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广东省深圳市深圳实验学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷
1．五边形的内角和等于(　　)
A．540° B．180° C．360° D．900°
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和公式为，
五边形的边数，
∴代入公式得．
故答案为：A.
【分析】根据n边形的内角和公式为计算即可.
2．如图，△ABC中，∠B=30°，∠BCA=70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α=（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴。
由尺规作图痕迹可知，平分，
∴。
由作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴。
根据三角形外角的性质，。
故答案为：C
【分析】本题综合考查三角形内角和定理、角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质以及三角形外角定理。首先利用三角形内角和为，结合已知的两个内角度数求出的度数；再根据角平分线的作图痕迹得出平分，进而求出的度数；接着依据线段垂直平分线的作图痕迹判断垂直平分，由等边对等角得到与相等，求出的度数；最后利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数。
3．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则DE的长是（　　）
A．9m B．10m C．11m D．20m
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴点、分别为边、的中点，
∴是的中位线。
根据三角形中位线定理，，
已知，代入得。
故答案为：C
【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，先根据给出的线段长度判断出、分别是三角形两条边的中点，由此确定为三角形的中位线；再依据三角形中位线平行于第三边且长度为第三边一半的性质，代入的长度计算出的长度。
4．直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3＞0的解集是（　　）
A．x＜3 B．x≥3 C．x≥-3 D．x≤0
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入直线解析式中，
得，
移项计算得，解得。
将代入不等式，得，
移项得，系数化为1得。
故答案为：A
【分析】本题考查一次函数解析式的待定系数法求解以及一元一次不等式的解法。首先利用待定系数法，将点的坐标代入一次函数表达式，求解出斜率的值；再将代入不等式，通过移项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，注意不等号方向的变化规则，最终得到不等式的解集。
5．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．m2+n2 B．m2-2mn+n2 C．m2-n2 D．-m2-n2
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：平方差公式的形式为，即多项式需为两个整式的平方作差的形式。
选项A：是两个整式的平方和，无法写成平方差的形式，不能用平方差公式分解；
选项B：，符合完全平方公式的结构，不属于平方差公式的应用范畴；
选项C：可看作与的平方差，即，可以用平方差公式分解因式；
选项D：，变形后为平方和的相反数，不满足平方差的结构。
故答案为：C
【分析】本题考查平方差公式分解因式的结构识别，平方差公式的核心特征是多项式可表示为两个数的平方相减的形式。逐一分析各选项：选项A为平方和，不满足作差的要求；选项B是三项式，符合完全平方公式特征；选项C恰好是两个字母的平方差，直接匹配平方差公式；选项D提取负号后仍为平方和，无法应用平方差公式。
6．下列变形中，不正确的是（　　）
A．若a-2=b-2，则a=b B．若-4a=-4b，则a=b
C．若a＜b，则 D．若ac＞bc，则a＞b
【答案】D
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A：依据等式的性质1，等式两边同时加上2，可得，即，变形正确；
选项B：依据等式的性质2，等式两边同时除以（不为0），可得，即，变形正确；
选项C：由于，因此，根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，故，变形正确；
选项D：由于的正负性未知，当时，不等式两边同时除以负数，不等号方向需要改变，此时由应得到，因此该变形不一定成立。
故答案为：D
【分析】本题考查等式的基本性质与不等式的基本性质的辨析。对每个选项逐一验证：选项A利用等式性质1，两侧同加2可推导出；选项B利用等式性质2，两侧同除以非零常数可得到；选项C中恒为正数，依据不等式性质，同除以正数不等号方向不变；选项D未明确的符号，若为负数，除以后不等号方向需反转，因此该变形不恒成立。
7．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（　　）
A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：中心对称图形的定义为：在平面内，把一个图形绕某一点旋转后，旋转后的图形能和原图形完全重合。
分别验证四个区域：
在区域1添加正方形后，绕中心旋转无法与自身重合，不是中心对称图形；
在区域2添加正方形后，旋转后图形无法重合，不是中心对称图形；
在区域3添加正方形后，图形绕对称中心旋转后与原图形完全重合，符合中心对称图形的定义；
在区域4添加正方形后，旋转后图形不重合，不是中心对称图形。
故答案为：C
【分析】本题考查中心对称图形的概念识别，中心对称图形的核心是绕对称中心旋转后与原图重合。依次判断在四个区域添加正方形后的图形特征：区域1、2、4添加后均无法找到对称中心使旋转的图形与原图重合，只有在区域3添加正方形后，新图形满足中心对称图形的判定条件。
8．如图，正方形ABCD的边长为6，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值6；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为.其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，。
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，且，，
∴，，，。
①当为中点时，，结合，，可得，
∴矩形的邻边相等，因此四边形是正方形，结论①正确；
②连接，
∵四边形是矩形，∴对角线。
在和中：
∴（SAS），
∴，结合可得，结论②正确；
③由上述推导知，且矩形中，
∴，
∵正方形边长，∴，为定值，结论③正确；
④∵，∴当取最小值时，取得最小值。
根据垂线段最短，当时，长度最小。
在中，，
由三角形面积公式，，
代入得，解得，
∴的最小值为，结论④正确。
综上，①②③④均正确。
故答案为：D
【分析】本题综合考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及线段最值问题。首先根据正方形的内角特征与垂直条件，判定四边形为矩形，同时得到等腰直角三角形，推导线段等量关系。对于结论①，利用中点条件得到邻边相等，结合矩形判定出正方形；对于结论②，通过连接，先由矩形性质得，再用SAS证明与全等，得到，从而等量代换得；对于结论③，利用等腰直角三角形的等边关系与矩形对边相等，将转化为正方形的边长，得到定值；对于结论④，将的最值转化为的最值，依据垂线段最短找到最小的位置，再用面积法计算出最小长度，即的最小值。
9．分解因式x2-5x的结果是　 　 .
