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四川成都市金苹果锦城一中 2025-2026 学年期中学情调查八年级下册试题卷 数学
1．下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．使分式 有意义的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　)。
A． B．
C． D．
4．若，则下列结论不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如果分式的值为，那么的值是　 　．
10．分解因式：2x2﹣8=　 　
11．如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则　 　cm．
12．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是　 　．
13．如图，在中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D．若，，且，则AC的长为　 　
14．按要求解答下列各题：
（1）解不等式组：
（2）解分式方程：．
15．先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，，．
（1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
（2）将绕点O旋转180°，画出旋转后的；
（3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围；
（3）已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
18．如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记．
（1）用含的代数式表示．
（2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长．
（3）如图2，延长交于点F，若，求的长．
19．已知x+y=2，则　 　.
20．如图，中，，平分，，，则的面积为 　 　．
21．若分式方程 的解为正数，则a的取值范围是　 　．
22．分式的值为正整数，则正整数x的值为　 　．
23．如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形（不重叠、无缝隙），已知，若有，则的长为　 　．
24．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同．
（1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍，则如何购买花费最少？
25．以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图1，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，可知，将绕点顺时针旋转得到．
【操作发现】
（1）若交于点，连接，求证：；
【深入探索】
（2）在（1）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．如图2，若，，三点共线，求的长；
【拓展延伸】
（3）连接，，在旋转的过程中，请求出面积的最大值．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为．
（1）若点的横坐标为1．
①求的值；
②如图1，当点与点重合时，直接写出的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）求的值（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）结合轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）对选项逐一分析，进而即可求解。
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-3 0，解得：x 3.
【分析】要使分式有意义，则必须满足分式的分母不为零，建立不等式求解即可。
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式(含有分式)，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故该选项符合题意；
D.从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意；
故选 C.
【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴2a＞2b，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴a+m＞b+m，故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质2，可对A、B作出判断；利用不等式的性质1，可对C作出判断；再利用不等式的性质3，可对D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
故A，B，D正确，不符合题意；
∵与不一定相等，故C错误，符合题意．
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的对边相等得出AB=CD，由平行四边形的对角线互相平分得出AO=CO，由平行四边形的对角相等得出∠ABC=∠ADC，从而即可逐一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：向左平移2个单位：横坐标减少2，原横坐标为3，平移后横坐标为：；
向上平移4个单位：纵坐标增加4，原纵坐标为，平移后纵坐标为：；
则平移后点B的坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”直接求解即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转可知AB=BD．
∵点D在的延长线上，
∴．
∵，
∴，
∴，即旋转角的度数为．
故答案为：A．
【分析】由旋转性质得出AB=BD，然后根据等边对等角得出∠BDA=∠A=50°，然后根据三角形内角和可算出∠ABD的度数，从而根据旋转角定义可得答案.
8．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株，
根据题意得，
故答案为：D．
【分析】设原计划每小时种x株，实际每小时中(x+20)株，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及实际比原计划提前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解．
9．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，且，
∴．
故答案为：3.
【分析】根据分式值为零的条件“分子等于零且分母不为零”列出混合组，求解即可得出x的值.
10．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
11．【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向平移到的位置，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据平移的性质得到，，进而根据线段的运算结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象得：当时，一次函数的图象在x轴上方，
∴不等式kx+b＞0的解集是：，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的图象得到当时，一次函数的图象在x轴上方，进而即可求解。
13．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接CD，
由尺规作图可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD=4，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=90°，
∴AC==5，
故答案为：5．
【分析】连接CD，根据作图-垂直平分线得到EF是线段BC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得到DC=BD=4，进而结合题意根据勾股定理即可求解。
14．【答案】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：；
（2）解：
方程两边同乘以得：，
解得：，
检验：将代入得：，
则原分式方程的解为：．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（2）先去分母（两边同时乘以x-2，左边的-1也要乘以x-2，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，进而把未知数的系数化为1求出x的值，再检验即可得出答案.
