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吉林松原市2025-2026学年下学期八年级期末数学测试卷
1．若是最简二次根式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为菱形的对角线，已知，（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．1，，3 C．1，2，3 D．1，，
4．如图，平行四边形中的顶点O，A，C的坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线与直线（k、b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
6．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知矩形的对角线、相交于点O，，，则　 　．
8．一次函数图象经过第二，三，四象限，则　 　0．（填“>，<或=”）
9．学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是　 　分.
10．如图，菱形的周长为20，E是的中点，F是的中点，连接，则　 　．
11．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，作于点F，连接DE，若BC＝9，BF＝3，则DE＝　 　．
12．计算：．
13．如图所示，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）四边形的面积．
14．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形．
15．已知一次函数．
（1）若随的增大而增大，求的取值范围；
（2）若，当时，直接写出的取值范围．
16．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画矩形，使其面积为3．
（2）在图②中画正方形．
（3）在图③中画，使其面积为10．
17．如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标．
18．某汽车厂去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比统计图如图所示，根据统计图有关信息回答问题：
（1）若第三季度销售汽车3900辆，
①求第三季度的汽车产量；
②若每个季度的汽车生产辆数相同，求四个季度的汽车销售辆数的中位数；
（2）已知该厂去年全年生产汽车20000辆，并通过两个不同渠道获得去年全年的汽车销售辆数分别为16500辆和15500辆的信息，请问哪个数据更有可信度？为什么？
19．如图，在中，F是边DC的中点，过点F作，交AB于点E．连接ED、EC，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连接DG．
（1）求证：四边形DECG是平行四边形；
（2）当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．
20．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示．
（1）填空：______，______；
（2）求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式；
（3）在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案．
21．【问题原型】
如图1，在正方形中，．求证：．
【问题应用】
如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为　　；
（2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为　　．
22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，BC＝，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，点P、Q同时出发，以QC、QP为邻边作□CQPD．设点P运动的时间为t（秒），□CQPD与△ABC重叠部分的面积为S（平方单位）．
（1）求AB的长；
（2）求PD的长（用含t的代数式表示）；
（3）当点D落在BC上时，求t的值；
（4）求S与t之间的函数关系式（S＞0）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、当，不是最简二次根式，故A不符合题意B、当，，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、当，不是最简二次根式，故C不符合题意
D、当，是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先根据菱形的性质得出的度数，再结合角平分线的性质，即可推得最终结果.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、1+2=3，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边关系定理，可知C选项中的三条线段不能构成三角形，再利用勾股定理的逆定理，进行计算，可对A、B、D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，A，，
∴，
又∵，
∴点B的纵坐标与点的纵坐标相等，
∴，故D正确．
故选：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据点的坐标即可求解。
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象，不等式的解集为，
故选：C．
【分析】
结合函数的性质，找出直线位置高于直线时，对应的自变量的取值范围就可以解答本题.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：向大容器中注水时，在注入的水的水面高度没没过小水杯的高度之前，因为小水杯原本是空的，需要先向小水杯内部进水，所以小水杯内水面高度从0开始上升，因此选项A、D不符合题意；当大容器中的水面高度超过小水杯的高度后，若小水杯还没被装满，小水杯内的水面高度会继续上升，当小水杯被完全装满后，小水杯内的水面高度就等于水杯自身的高度，不会再继续增加，因此选项B符合题意，选项C不符合题意，故选：B.
【分析】可以将整个过程分为三个阶段分析：注入水后大容器水面未超过小水杯高度、大容器水面超过小水杯高度但小水杯未装满、小水杯装满水之后，依次分析每个阶段小水杯内水面高度和注水时间的关系，即可得出答案.
7．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：6．
【分析】利用矩形的性质可证得，，再利用已知可求出∠AOB的度数，可证得为等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AC的长.
8．【答案】>
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数图象经过第二，三，四象限，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0，
故答案为：＞
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求解。
9．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：综合成绩为：85×20%+88×50%+90×30%=88（分）.
故答案为：88.