【答案】x（x-5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：观察多项式，两项均含有公因式，
提取公因式可得：。
故答案为：
【分析】本题考查提公因式法分解因式，解题时先识别多项式各项的公因式，本题中两项的公因式为，将公因式提取后，剩余部分写成括号内的差的形式，即可完成因式分解。
10．若分式有意义，则x的取值范围是　 　 .
【答案】x≠4
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义的前提是分母不为0，
因此令分母，
移项得，解得。
故答案为：
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的分母不能为零，据此列出关于的不等式，通过解一元一次不等式得到的取值范围。
11．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=50°，AC平分∠BAD.将四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形AB'C'D'，且∠CAD'=100°，则四边形ABCD旋转的角度是　 　°.
【答案】75
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴。
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，即。
观察图形可得旋转角，
代入数值得，
即四边形旋转的角度为。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质与角平分线的定义，首先利用角平分线的定义，由的度数求出的度数；再根据旋转前后对应角相等，得到与相等；最后通过角的和差关系，用减去，计算出旋转角的度数。
12．如图， ABCD的对角线交于点O，点M、N、P、Q分别是 ABCD四条边上不重合的点.下列条件：①AQ=CN，AM=CP；②MP、NQ均经过点O；③NQ经过点O，AQ=CN.能判定四边形MNPQ是平行四边形的有　 　 （填序号）.
【答案】①②
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：条件①：∵四边形是平行四边形，
∴，，，。
∵，，
∴（SAS），得。
又∵，，∴，，
结合，可得（SAS），得。
∵四边形两组对边分别相等，∴四边形是平行四边形，条件①成立。
条件②：∵四边形是平行四边形，为中心对称图形，对称中心为点，
∵过点，∴；同理过点，则。
∵四边形的对角线互相平分，∴四边形是平行四边形，条件②成立。
条件③：仅过点且，无法确定、的位置关系，不能推出对角线互相平分，也无法证明两组对边相等/平行，因此不能判定四边形是平行四边形，条件③不成立。
故答案为：①②
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质的综合应用，结合平行四边形的中心对称性与全等三角形的判定逐一分析条件。对于条件①，利用平行四边形对边相等、对角相等的性质，结合已知边相等的条件，通过SAS证明两组三角形全等，得到四边形的两组对边分别相等，从而判定为平行四边形；对于条件②，依据平行四边形的中心对称性，过对称中心的线段被对称中心平分，由此得到四边形的对角线互相平分，满足平行四边形的判定定理；对于条件③，缺少关于、的约束条件，无法推导出平行四边形的判定依据。
13．如图，四边形ABCD是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连接BE，ED，DG，GB.记S四边形EFGH=S1，S四边形EDGB=S2，若，则小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为　 　 .
【答案】4
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接、，设与交于点，与交于点，
由题意可知，四边形与四边形均为菱形，且二者共享对角线。
菱形的面积可表示为对角线乘积的一半，因此，。
由，可得。
设，则，
∴，。
∵，∴与等高，面积比等于底边长之比，
即。
又∵，（同底等高），
∴，即，
∴。
结合图形可知，的长度等于小平行四边形长边与短边的差，的长度等于小平行四边形的长边，
因此小平行四边形长边与短边的比值为。
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质、面积公式以及等高三角形面积与底边的比例关系。首先连接两条对角线，利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式，结合面积比推导出两条对角线与的长度比；接着设参数表示两条对角线的长度，通过线段和差求出、的长度；再利用平行线间同底等高三角形面积相等，将面积比转化为线段与的比例关系；最后结合图形中线段与小平行四边形边长的对应关系，计算出长边与短边的比值。
14．解不等式组，把解集表示在数轴上.