（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：；
（2）解：
方程两边同乘以得：，
解得：，
检验：将代入得：，
则原分式方程的解为：．
15．【答案】解：原式
由，知且且，故取，代入得原式的值为 ．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内的整式1看成“”，利用同分母分式减法法则计算括号内的部分，同时将被除式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简；接着根据原分式有意义的条件得x不等等于0、-3及1，从而将x=3代入化简后的式子计算即可.
16．【答案】（1）解： 如图所示：即为所求
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；

（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）已知A1的坐标(1，3)，根据图形可知A2的坐标为：(5，-1)，
则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：，
点P的坐标．
故答案是：（3，1）
【分析】（1）根据点A与A1的坐标可知将△ABC向右平移6个单位，再上上平移2个单位即可得到△A1B1C1，从而利用方格纸特点确定出点A1、B1、C1的位置，再顺次连接即可；
（2）根据方格纸的特点结合旋转的旋转的性质，分别画出点A、B、C绕点O旋转180°后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可得到所求的△A2B2C2；
（3）先根据图形得出A1和A2的坐标，再根据对称中心的性质即可求出对称中心P的坐标．
（1）如图所示：即为所求，
（2）如图所示：即为所求，
（3）已知A1的坐标(1，3)，根据图形可知A2的坐标为：(5，-1)，
则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：，
点P的坐标．
故答案是：（3，1）
17．【答案】（1）解：将代入，得，∴点的坐标为，
将点代入，得，，
解得；
（2）
（3）解：∵与轴不垂直，∴点不是直角顶点，
①当点为直角顶点时，如图，
∵，
∴点的坐标为；
②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，
由勾股定理可得，，，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象，
∴当时，的取值范围为；
【分析】本题考查一次函数解析式求解、不等式的图象解法、直角三角形存在性的分类讨论。
（1）先将点 A 的纵坐标代入正比例函数解析式，求出点 A 的横坐标，得到完整的 A 点坐标，再将其代入一次函数解析式即可解出 b 的值。
（2）观察函数图象， 对应一次函数图象位于正比例函数图象下方的部分，该区域以交点 A 为分界，读取对应的 x 的范围即可。
（3）分两种直角顶点情况讨论：当点 D 为直角顶点时，AD 垂直于 y 轴，直接由 A 点纵坐标得到 D 点坐标；当点 A 为直角顶点时，设 D 点坐标，分别用勾股定理表示 OA、AD、OD 的长度，再根据直角三角形三边关系列方程求解。
（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将点代入，得，，
解得；
（2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象，
∴当时，的取值范围为；
（3）解：∵与轴不垂直，
∴点不是直角顶点，
①当点为直角顶点时，如图，
∵，
∴点的坐标为；
②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，
由勾股定理可得，，，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
18．【答案】（1）解：，∴，
又，
∴，
，
；
（2）解：若，，
∴，
，
由勾股定理得：；
若，
，
∴
∴根据解析（1）可得：，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴，
∴ ；
（3）
（3）解：如图，延长至点G使得，
，
，
，
，
∴，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、等腰三角形的分类讨论、全等三角形的构造、勾股定理。
（1）由 、 可得底角 ；由 等边对等角得 ，再由三角形外角性质推出 ；最后根据直角三角形两锐角互余，得到 。
（2）分两种等腰情况讨论：当 时，结合 得到 CD 的长度，进而求出 AC，再用勾股定理计算 AD；当 时，先推导角度关系得到 ，由等角对等边得 ，因此 。
（3）延长 BC 至点 G 使得 ，通过 SAS 证明 ，得到对应角相等，进一步推导可得 ，由等角对等边得 ，从而算出 CD 的长度；再在 中用勾股定理求出 AC，最后由 计算结果。
（1）解：，
∴，
又，
∴，
，
；
（2）解：若，
，
∴，
，
由勾股定理得：；
若，
，
∴
∴根据解析（1）可得：，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解：如图，延长至点G使得，
，
，
，
，
∴，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
19．【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
=，
∵ x+y=2，
∴原式=
=2.
故答案为：2.
【分析】先对原式提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，最后整体代入即可.