【分析】根据理论知识得分×所占的比例+创新设计得分×所占的比例+现场展示得分×所占的比例可得综合成绩.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为20，
∴，
∵E是的中点，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据菱形的性质得到，再结合三角形中位线定理即可求解。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=9，∠EAF=45°，
∵EF⊥AB，
∴EF=AF=AB-BF=9-3=6，
∴BE===，
∵正方形ABCD关于AC对称，
∴DE=BE=，
故答案为：．
【分析】连接BE，根据正方形的性质得到AB=BC=9，∠EAF=45°，进而进行线段的运算得到EF，再根据勾股定理求出BE，从而根据对称即可求解。
12．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法，除法法则进行计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
13．【答案】（1）解：，，，
；

（2）解：由（1）知，
，，
则，即，
为直角三角形，，
四边形的面积为： ．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）直角三角形ABC，直接运用勾股定理计算出AC的长度；
（2）结合第一问的结果可以得到AC = ，再结合题目的已知条件，能够推出AD2 = CD2 + AC2，符合勾股定理的逆定理，因此是直角三角形，且为直角。最后四边形ABCD的面积等于 的面积之和，分别计算两个直角三角形的面积再相加就能得到最终结果.
（1）解：，，，
；
（2）解：由（1）知，
，，
则，即，
为直角三角形，，
四边形的面积为： ．
14．【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】利用矩形的性质可证得，利用矩形的性质可求出∠EAF的度数；再证明四边形是矩形，可推出，利用等角对等边可证得AF=EF，利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论.
15．【答案】（1）解：由题意得：，
（2）解：∵，，
当时，，
当时，，
∵随的增大而增大，
∴当时，求的取值范围为：
【知识点】一次函数的概念；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）将m=1代入函数解析式，再分别将，代入函数解析式，可求出对应的y的值，再利用一次函数的性质可求出对应的y的取值范围.
（1）解：由题意得：，
；
（2）解：∵，
，
当时，，
当时，，
∵随的增大而增大，
∴当时，求的取值范围为：．
16．【答案】（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，四边形即为所求；
（3）解：如图③中，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可；
（2）根据正方形的判定作出图形；
（3）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可．
（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，四边形即为所求；
（3）解：如图③中，四边形即为所求．
17．【答案】（1）解：直线交轴于点
，
解得，
，
将直线向下平移4个单位长度，得到的直线，
令，则，解得，
令，则，
，；
（2）点M的坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）解：若时，
，
，
，
若，
，，
，
，
，，
综上，的坐标为或，．
【分析】本题考查一次函数平移规律、坐标轴交点求解、等腰三角形的分类讨论。
（1）将 A 点坐标代入直线 l 的解析式，即可求出 a 的值；根据函数平移 “上加下减” 的规律，写出平移后的直线解析式，分别令 、 求解，得到 B、C 两点的坐标。
（2）分两种腰的情况讨论：当 时，由 ，结合等腰三角形三线合一可得 ，直接得到 M 点坐标；当 时，先用勾股定理算出 BC 的长度，再由 BM 的长度推算 OM 的长度，得到 M 点坐标。
（1）解：直线交轴于点
，
解得，
，
将直线向下平移4个单位长度，得到的直线，
令，则，解得，
令，则，
，；
（2）解：若时，
，
，
，
若，
，，
，
，
，，
综上，的坐标为或，．
18．【答案】解：（1）①3900÷78%=5000（辆），
答：第三季度的汽车产量5000辆；
②第一季度：5000×80%=4000（辆），
第二季度：5000×85%=4250（辆），
第四季度：5000×90%=4500（辆），
中位数：（4000+4250）÷2=4125（辆），
答：四个季度的汽车销售辆数的中位数4125辆；
（2）16500更有可信度，
因为去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比最低的第三季度达到78%，故全年的比值必然高于78%，则全年的销售辆数高于15600辆．
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【分析】本题考查折线统计图的解读、百分比计算、中位数求解、数据可信度分析。
（1）① 用第三季度的汽车销量除以该季度销量占产量的百分比，即可得到第三季度的汽车产量。
② 由每季度产量相同，分别用产量乘各季度对应的销售百分比，得到四个季度的销量；将四个数据从小到大排序，取中间两个数的平均值即为中位数。
（2）由统计图可知最低的第三季度销售占比为 78%，因此全年销售占比必然高于 78%，计算全年产量的 78% 对应的销量，对比两个数据即可判断哪个更可信。
19．【答案】（1）解：∵F是边CD的中点，∴DF=CF，
∵CG∥DE，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠DFE=∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE=CG，
又∵CG∥DE，
∴四边形DECG是平行四边形．
（2）证明：∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠FDE．
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF．
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF=CF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC，
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，
∴2∠DEC=180°．