【答案】解：不等式组，
由，可得，解得，
由，可得，解得，
∴不等式组的解集为，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，先对第一个不等式去括号、移项合并同类项，求出的取值范围，再对第二个不等式去分母、移项合并同类项，求出的取值范围，取两个范围的公共部分即为不等式组的解集，最后依据“大于向右、小于向左，含等号用实心点、不含等号用空心圈”的规则，将解集标注在数轴上。
15．阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题.
内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”.例如，分解因式4x2-3xy-y2.
方法如下：拆两头，4x2拆为4x，x，-y2拆为y，-y，然后排列如下：.
交叉相乘，积相加得-3xy，凑得中间项，
所以分解为4x2-3xy-y2=（4x+y）（x-y）.
（1）用因式分解法解方程4x2-5x+1=0.
（2）内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚.
他把“◆”猜成5，请你解方程：；
（3）在（2）的条件下，他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几？
【答案】（1），
，
或，
所以，；
解：，x2=1
（2）解：
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为；
（3）解：设原题中“◆”是，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】（1）本小问考查十字相乘法分解因式及解一元二次方程，参照材料中的十字交叉方法，将二次项拆分为两个一次项，常数项1拆分为两个常数，交叉相乘后凑出一次项，将多项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式分别为0，求解得到方程的两个根；
（2）本小问考查分式方程的求解，先将方程右侧的分母变形为，再给方程两边同乘最简公分母去分母，转化为一元一次方程，求解得到的值后，代入公分母检验是否为0，确认解的有效性；
（3）本小问考查分式方程无解的条件，先设不清楚的数字为参数，按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，分式方程无解意味着解为增根，即令分母为0的，将代入整式方程，计算即可得到参数的值。
16．如图，三角形ABC的三个顶点都在小正方形的格点上.将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到三角形DEF，其中点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F.
（1）在图中画出三角形DEF；
（2）直接写出D、E、F的坐标：
D　 　，　 　；E　 　，　 　；F　 　，　 　；
（3）三角形DEF的面积为　 　.
【答案】（1）解：作图如下：
（2）2；6；0；2；6；3
（3）11
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由（1）得
（3）由（1）得．
【分析】（1）本小问考查图形的平移作图，根据平移规则，分别将点、、的横坐标加4、纵坐标加3，得到对应点、、的坐标，在坐标系中描出三个点后，顺次连接即可得到平移后的三角形；
（2）本小问考查平移的坐标变化规律，依据“向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加”的规则，结合原三角形各顶点的坐标，分别计算出三个对应点的横、纵坐标；
（3）本小问考查格点三角形的面积计算，采用割补法，用包含三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，通过有理数的运算得到的面积，平移前后图形面积不变，也可直接计算原三角形面积得到结果。
17．年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进，两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍．
（1）求，两种吉祥物的单价各是多少元？
（2）世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进，两种吉祥物共个，已知，两种吉祥物的进价不变求种吉祥物最多能购进多少个？
【答案】（1）解：元．
设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元；
（2）解：设购进个种吉祥物，则购进个种吉祥物，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：种吉祥物最多能购进个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1） 设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，根据题意列出分式方程，即可求解；
（2）设购进个种吉祥物，则购进个种吉祥物， 根据题意得出一元一次不等式，求得整数解，即可．
18．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E=30°.
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF=2，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）本小问考查等边三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质，由垂直平分得到，判定为等腰三角形；再由得到直角，结合，利用直角三角形两锐角互余求出，最后根据“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”完成证明；
（2）本小问考查等边三角形的性质与含30°角的直角三角形的性质，先在中，由等边三角形内角为得到，依据30°角对的直角边是斜边一半求出的长度，结合得到的长，即等边三角形的边长；再求出的长度，最后在中，利用30°角对的直角边是斜边一半，由的长度计算出的长度。
19．已知菱形纸片ABCD的边长为8，∠A=60°，E为AB边上的点，过点E作EF∥BD交AD于点F.将菱形先沿EF按图1所示方式折叠，点A落在点A'处，过点A'作GH∥BD分别交线段BC、DC于点G、H，再将菱形沿GH按图1所示方式折叠，点C落在点C'处，C'G与C'H分别交A'E与A'F于点M、N.若点C'在△A'EF的内部或边上，此时我们称四边形A'MC'N（即图中阴影部分）为“重叠四边形”.