20．【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于点E，如图所示，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DE=DC=3，然后根据三角形面积公式列式计算出△ABD的面积即可.
21．【答案】a＜8，且a≠4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】分式方程去分母得：x=2x-8+a，
解得：x=8- a，
根据题意得：8- a＞0，8- a≠4，
解得：a＜8，且a≠4．
故答案为：a＜8，且a≠4．
【分析】将分式方程进行去分母并移项得x=8-a，因为分式方程的解为正数，所以x＞0且x≠4，即8-a＞0且8-a≠4，所以a＜8，且a≠4。
22．【答案】1或2
【知识点】因式分解的应用；分式的值
【解析】【解答】解：，
要使的值为正整数，且x也是正整数，则即的值可以为，，
当，，当，，
故答案为：1或2.
【分析】先把分式的分子利用十字相乘法分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后约分化简，进而将化简的结果利用分离的方法变形为，再根据分式的值为正整数且x也为正整数，得出x-3的取值，从而得出x的值．
23．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是由分割拼成，
∴，，
∵，
∴，四边形为菱形，
∴线段是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即：，
解得，
∴，
如图所示，连接，过点向线段作垂线，垂足为点，则，
∵，，
即，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【分析】本题考查图形剪拼中的不变量分析、菱形的性质、三角形中位线定理、等面积法与勾股定理。由拼接前后对应边相等，结合四边形 PQMN 四边相等为菱形，可推得 ，即 EF 是 的中位线，由此算出 ，对应拼接后 ，且 。设 ，根据 表示出 PQ 的长度，再由拼接关系得 、，在 中利用勾股定理列方程求解，得到 PG 与 PN 的具体值。由 PG 垂直 NH 且 G 是 NH 中点，根据垂直平分线性质得 ；利用等面积法求出点 P 到 QM 的距离 PK，再在 中由勾股定理算出 KH，最终由 得到结果。
24．【答案】（1）解：设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元
根据题意，得
解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元；
（2）解：设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元，
根据题意，得 ，
解得，
总花费
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，
取得最小值，
此时 ， （元）
答：购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为(x-5)元，根据总价除以单价等于数量及“用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同”建立方程求解并检验即可；
（2）设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具(100-m)把，总花费为w元，先根据“ A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍 ”列不等式求出m的取值范围，再根据单价乘以数量等于总价及“总花费等于购买m把A型劳动工具的花费+购买(100-m)把B型劳动工具的花费”列出w关于m的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可．
（1）解：设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元
根据题意，得
解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元；
（2）解：设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元，
根据题意，得 ，
解得，
总花费
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，
取得最小值，
此时 ， （元）
答：购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少．
25．【答案】（1）证明：∵，为的中点，∴，
∴，
∵三点共线，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）
解：∵在中，，，∴，
∵绕点顺时针旋转得到，且中点为，
∴，，
∵，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∴，
∴，
设，
在中， 由勾股定理，得，
则，
解得，
由（1）可知，，
∴；
（3）
解：如图，过作于点，
∵为定值，
∴当上的高线最大时，则的面积最大，即求出到的最大距离即可，
∵，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
∵，
∴此时三点共线，
即，
∴，
即面积最大值为16．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查旋转的性质、三角形中位线定理、全等三角形判定、勾股定理、面积最值问题。
（1）由 D、E 分别是 AB、BC 中点，根据三角形中位线定理得 ，因此 ；由旋转性质得 ，，结合公共边 DM，通过 HL 即可证明两个直角三角形全等。
（2）先在 中由勾股定理求得 AB 的长度，进而得到 ；由 A、F、G 三点共线推导角度关系，可得 ，由等角对等边得 ；设 ，在 中由勾股定理列方程求解，再结合全等三角形对应边相等得 ，代入计算即可得到 MF 的长度。
（3）FG 为定长线段， 的面积最大等价于点 C 到直线 FG 的距离最大；当 C、D、F 三点共线且 F 在 CD 的延长线上时，点 C 到 FG 的距离最大，最大值为 ，代入数值计算即可得到面积的最大值。
26．【答案】（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，
点的纵坐标为：，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：；