∴∠DEC=90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、角平分线的定义。
（1）由 F 是 CD 中点得 ，结合 推出内错角相等，加上对顶角相等，通过 AAS 证明 ，得到 ；由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判定四边形 DECG 是平行四边形。
（2）由 DE 平分 与 ，可推得 ，由等角对等边得 ，进而推出 ；结合三角形内角和定理可证得 ，再结合四边形 DECG 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明。
（1）解：∵F是边CD的中点，
∴DF=CF，
∵CG∥DE，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠DFE=∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE=CG，
又∵CG∥DE，
∴四边形DECG是平行四边形．
（2）证明：∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠FDE．
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF．
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF=CF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC，
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，
∴2∠DEC=180°．
∴∠DEC=90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形．
20．【答案】（1）2，6
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【分析】本题以两车相向而行的行程问题为背景，考查了一次函数的应用、待定系数法及分段讨论思想。
（1）根据相遇时甲车行驶路程和速度求时间得m，再加4小时得n。
（2）设相遇后一次函数解析式，代入点(2，240)和(6，0)求表达式。
（3）分别求出相遇前甲车、乙车与B地距离的函数关系，根据两车相距80km列方程，结合自变量范围求解。
（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：2，6；
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为；
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距．
21．【答案】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
[问题应用]（1）；（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；十字架模型；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
[问题应用]（1）解：四边形是正方形，，
，，
，为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
为的中点，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
，，，
在和中，
，
，
，
，
延长到点，使，则，垂直平分，
连接、，则，
，，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【分析】
[问题原型]只需要证明，即可得到对应结论；
[问题应用]（1）先证明，根据全等三角形的性质得到，进一步推导即可证出，即CE垂直DF。接下来根据三角形面积公式可得，结合条件，可以计算出CG的长度，再进一步得到GH的长度，最后利用即可求出四边形的面积；
（2）首先连接AF，证明，根据全等的性质得到，因此可得。接下来延长AB到点K，使得，连接KF和KD，根据对称性可得，因此。根据两点之间线段最短，当D、F、K三点共线时，KF+DF取得最小值，计算此时DK的长度即可得到结果.
22．【答案】（1）∵∠A＝90°，AC＝AB，BC＝，∴△ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，
即2AB2＝（）2，
故AB＝6；
（2）∵四边形CQPD是平行四边形，
∴PD＝CQ＝t；
（3）如图，当D点落在BC上时，
∵四边形CQPD是平行四边形，
∴∠AQP＝∠C＝45°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
故AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝AC﹣CQ＝AB﹣CQ＝6﹣t，
即t＝6﹣t，
解得t＝3；
（4）①当D不在三角形ABC外部时，即0＜t≤3时，如图1所示，
此时S＝CQ AP＝t2，
②当D点在三角形外部时，即3＜t≤6时，如图2所示，令PD交BC于E，
此时平行四边形CQPD与△ABC重叠部分是梯形CEPQ，
∵DP⊥AB，∠B＝45°，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴PE＝PB＝6﹣t，
∴S＝（PE+CQ） AP＝×[（6﹣t）+t] t＝3t，
综上，S与t之间的函数关系式为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、动点问题的分段函数。
（1） 是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，结合 代入 BC 的长度即可求解。
（2）四边形 CQPD 是平行四边形，根据平行四边形对边相等，可得 。
（3）当 D 点落在 BC 上时，可推得 为等腰直角三角形，因此 ；分别用 t 表示 AP 与 AQ 的长度，列方程求解即可。
（4）分两段讨论：当 时，D 点在三角形内部，重叠部分为平行四边形，直接用底乘高计算面积；当 时，D 点在三角形外部，重叠部分为梯形，分别表示出梯形的上下底和高，代入梯形面积公式，最终写成分段函数形式。
1 / 1吉林松原市2025-2026学年下学期八年级期末数学测试卷
1．若是最简二次根式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、当，不是最简二次根式，故A不符合题意B、当，，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、当，不是最简二次根式，故C不符合题意
D、当，是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式，再对各选项逐一判断即可.