（1）若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上.如图2所示，此时重叠四边形A'MC'N的面积为　 　；
（2）实验探究：设AE的长为m，若重叠四边形A'MC'N存在.试用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）.
【答案】（1）
（2）解：重叠四边形A'MC'N的面积为；m的取值范围为
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）根据题意得：∠A'=∠C'=60°，∠C'MA'=∠C'NA'=120°，
∴四边形A'MC'N是平行四边形，
∵A'M=C'M，
∴四边形A'MC'N是菱形，
∵A'M=2，∠A'=60°，
∴MN=2，A'C'=2，
∴重叠四边形A'MC'N的面积为：MN A'C'=×2×2=2；
（2）根据题意得：BE∥GM，BC∥A'E，
∴四边形BEMG是平行四边形，
∴GM=BE，
∵∠MGA'=∠A'MG=60°，
∴△A'GM是等边三角形，
∴A'M=GM=BE，
∵AE=m，则A'M=8-m，
由（1）得：MN=8-m，A'C'=（8-m），
∴用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积为(8 m)2；
∴m的取值范围为≤m＜8．
【分析】（1）本小问考查折叠的性质与菱形的面积计算，先根据折叠前后对应角相等，得到，结合平行线的性质推导四边形的内角，判定重叠四边形为菱形；再结合网格得出菱形的边长，由边长和内角求出两条对角线的长度，利用“菱形面积等于对角线乘积的一半”计算出重叠四边形的面积；
（2）本小问考查折叠的性质与菱形面积的代数表示，先由平行线与折叠的性质，判定四边形为平行四边形，得到，再结合等边三角形的判定得到，从而用含的式子表示出重叠菱形的边长；参照第一问的面积计算方法，用边长表示出菱形的面积；最后根据在内部或边上的限制条件，建立不等式求解，得到的取值范围。
20．综合与探究：如图，直线与直线交于点A（4，m），直线l2与x轴交于点B（n，0），点C从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿BO向终点O运动，作CM⊥x轴，交折线OA-AB于点M，作DN⊥x轴，交折线BA-AO于点N，设运动时间为t.
（1）求A，B点的坐标；
（2）在点C，点D运动过程中，
①当点M，N分别在OA，AB上时，求证四边形CMND是矩形；
②在点C，点D的整个运动过程中，当四边形CMND是正方形时，请你直接写出t的值；
（3）点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：已知直线与直线交于点，直线与轴交于点，
∴当时，，则，
当时，，，则，
∴，．
（2）解：①如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
由点的运动可知，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
②t的值为或．
（3）解：点P的坐标为（9，3）或（4，-3）或．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（2）②第一种情况，当点分别在上时，若四边形是正方形，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
第二种情况，当分别在上时，如图，同理可证四边形是矩形，
若四边形是正方形，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
综上，的值为或．
（3）解：存在，理由如下：
若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可，
第一种情况，当时，，且，如图所示，
∵且，
∴；
第二种情况，当时，点与点重合，，此时点与点关于轴对称，如图所示，
∴；
第三种情况，当，点在线段的垂直平分线上，设交于点，过点作轴于点，如图所示，
∴，，，
∴在中，，解得，
∴，此时，且，，
∴，
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）本小问考查一次函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入直线的解析式，计算得到纵坐标的值，确定点的坐标；将点的纵坐标0代入直线的解析式，求解得到横坐标的值，确定点的坐标；
（2）①本小问考查矩形的判定，先过点作x轴的垂线，利用勾股定理计算与的长度，判定为等腰三角形，得到底角相等；再由运动速度相同得到，结合垂直条件得到直角相等，用ASA证明，得到，结合判定四边形为平行四边形，最后依据有一个角为直角的平行四边形是矩形完成证明；②本小问考查正方形的性质与动点问题，分两种情况讨论：第一种是在上、在上时，用含的式子分别表示出与的长度，根据正方形邻边相等列方程求解；第二种是在上、在上时，同理表示出与的长度，列方程求解，最终得到两个符合条件的值；
（3）本小问考查菱形的判定与分类讨论思想，以、、为顶点构成等腰三角形时，可与点组成菱形，分三种情况讨论：当时，确定点坐标，结合平行四边形对边平移规律得到点坐标；当时，点与点重合，利用对称性得到点坐标；当时，设点坐标为参数，利用勾股定理列方程求出参数，再结合平移规律得到点坐标。
1 / 1广东省深圳市深圳实验学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷
1．五边形的内角和等于(　　)
A．540° B．180° C．360° D．900°
2．如图，△ABC中，∠B=30°，∠BCA=70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α=（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
3．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则DE的长是（　　）
A．9m B．10m C．11m D．20m
4．直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3＞0的解集是（　　）
A．x＜3 B．x≥3 C．x≥-3 D．x≤0
5．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．m2+n2 B．m2-2mn+n2 C．m2-n2 D．-m2-n2
6．下列变形中，不正确的是（　　）
A．若a-2=b-2，则a=b B．若-4a=-4b，则a=b
C．若a＜b，则 D．若ac＞bc，则a＞b
7．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（　　）
A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处
8．如图，正方形ABCD的边长为6，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值6；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为.其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
9．分解因式x2-5x的结果是　 　 .