②
（2）解：的值是定值，这个定值为；理由如下：
由可知直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
∵轴，点在直线：上，
∴点的坐标为，
，
，
，
；
故的值是定值，这个定值为；
（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为联立直线表达式可得，，
解得，
点的坐标为，
当点在线段延长线上时，
，
∴
当点在线段上时，
，
∴同上：；
当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）②∵直线：（）与轴相交于点，
∴当时，
∴，
∵轴，
∴轴，
当点与点重合时，，
将代入得，，
∴
∴；
【分析】本题考查一次函数交点求解、三角形面积计算、定值探究与代数化简。
（1）① 点 C 在直线 上，由横坐标可得纵坐标，将 C 点坐标代入直线 的解析式即可解出 k 的值。
② 点 P 与 A 重合时，由 PQ 平行于 x 轴可知 Q 点纵坐标与 A 点相同，代入 求得 Q 点坐标；分别以 OA 为公共底，用底乘高的一半计算两个三角形的面积，再求比值。
（2）设出点 P 的坐标，由 PQ 平行 x 轴可得 Q 点纵坐标与 P 点相同，代入 得到 Q 点坐标；分别用面积差的形式表示 和 ，化简后可发现变量 被消去，比值为定值。
（3）先联立两条直线的解析式，求出交点 C 的坐标；设 P 点坐标并表示出对应 Q 点坐标，分 P 在线段 CA 延长线、线段 AC 上、AC 延长线三种位置，均用面积差表示 和 ，化简后均可得到统一的含 k 的比值表达式。
（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，
点的纵坐标为：，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：；
②∵直线：（）与轴相交于点，
∴当时，
∴，
∵轴，
∴轴，
当点与点重合时，，
将代入得，，
∴
∴；
（2）解：的值是定值，这个定值为；
理由如下：
由可知直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
∵轴，点在直线：上，
∴点的坐标为，
，
，
，
；
故的值是定值，这个定值为；
（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为
联立直线表达式可得，，
解得，
点的坐标为，
当点在线段延长线上时，
，
∴
当点在线段上时，
，
∴同上：；
当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上：．
1 / 1四川成都市金苹果锦城一中 2025-2026 学年期中学情调查八年级下册试题卷 数学
1．下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）结合轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）对选项逐一分析，进而即可求解。
2．使分式 有意义的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-3 0，解得：x 3.
【分析】要使分式有意义，则必须满足分式的分母不为零，建立不等式求解即可。
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式(含有分式)，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故该选项符合题意；
D.从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意；
故选 C.
【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此解答即可.
4．若，则下列结论不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴2a＞2b，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴a+m＞b+m，故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质2，可对A、B作出判断；利用不等式的性质1，可对C作出判断；再利用不等式的性质3，可对D作出判断.
5．如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
故A，B，D正确，不符合题意；
∵与不一定相等，故C错误，符合题意．
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的对边相等得出AB=CD，由平行四边形的对角线互相平分得出AO=CO，由平行四边形的对角相等得出∠ABC=∠ADC，从而即可逐一判断得出答案.
6．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：向左平移2个单位：横坐标减少2，原横坐标为3，平移后横坐标为：；
向上平移4个单位：纵坐标增加4，原纵坐标为，平移后纵坐标为：；
则平移后点B的坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”直接求解即可.
7．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转可知AB=BD．
∵点D在的延长线上，
∴．
∵，
∴，
∴，即旋转角的度数为．
故答案为：A．
【分析】由旋转性质得出AB=BD，然后根据等边对等角得出∠BDA=∠A=50°，然后根据三角形内角和可算出∠ABD的度数，从而根据旋转角定义可得答案.
8．某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株，
根据题意得，
故答案为：D．
【分析】设原计划每小时种x株，实际每小时中(x+20)株，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及实际比原计划提前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解．
9．如果分式的值为，那么的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，且，
∴．
故答案为：3.
【分析】根据分式值为零的条件“分子等于零且分母不为零”列出混合组，求解即可得出x的值.
