报纸的时间是点A到点B的时间差，
即（分钟）；
（3）解：看报后，从点B到点C，用时是两点的时间差，即（分钟），
点C的纵坐标就是离家的距离，即450（米）；
（4）解：点C到点D的时间差，就是回家的用时，即（分钟），
（米/分钟）．
【分析】本题考查一次函数图象的实际应用，结合行程问题分析分段图象的含义。
（1）第一段上升的线段对应从家出发前往阅报栏的过程，线段终点的横坐标为到达时间，纵坐标为离家距离。
（2）中间水平的线段对应在阅报栏停留看报的过程，两端点的横坐标之差即为看报时长。
（3）第二段上升的线段对应看报后继续散步的过程，两端点的横坐标之差为行走时间，终点纵坐标为离家的最远距离。
（4）最后下降的线段对应从最远处返回家的过程，两端点的横坐标之差为回家用时，用离家最远距离除以回家用时即可得到回家的速度。
（1）解：根据函数图象，点A到点B，距离不变，推断点A到达阅报栏，
点A的坐标，即走了3分钟，距离250米；
（2）解：小明在公共阅报栏阅读报纸的时间是点A到点B的时间差，
即（分钟）；
（3）解：看报后，从点B到点C，用时是两点的时间差，即（分钟），
点C的纵坐标就是离家的距离，即450（米）；
（4）解：点C到点D的时间差，就是回家的用时，即（分钟），
（米/分钟）．
22．【答案】（1）证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理。
（1）由 O 是 AD 中点得 ，结合平行四边形 推出内错角相等，加上对顶角相等，通过 ASA 证明 ，得到 ，先证四边形 ABDE 是平行四边形；再由 得 ，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明。
（2）过点 O 作 于点 F，由矩形对角线互相平分且相等得 ，根据等腰三角形三线合一可知 F 是 DE 中点，因此 OF 是 的中位线，算出 OF 与 DF 的长度；再由平行四边形对边相等得 ，进而求出 CF 的长度；最后在 中利用勾股定理求得 OC 的长度。
（1）证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
23．【答案】（1）解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
（2）解：连接并延长交于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为4，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；十字架模型
【解析】【解答】（3）解：如图3，过点B作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据SAS证，根据全等三角形的性质得出，，再证，即可得；
（2）连并延长交于G，同根ASA证明，根据全等三角形的性质计算AM，AG 的长，根据勾股定理，求出长，再根据中位线的性质求出即可；
（3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，根据三角形面积等积变换得BH的值，再根据勾股定理求得CH，，计算即可．
（1）解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
（2）解：连接并延长交于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为4，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点B作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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