10．若分式有意义，则x的取值范围是　 　 .
11．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=50°，AC平分∠BAD.将四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形AB'C'D'，且∠CAD'=100°，则四边形ABCD旋转的角度是　 　°.
12．如图， ABCD的对角线交于点O，点M、N、P、Q分别是 ABCD四条边上不重合的点.下列条件：①AQ=CN，AM=CP；②MP、NQ均经过点O；③NQ经过点O，AQ=CN.能判定四边形MNPQ是平行四边形的有　 　 （填序号）.
13．如图，四边形ABCD是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连接BE，ED，DG，GB.记S四边形EFGH=S1，S四边形EDGB=S2，若，则小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为　 　 .
14．解不等式组，把解集表示在数轴上.
15．阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题.
内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”.例如，分解因式4x2-3xy-y2.
方法如下：拆两头，4x2拆为4x，x，-y2拆为y，-y，然后排列如下：.
交叉相乘，积相加得-3xy，凑得中间项，
所以分解为4x2-3xy-y2=（4x+y）（x-y）.
（1）用因式分解法解方程4x2-5x+1=0.
（2）内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚.
他把“◆”猜成5，请你解方程：；
（3）在（2）的条件下，他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几？
16．如图，三角形ABC的三个顶点都在小正方形的格点上.将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到三角形DEF，其中点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F.
（1）在图中画出三角形DEF；
（2）直接写出D、E、F的坐标：
D　 　，　 　；E　 　，　 　；F　 　，　 　；
（3）三角形DEF的面积为　 　.
17．年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进，两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍．
（1）求，两种吉祥物的单价各是多少元？
（2）世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进，两种吉祥物共个，已知，两种吉祥物的进价不变求种吉祥物最多能购进多少个？
18．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E=30°.
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF=2，求AE的长.
19．已知菱形纸片ABCD的边长为8，∠A=60°，E为AB边上的点，过点E作EF∥BD交AD于点F.将菱形先沿EF按图1所示方式折叠，点A落在点A'处，过点A'作GH∥BD分别交线段BC、DC于点G、H，再将菱形沿GH按图1所示方式折叠，点C落在点C'处，C'G与C'H分别交A'E与A'F于点M、N.若点C'在△A'EF的内部或边上，此时我们称四边形A'MC'N（即图中阴影部分）为“重叠四边形”.
（1）若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上.如图2所示，此时重叠四边形A'MC'N的面积为　 　；
（2）实验探究：设AE的长为m，若重叠四边形A'MC'N存在.试用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）.
20．综合与探究：如图，直线与直线交于点A（4，m），直线l2与x轴交于点B（n，0），点C从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿BO向终点O运动，作CM⊥x轴，交折线OA-AB于点M，作DN⊥x轴，交折线BA-AO于点N，设运动时间为t.
（1）求A，B点的坐标；
（2）在点C，点D运动过程中，
①当点M，N分别在OA，AB上时，求证四边形CMND是矩形；
②在点C，点D的整个运动过程中，当四边形CMND是正方形时，请你直接写出t的值；
（3）点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和公式为，
五边形的边数，
∴代入公式得．
故答案为：A.