10．分解因式：2x2﹣8=　 　
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
11．如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则　 　cm．
【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向平移到的位置，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据平移的性质得到，，进而根据线段的运算结合题意即可求解。
12．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象得：当时，一次函数的图象在x轴上方，
∴不等式kx+b＞0的解集是：，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的图象得到当时，一次函数的图象在x轴上方，进而即可求解。
13．如图，在中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D．若，，且，则AC的长为　 　
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接CD，
由尺规作图可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD=4，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=90°，
∴AC==5，
故答案为：5．
【分析】连接CD，根据作图-垂直平分线得到EF是线段BC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得到DC=BD=4，进而结合题意根据勾股定理即可求解。
14．按要求解答下列各题：
（1）解不等式组：
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：；
（2）解：
方程两边同乘以得：，
解得：，
检验：将代入得：，
则原分式方程的解为：．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（2）先去分母（两边同时乘以x-2，左边的-1也要乘以x-2，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，进而把未知数的系数化为1求出x的值，再检验即可得出答案.
（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：；
（2）解：
方程两边同乘以得：，
解得：，
检验：将代入得：，
则原分式方程的解为：．
15．先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式
由，知且且，故取，代入得原式的值为 ．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内的整式1看成“”，利用同分母分式减法法则计算括号内的部分，同时将被除式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简；接着根据原分式有意义的条件得x不等等于0、-3及1，从而将x=3代入化简后的式子计算即可.
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，，．
（1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
（2）将绕点O旋转180°，画出旋转后的；
（3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为______．
【答案】（1）解： 如图所示：即为所求
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；

（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）已知A1的坐标(1，3)，根据图形可知A2的坐标为：(5，-1)，
则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：，
点P的坐标．
故答案是：（3，1）
【分析】（1）根据点A与A1的坐标可知将△ABC向右平移6个单位，再上上平移2个单位即可得到△A1B1C1，从而利用方格纸特点确定出点A1、B1、C1的位置，再顺次连接即可；
（2）根据方格纸的特点结合旋转的旋转的性质，分别画出点A、B、C绕点O旋转180°后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可得到所求的△A2B2C2；
（3）先根据图形得出A1和A2的坐标，再根据对称中心的性质即可求出对称中心P的坐标．
（1）如图所示：即为所求，
（2）如图所示：即为所求，
（3）已知A1的坐标(1，3)，根据图形可知A2的坐标为：(5，-1)，
则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：，
点P的坐标．
故答案是：（3，1）
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围；
（3）已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入，得，∴点的坐标为，
将点代入，得，，
解得；
（2）
（3）解：∵与轴不垂直，∴点不是直角顶点，
①当点为直角顶点时，如图，
∵，
∴点的坐标为；
②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，
由勾股定理可得，，，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象，
∴当时，的取值范围为；
【分析】本题考查一次函数解析式求解、不等式的图象解法、直角三角形存在性的分类讨论。
（1）先将点 A 的纵坐标代入正比例函数解析式，求出点 A 的横坐标，得到完整的 A 点坐标，再将其代入一次函数解析式即可解出 b 的值。
（2）观察函数图象， 对应一次函数图象位于正比例函数图象下方的部分，该区域以交点 A 为分界，读取对应的 x 的范围即可。
（3）分两种直角顶点情况讨论：当点 D 为直角顶点时，AD 垂直于 y 轴，直接由 A 点纵坐标得到 D 点坐标；当点 A 为直角顶点时，设 D 点坐标，分别用勾股定理表示 OA、AD、OD 的长度，再根据直角三角形三边关系列方程求解。
（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将点代入，得，，
解得；
（2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象，
∴当时，的取值范围为；
（3）解：∵与轴不垂直，
∴点不是直角顶点，
①当点为直角顶点时，如图，
∵，
∴点的坐标为；
②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，
由勾股定理可得，，，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
18．如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记．
（1）用含的代数式表示．
（2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长．
（3）如图2，延长交于点F，若，求的长．
【答案】（1）解：，∴，
又，
∴，
，
；
（2）解：若，，
∴，
，
由勾股定理得：；
若，
，
∴
∴根据解析（1）可得：，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴，
∴ ；
（3）
（3）解：如图，延长至点G使得，
，
，
，
，
∴，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、等腰三角形的分类讨论、全等三角形的构造、勾股定理。
（1）由 、 可得底角 ；由 等边对等角得 ，再由三角形外角性质推出 ；最后根据直角三角形两锐角互余，得到 。
（2）分两种等腰情况讨论：当 时，结合 得到 CD 的长度，进而求出 AC，再用勾股定理计算 AD；当 时，先推导角度关系得到 ，由等角对等边得 ，因此 。
（3）延长 BC 至点 G 使得 ，通过 SAS 证明 ，得到对应角相等，进一步推导可得 ，由等角对等边得 ，从而算出 CD 的长度；再在 中用勾股定理求出 AC，最后由 计算结果。
（1）解：，
∴，
又，
∴，
，
；
（2）解：若，
，
∴，
，
由勾股定理得：；
若，
，
∴
∴根据解析（1）可得：，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解：如图，延长至点G使得，
，
，
，
，
∴，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
19．已知x+y=2，则　 　.