2．如图，为菱形的对角线，已知，（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先根据菱形的性质得出的度数，再结合角平分线的性质，即可推得最终结果.
3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．1，，3 C．1，2，3 D．1，，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、1+2=3，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边关系定理，可知C选项中的三条线段不能构成三角形，再利用勾股定理的逆定理，进行计算，可对A、B、D作出判断.
4．如图，平行四边形中的顶点O，A，C的坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，A，，
∴，
又∵，
∴点B的纵坐标与点的纵坐标相等，
∴，故D正确．
故选：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据点的坐标即可求解。
5．如图，直线与直线（k、b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象，不等式的解集为，
故选：C．
【分析】
结合函数的性质，找出直线位置高于直线时，对应的自变量的取值范围就可以解答本题.
6．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：向大容器中注水时，在注入的水的水面高度没没过小水杯的高度之前，因为小水杯原本是空的，需要先向小水杯内部进水，所以小水杯内水面高度从0开始上升，因此选项A、D不符合题意；当大容器中的水面高度超过小水杯的高度后，若小水杯还没被装满，小水杯内的水面高度会继续上升，当小水杯被完全装满后，小水杯内的水面高度就等于水杯自身的高度，不会再继续增加，因此选项B符合题意，选项C不符合题意，故选：B.
【分析】可以将整个过程分为三个阶段分析：注入水后大容器水面未超过小水杯高度、大容器水面超过小水杯高度但小水杯未装满、小水杯装满水之后，依次分析每个阶段小水杯内水面高度和注水时间的关系，即可得出答案.
7．已知矩形的对角线、相交于点O，，，则　 　．
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：6．
【分析】利用矩形的性质可证得，，再利用已知可求出∠AOB的度数，可证得为等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AC的长.
8．一次函数图象经过第二，三，四象限，则　 　0．（填“>，<或=”）
【答案】>
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数图象经过第二，三，四象限，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0，
故答案为：＞
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求解。
9．学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是　 　分.
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：综合成绩为：85×20%+88×50%+90×30%=88（分）.
故答案为：88.
【分析】根据理论知识得分×所占的比例+创新设计得分×所占的比例+现场展示得分×所占的比例可得综合成绩.
10．如图，菱形的周长为20，E是的中点，F是的中点，连接，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为20，
∴，
∵E是的中点，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据菱形的性质得到，再结合三角形中位线定理即可求解。
11．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，作于点F，连接DE，若BC＝9，BF＝3，则DE＝　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=9，∠EAF=45°，
∵EF⊥AB，
∴EF=AF=AB-BF=9-3=6，
∴BE===，
∵正方形ABCD关于AC对称，
∴DE=BE=，
故答案为：．
【分析】连接BE，根据正方形的性质得到AB=BC=9，∠EAF=45°，进而进行线段的运算得到EF，再根据勾股定理求出BE，从而根据对称即可求解。
12．计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法，除法法则进行计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
13．如图所示，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）四边形的面积．
【答案】（1）解：，，，
；

（2）解：由（1）知，
，，
则，即，
为直角三角形，，
四边形的面积为： ．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）直角三角形ABC，直接运用勾股定理计算出AC的长度；
（2）结合第一问的结果可以得到AC = ，再结合题目的已知条件，能够推出AD2 = CD2 + AC2，符合勾股定理的逆定理，因此是直角三角形，且为直角。最后四边形ABCD的面积等于 的面积之和，分别计算两个直角三角形的面积再相加就能得到最终结果.
（1）解：，，，
；
（2）解：由（1）知，
，，
则，即，
为直角三角形，，
四边形的面积为： ．
14．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形．
【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】利用矩形的性质可证得，利用矩形的性质可求出∠EAF的度数；再证明四边形是矩形，可推出，利用等角对等边可证得AF=EF，利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论.