【分析】根据n边形的内角和公式为计算即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴。
由尺规作图痕迹可知，平分，
∴。
由作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴。
根据三角形外角的性质，。
故答案为：C
【分析】本题综合考查三角形内角和定理、角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质以及三角形外角定理。首先利用三角形内角和为，结合已知的两个内角度数求出的度数；再根据角平分线的作图痕迹得出平分，进而求出的度数；接着依据线段垂直平分线的作图痕迹判断垂直平分，由等边对等角得到与相等，求出的度数；最后利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数。
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴点、分别为边、的中点，
∴是的中位线。
根据三角形中位线定理，，
已知，代入得。
故答案为：C
【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，先根据给出的线段长度判断出、分别是三角形两条边的中点，由此确定为三角形的中位线；再依据三角形中位线平行于第三边且长度为第三边一半的性质，代入的长度计算出的长度。
4．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入直线解析式中，
得，
移项计算得，解得。
将代入不等式，得，
移项得，系数化为1得。
故答案为：A
【分析】本题考查一次函数解析式的待定系数法求解以及一元一次不等式的解法。首先利用待定系数法，将点的坐标代入一次函数表达式，求解出斜率的值；再将代入不等式，通过移项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，注意不等号方向的变化规则，最终得到不等式的解集。
5．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：平方差公式的形式为，即多项式需为两个整式的平方作差的形式。
选项A：是两个整式的平方和，无法写成平方差的形式，不能用平方差公式分解；
选项B：，符合完全平方公式的结构，不属于平方差公式的应用范畴；
选项C：可看作与的平方差，即，可以用平方差公式分解因式；
选项D：，变形后为平方和的相反数，不满足平方差的结构。
故答案为：C
【分析】本题考查平方差公式分解因式的结构识别，平方差公式的核心特征是多项式可表示为两个数的平方相减的形式。逐一分析各选项：选项A为平方和，不满足作差的要求；选项B是三项式，符合完全平方公式特征；选项C恰好是两个字母的平方差，直接匹配平方差公式；选项D提取负号后仍为平方和，无法应用平方差公式。
6．【答案】D
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A：依据等式的性质1，等式两边同时加上2，可得，即，变形正确；
选项B：依据等式的性质2，等式两边同时除以（不为0），可得，即，变形正确；
选项C：由于，因此，根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，故，变形正确；
选项D：由于的正负性未知，当时，不等式两边同时除以负数，不等号方向需要改变，此时由应得到，因此该变形不一定成立。
故答案为：D
【分析】本题考查等式的基本性质与不等式的基本性质的辨析。对每个选项逐一验证：选项A利用等式性质1，两侧同加2可推导出；选项B利用等式性质2，两侧同除以非零常数可得到；选项C中恒为正数，依据不等式性质，同除以正数不等号方向不变；选项D未明确的符号，若为负数，除以后不等号方向需反转，因此该变形不恒成立。
7．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：中心对称图形的定义为：在平面内，把一个图形绕某一点旋转后，旋转后的图形能和原图形完全重合。
分别验证四个区域：
在区域1添加正方形后，绕中心旋转无法与自身重合，不是中心对称图形；
在区域2添加正方形后，旋转后图形无法重合，不是中心对称图形；
在区域3添加正方形后，图形绕对称中心旋转后与原图形完全重合，符合中心对称图形的定义；
在区域4添加正方形后，旋转后图形不重合，不是中心对称图形。
故答案为：C
【分析】本题考查中心对称图形的概念识别，中心对称图形的核心是绕对称中心旋转后与原图重合。依次判断在四个区域添加正方形后的图形特征：区域1、2、4添加后均无法找到对称中心使旋转的图形与原图重合，只有在区域3添加正方形后，新图形满足中心对称图形的判定条件。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，。
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，且，，
∴，，，。
①当为中点时，，结合，，可得，
∴矩形的邻边相等，因此四边形是正方形，结论①正确；
②连接，
∵四边形是矩形，∴对角线。
在和中：
∴（SAS），
∴，结合可得，结论②正确；
③由上述推导知，且矩形中，
∴，
∵正方形边长，∴，为定值，结论③正确；
④∵，∴当取最小值时，取得最小值。
根据垂线段最短，当时，长度最小。
在中，，
由三角形面积公式，，
代入得，解得，
∴的最小值为，结论④正确。
综上，①②③④均正确。
故答案为：D
【分析】本题综合考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及线段最值问题。首先根据正方形的内角特征与垂直条件，判定四边形为矩形，同时得到等腰直角三角形，推导线段等量关系。对于结论①，利用中点条件得到邻边相等，结合矩形判定出正方形；对于结论②，通过连接，先由矩形性质得，再用SAS证明与全等，得到，从而等量代换得；对于结论③，利用等腰直角三角形的等边关系与矩形对边相等，将转化为正方形的边长，得到定值；对于结论④，将的最值转化为的最值，依据垂线段最短找到最小的位置，再用面积法计算出最小长度，即的最小值。