【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
=，
∵ x+y=2，
∴原式=
=2.
故答案为：2.
【分析】先对原式提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，最后整体代入即可.
20．如图，中，，平分，，，则的面积为 　 　．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于点E，如图所示，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DE=DC=3，然后根据三角形面积公式列式计算出△ABD的面积即可.
21．若分式方程 的解为正数，则a的取值范围是　 　．
【答案】a＜8，且a≠4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】分式方程去分母得：x=2x-8+a，
解得：x=8- a，
根据题意得：8- a＞0，8- a≠4，
解得：a＜8，且a≠4．
故答案为：a＜8，且a≠4．
【分析】将分式方程进行去分母并移项得x=8-a，因为分式方程的解为正数，所以x＞0且x≠4，即8-a＞0且8-a≠4，所以a＜8，且a≠4。
22．分式的值为正整数，则正整数x的值为　 　．
【答案】1或2
【知识点】因式分解的应用；分式的值
【解析】【解答】解：，
要使的值为正整数，且x也是正整数，则即的值可以为，，
当，，当，，
故答案为：1或2.
【分析】先把分式的分子利用十字相乘法分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后约分化简，进而将化简的结果利用分离的方法变形为，再根据分式的值为正整数且x也为正整数，得出x-3的取值，从而得出x的值．
23．如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形（不重叠、无缝隙），已知，若有，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是由分割拼成，
∴，，
∵，
∴，四边形为菱形，
∴线段是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即：，
解得，
∴，
如图所示，连接，过点向线段作垂线，垂足为点，则，
∵，，
即，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【分析】本题考查图形剪拼中的不变量分析、菱形的性质、三角形中位线定理、等面积法与勾股定理。由拼接前后对应边相等，结合四边形 PQMN 四边相等为菱形，可推得 ，即 EF 是 的中位线，由此算出 ，对应拼接后 ，且 。设 ，根据 表示出 PQ 的长度，再由拼接关系得 、，在 中利用勾股定理列方程求解，得到 PG 与 PN 的具体值。由 PG 垂直 NH 且 G 是 NH 中点，根据垂直平分线性质得 ；利用等面积法求出点 P 到 QM 的距离 PK，再在 中由勾股定理算出 KH，最终由 得到结果。
24．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同．
（1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍，则如何购买花费最少？
【答案】（1）解：设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元
根据题意，得
解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元；
（2）解：设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元，
根据题意，得 ，
解得，
总花费
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，
取得最小值，
此时 ， （元）
答：购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为(x-5)元，根据总价除以单价等于数量及“用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同”建立方程求解并检验即可；
（2）设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具(100-m)把，总花费为w元，先根据“ A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍 ”列不等式求出m的取值范围，再根据单价乘以数量等于总价及“总花费等于购买m把A型劳动工具的花费+购买(100-m)把B型劳动工具的花费”列出w关于m的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可．
（1）解：设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元
根据题意，得
解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元；
（2）解：设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元，
根据题意，得 ，
解得，
总花费
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，
取得最小值，
此时 ， （元）