15．已知一次函数．
（1）若随的增大而增大，求的取值范围；
（2）若，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，
（2）解：∵，，
当时，，
当时，，
∵随的增大而增大，
∴当时，求的取值范围为：
【知识点】一次函数的概念；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）将m=1代入函数解析式，再分别将，代入函数解析式，可求出对应的y的值，再利用一次函数的性质可求出对应的y的取值范围.
（1）解：由题意得：，
；
（2）解：∵，
，
当时，，
当时，，
∵随的增大而增大，
∴当时，求的取值范围为：．
16．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画矩形，使其面积为3．
（2）在图②中画正方形．
（3）在图③中画，使其面积为10．
【答案】（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，四边形即为所求；
（3）解：如图③中，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可；
（2）根据正方形的判定作出图形；
（3）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可．
（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，四边形即为所求；
（3）解：如图③中，四边形即为所求．
17．如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）解：直线交轴于点
，
解得，
，
将直线向下平移4个单位长度，得到的直线，
令，则，解得，
令，则，
，；
（2）点M的坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）解：若时，
，
，
，
若，
，，
，
，
，，
综上，的坐标为或，．
【分析】本题考查一次函数平移规律、坐标轴交点求解、等腰三角形的分类讨论。
（1）将 A 点坐标代入直线 l 的解析式，即可求出 a 的值；根据函数平移 “上加下减” 的规律，写出平移后的直线解析式，分别令 、 求解，得到 B、C 两点的坐标。
（2）分两种腰的情况讨论：当 时，由 ，结合等腰三角形三线合一可得 ，直接得到 M 点坐标；当 时，先用勾股定理算出 BC 的长度，再由 BM 的长度推算 OM 的长度，得到 M 点坐标。
（1）解：直线交轴于点
，
解得，
，
将直线向下平移4个单位长度，得到的直线，
令，则，解得，
令，则，
，；
（2）解：若时，
，
，
，
若，
，，
，
，
，，
综上，的坐标为或，．
18．某汽车厂去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比统计图如图所示，根据统计图有关信息回答问题：
（1）若第三季度销售汽车3900辆，
①求第三季度的汽车产量；
②若每个季度的汽车生产辆数相同，求四个季度的汽车销售辆数的中位数；
（2）已知该厂去年全年生产汽车20000辆，并通过两个不同渠道获得去年全年的汽车销售辆数分别为16500辆和15500辆的信息，请问哪个数据更有可信度？为什么？
【答案】解：（1）①3900÷78%=5000（辆），
答：第三季度的汽车产量5000辆；
②第一季度：5000×80%=4000（辆），
第二季度：5000×85%=4250（辆），
第四季度：5000×90%=4500（辆），
中位数：（4000+4250）÷2=4125（辆），
答：四个季度的汽车销售辆数的中位数4125辆；
（2）16500更有可信度，
因为去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比最低的第三季度达到78%，故全年的比值必然高于78%，则全年的销售辆数高于15600辆．
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【分析】本题考查折线统计图的解读、百分比计算、中位数求解、数据可信度分析。
（1）① 用第三季度的汽车销量除以该季度销量占产量的百分比，即可得到第三季度的汽车产量。
② 由每季度产量相同，分别用产量乘各季度对应的销售百分比，得到四个季度的销量；将四个数据从小到大排序，取中间两个数的平均值即为中位数。
（2）由统计图可知最低的第三季度销售占比为 78%，因此全年销售占比必然高于 78%，计算全年产量的 78% 对应的销量，对比两个数据即可判断哪个更可信。
19．如图，在中，F是边DC的中点，过点F作，交AB于点E．连接ED、EC，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连接DG．
（1）求证：四边形DECG是平行四边形；
（2）当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．
【答案】（1）解：∵F是边CD的中点，∴DF=CF，
∵CG∥DE，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠DFE=∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE=CG，
又∵CG∥DE，
∴四边形DECG是平行四边形．
（2）证明：∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠FDE．
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF．
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF=CF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC，
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，
∴2∠DEC=180°．
∴∠DEC=90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、角平分线的定义。
（1）由 F 是 CD 中点得 ，结合 推出内错角相等，加上对顶角相等，通过 AAS 证明 ，得到 ；由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判定四边形 DECG 是平行四边形。
（2）由 DE 平分 与 ，可推得 ，由等角对等边得 ，进而推出 ；结合三角形内角和定理可证得 ，再结合四边形 DECG 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明。
（1）解：∵F是边CD的中点，
∴DF=CF，