9．【答案】x（x-5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：观察多项式，两项均含有公因式，
提取公因式可得：。
故答案为：
【分析】本题考查提公因式法分解因式，解题时先识别多项式各项的公因式，本题中两项的公因式为，将公因式提取后，剩余部分写成括号内的差的形式，即可完成因式分解。
10．【答案】x≠4
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义的前提是分母不为0，
因此令分母，
移项得，解得。
故答案为：
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的分母不能为零，据此列出关于的不等式，通过解一元一次不等式得到的取值范围。
11．【答案】75
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴。
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，即。
观察图形可得旋转角，
代入数值得，
即四边形旋转的角度为。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质与角平分线的定义，首先利用角平分线的定义，由的度数求出的度数；再根据旋转前后对应角相等，得到与相等；最后通过角的和差关系，用减去，计算出旋转角的度数。
12．【答案】①②
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：条件①：∵四边形是平行四边形，
∴，，，。
∵，，
∴（SAS），得。
又∵，，∴，，
结合，可得（SAS），得。
∵四边形两组对边分别相等，∴四边形是平行四边形，条件①成立。
条件②：∵四边形是平行四边形，为中心对称图形，对称中心为点，
∵过点，∴；同理过点，则。
∵四边形的对角线互相平分，∴四边形是平行四边形，条件②成立。
条件③：仅过点且，无法确定、的位置关系，不能推出对角线互相平分，也无法证明两组对边相等/平行，因此不能判定四边形是平行四边形，条件③不成立。
故答案为：①②
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质的综合应用，结合平行四边形的中心对称性与全等三角形的判定逐一分析条件。对于条件①，利用平行四边形对边相等、对角相等的性质，结合已知边相等的条件，通过SAS证明两组三角形全等，得到四边形的两组对边分别相等，从而判定为平行四边形；对于条件②，依据平行四边形的中心对称性，过对称中心的线段被对称中心平分，由此得到四边形的对角线互相平分，满足平行四边形的判定定理；对于条件③，缺少关于、的约束条件，无法推导出平行四边形的判定依据。
13．【答案】4
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接、，设与交于点，与交于点，
由题意可知，四边形与四边形均为菱形，且二者共享对角线。
菱形的面积可表示为对角线乘积的一半，因此，。
由，可得。
设，则，
∴，。
∵，∴与等高，面积比等于底边长之比，
即。
又∵，（同底等高），
∴，即，
∴。
结合图形可知，的长度等于小平行四边形长边与短边的差，的长度等于小平行四边形的长边，
因此小平行四边形长边与短边的比值为。
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质、面积公式以及等高三角形面积与底边的比例关系。首先连接两条对角线，利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式，结合面积比推导出两条对角线与的长度比；接着设参数表示两条对角线的长度，通过线段和差求出、的长度；再利用平行线间同底等高三角形面积相等，将面积比转化为线段与的比例关系；最后结合图形中线段与小平行四边形边长的对应关系，计算出长边与短边的比值。
14．【答案】解：不等式组，
由，可得，解得，
由，可得，解得，
∴不等式组的解集为，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，先对第一个不等式去括号、移项合并同类项，求出的取值范围，再对第二个不等式去分母、移项合并同类项，求出的取值范围，取两个范围的公共部分即为不等式组的解集，最后依据“大于向右、小于向左，含等号用实心点、不含等号用空心圈”的规则，将解集标注在数轴上。
15．【答案】（1），
，
或，
所以，；
解：，x2=1
（2）解：
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为；
（3）解：设原题中“◆”是，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】（1）本小问考查十字相乘法分解因式及解一元二次方程，参照材料中的十字交叉方法，将二次项拆分为两个一次项，常数项1拆分为两个常数，交叉相乘后凑出一次项，将多项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式分别为0，求解得到方程的两个根；
（2）本小问考查分式方程的求解，先将方程右侧的分母变形为，再给方程两边同乘最简公分母去分母，转化为一元一次方程，求解得到的值后，代入公分母检验是否为0，确认解的有效性；
（3）本小问考查分式方程无解的条件，先设不清楚的数字为参数，按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，分式方程无解意味着解为增根，即令分母为0的，将代入整式方程，计算即可得到参数的值。
16．【答案】（1）解：作图如下：
（2）2；6；0；2；6；3
（3）11
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由（1）得
（3）由（1）得．
【分析】（1）本小问考查图形的平移作图，根据平移规则，分别将点、、的横坐标加4、纵坐标加3，得到对应点、、的坐标，在坐标系中描出三个点后，顺次连接即可得到平移后的三角形；