答：购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少．
25．以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图1，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，可知，将绕点顺时针旋转得到．
【操作发现】
（1）若交于点，连接，求证：；
【深入探索】
（2）在（1）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．如图2，若，，三点共线，求的长；
【拓展延伸】
（3）连接，，在旋转的过程中，请求出面积的最大值．
【答案】（1）证明：∵，为的中点，∴，
∴，
∵三点共线，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）
解：∵在中，，，∴，
∵绕点顺时针旋转得到，且中点为，
∴，，
∵，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∴，
∴，
设，
在中， 由勾股定理，得，
则，
解得，
由（1）可知，，
∴；
（3）
解：如图，过作于点，
∵为定值，
∴当上的高线最大时，则的面积最大，即求出到的最大距离即可，
∵，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
∵，
∴此时三点共线，
即，
∴，
即面积最大值为16．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查旋转的性质、三角形中位线定理、全等三角形判定、勾股定理、面积最值问题。
（1）由 D、E 分别是 AB、BC 中点，根据三角形中位线定理得 ，因此 ；由旋转性质得 ，，结合公共边 DM，通过 HL 即可证明两个直角三角形全等。
（2）先在 中由勾股定理求得 AB 的长度，进而得到 ；由 A、F、G 三点共线推导角度关系，可得 ，由等角对等边得 ；设 ，在 中由勾股定理列方程求解，再结合全等三角形对应边相等得 ，代入计算即可得到 MF 的长度。
（3）FG 为定长线段， 的面积最大等价于点 C 到直线 FG 的距离最大；当 C、D、F 三点共线且 F 在 CD 的延长线上时，点 C 到 FG 的距离最大，最大值为 ，代入数值计算即可得到面积的最大值。
26．如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为．
（1）若点的横坐标为1．
①求的值；
②如图1，当点与点重合时，直接写出的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，
点的纵坐标为：，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：；
②
（2）解：的值是定值，这个定值为；理由如下：
由可知直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
∵轴，点在直线：上，
∴点的坐标为，
，
，
，
；
故的值是定值，这个定值为；
（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为联立直线表达式可得，，
解得，
点的坐标为，
当点在线段延长线上时，
，
∴
当点在线段上时，
，
∴同上：；
当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）②∵直线：（）与轴相交于点，
∴当时，
∴，
∵轴，
∴轴，
当点与点重合时，，
将代入得，，
∴
∴；
【分析】本题考查一次函数交点求解、三角形面积计算、定值探究与代数化简。
（1）① 点 C 在直线 上，由横坐标可得纵坐标，将 C 点坐标代入直线 的解析式即可解出 k 的值。
② 点 P 与 A 重合时，由 PQ 平行于 x 轴可知 Q 点纵坐标与 A 点相同，代入 求得 Q 点坐标；分别以 OA 为公共底，用底乘高的一半计算两个三角形的面积，再求比值。
（2）设出点 P 的坐标，由 PQ 平行 x 轴可得 Q 点纵坐标与 P 点相同，代入 得到 Q 点坐标；分别用面积差的形式表示 和 ，化简后可发现变量 被消去，比值为定值。
（3）先联立两条直线的解析式，求出交点 C 的坐标；设 P 点坐标并表示出对应 Q 点坐标，分 P 在线段 CA 延长线、线段 AC 上、AC 延长线三种位置，均用面积差表示 和 ，化简后均可得到统一的含 k 的比值表达式。
（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，
点的纵坐标为：，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：；
②∵直线：（）与轴相交于点，
∴当时，
∴，
∵轴，
∴轴，
当点与点重合时，，
将代入得，，
∴
∴；
（2）解：的值是定值，这个定值为；
理由如下：
由可知直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
∵轴，点在直线：上，
∴点的坐标为，
，
，
，
；
故的值是定值，这个定值为；
（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为
联立直线表达式可得，，
解得，
点的坐标为，
当点在线段延长线上时，
，
∴
当点在线段上时，
，
∴同上：；
当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上：．
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