∵CG∥DE，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠DFE=∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE=CG，
又∵CG∥DE，
∴四边形DECG是平行四边形．
（2）证明：∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠FDE．
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF．
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF=CF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC，
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，
∴2∠DEC=180°．
∴∠DEC=90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形．
20．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示．
（1）填空：______，______；
（2）求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式；
（3）在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案．
【答案】（1）2，6
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【分析】本题以两车相向而行的行程问题为背景，考查了一次函数的应用、待定系数法及分段讨论思想。
（1）根据相遇时甲车行驶路程和速度求时间得m，再加4小时得n。
（2）设相遇后一次函数解析式，代入点(2，240)和(6，0)求表达式。
（3）分别求出相遇前甲车、乙车与B地距离的函数关系，根据两车相距80km列方程，结合自变量范围求解。
（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：2，6；
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为；
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距．
21．【问题原型】
如图1，在正方形中，．求证：．
【问题应用】
如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为　　；
（2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为　　．
【答案】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
[问题应用]（1）；（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；十字架模型；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
[问题应用]（1）解：四边形是正方形，，
，，
，为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
为的中点，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
，，，
在和中，
，
，
，
，
延长到点，使，则，垂直平分，
连接、，则，
，，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【分析】
[问题原型]只需要证明，即可得到对应结论；
[问题应用]（1）先证明，根据全等三角形的性质得到，进一步推导即可证出，即CE垂直DF。接下来根据三角形面积公式可得，结合条件，可以计算出CG的长度，再进一步得到GH的长度，最后利用即可求出四边形的面积；
（2）首先连接AF，证明，根据全等的性质得到，因此可得。接下来延长AB到点K，使得，连接KF和KD，根据对称性可得，因此。根据两点之间线段最短，当D、F、K三点共线时，KF+DF取得最小值，计算此时DK的长度即可得到结果.
22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，BC＝，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，点P、Q同时出发，以QC、QP为邻边作□CQPD．设点P运动的时间为t（秒），□CQPD与△ABC重叠部分的面积为S（平方单位）．
（1）求AB的长；
（2）求PD的长（用含t的代数式表示）；
（3）当点D落在BC上时，求t的值；
（4）求S与t之间的函数关系式（S＞0）．
【答案】（1）∵∠A＝90°，AC＝AB，BC＝，∴△ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，
即2AB2＝（）2，
故AB＝6；
（2）∵四边形CQPD是平行四边形，
∴PD＝CQ＝t；
（3）如图，当D点落在BC上时，
∵四边形CQPD是平行四边形，
∴∠AQP＝∠C＝45°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
故AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝AC﹣CQ＝AB﹣CQ＝6﹣t，
即t＝6﹣t，
解得t＝3；
（4）①当D不在三角形ABC外部时，即0＜t≤3时，如图1所示，
此时S＝CQ AP＝t2，
②当D点在三角形外部时，即3＜t≤6时，如图2所示，令PD交BC于E，
此时平行四边形CQPD与△ABC重叠部分是梯形CEPQ，
∵DP⊥AB，∠B＝45°，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴PE＝PB＝6﹣t，
∴S＝（PE+CQ） AP＝×[（6﹣t）+t] t＝3t，
综上，S与t之间的函数关系式为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、动点问题的分段函数。
（1） 是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，结合 代入 BC 的长度即可求解。
（2）四边形 CQPD 是平行四边形，根据平行四边形对边相等，可得 。
（3）当 D 点落在 BC 上时，可推得 为等腰直角三角形，因此 ；分别用 t 表示 AP 与 AQ 的长度，列方程求解即可。
（4）分两段讨论：当 时，D 点在三角形内部，重叠部分为平行四边形，直接用底乘高计算面积；当 时，D 点在三角形外部，重叠部分为梯形，分别表示出梯形的上下底和高，代入梯形面积公式，最终写成分段函数形式。
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