（2）本小问考查平移的坐标变化规律，依据“向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加”的规则，结合原三角形各顶点的坐标，分别计算出三个对应点的横、纵坐标；
（3）本小问考查格点三角形的面积计算，采用割补法，用包含三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，通过有理数的运算得到的面积，平移前后图形面积不变，也可直接计算原三角形面积得到结果。
17．【答案】（1）解：元．
设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元；
（2）解：设购进个种吉祥物，则购进个种吉祥物，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：种吉祥物最多能购进个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1） 设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，根据题意列出分式方程，即可求解；
（2）设购进个种吉祥物，则购进个种吉祥物， 根据题意得出一元一次不等式，求得整数解，即可．
18．【答案】（1）证明：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）本小问考查等边三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质，由垂直平分得到，判定为等腰三角形；再由得到直角，结合，利用直角三角形两锐角互余求出，最后根据“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”完成证明；
（2）本小问考查等边三角形的性质与含30°角的直角三角形的性质，先在中，由等边三角形内角为得到，依据30°角对的直角边是斜边一半求出的长度，结合得到的长，即等边三角形的边长；再求出的长度，最后在中，利用30°角对的直角边是斜边一半，由的长度计算出的长度。
19．【答案】（1）
（2）解：重叠四边形A'MC'N的面积为；m的取值范围为
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）根据题意得：∠A'=∠C'=60°，∠C'MA'=∠C'NA'=120°，
∴四边形A'MC'N是平行四边形，
∵A'M=C'M，
∴四边形A'MC'N是菱形，
∵A'M=2，∠A'=60°，
∴MN=2，A'C'=2，
∴重叠四边形A'MC'N的面积为：MN A'C'=×2×2=2；
（2）根据题意得：BE∥GM，BC∥A'E，
∴四边形BEMG是平行四边形，
∴GM=BE，
∵∠MGA'=∠A'MG=60°，
∴△A'GM是等边三角形，
∴A'M=GM=BE，
∵AE=m，则A'M=8-m，
由（1）得：MN=8-m，A'C'=（8-m），
∴用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积为(8 m)2；
∴m的取值范围为≤m＜8．
【分析】（1）本小问考查折叠的性质与菱形的面积计算，先根据折叠前后对应角相等，得到，结合平行线的性质推导四边形的内角，判定重叠四边形为菱形；再结合网格得出菱形的边长，由边长和内角求出两条对角线的长度，利用“菱形面积等于对角线乘积的一半”计算出重叠四边形的面积；
（2）本小问考查折叠的性质与菱形面积的代数表示，先由平行线与折叠的性质，判定四边形为平行四边形，得到，再结合等边三角形的判定得到，从而用含的式子表示出重叠菱形的边长；参照第一问的面积计算方法，用边长表示出菱形的面积；最后根据在内部或边上的限制条件，建立不等式求解，得到的取值范围。
20．【答案】（1）解：已知直线与直线交于点，直线与轴交于点，
∴当时，，则，
当时，，，则，
∴，．
（2）解：①如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
由点的运动可知，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
②t的值为或．
（3）解：点P的坐标为（9，3）或（4，-3）或．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（2）②第一种情况，当点分别在上时，若四边形是正方形，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
第二种情况，当分别在上时，如图，同理可证四边形是矩形，
若四边形是正方形，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
综上，的值为或．
（3）解：存在，理由如下：
若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可，
第一种情况，当时，，且，如图所示，
∵且，
∴；
第二种情况，当时，点与点重合，，此时点与点关于轴对称，如图所示，
∴；
第三种情况，当，点在线段的垂直平分线上，设交于点，过点作轴于点，如图所示，
∴，，，
∴在中，，解得，
∴，此时，且，，
∴，
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）本小问考查一次函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入直线的解析式，计算得到纵坐标的值，确定点的坐标；将点的纵坐标0代入直线的解析式，求解得到横坐标的值，确定点的坐标；
（2）①本小问考查矩形的判定，先过点作x轴的垂线，利用勾股定理计算与的长度，判定为等腰三角形，得到底角相等；再由运动速度相同得到，结合垂直条件得到直角相等，用ASA证明，得到，结合判定四边形为平行四边形，最后依据有一个角为直角的平行四边形是矩形完成证明；②本小问考查正方形的性质与动点问题，分两种情况讨论：第一种是在上、在上时，用含的式子分别表示出与的长度，根据正方形邻边相等列方程求解；第二种是在上、在上时，同理表示出与的长度，列方程求解，最终得到两个符合条件的值；
（3）本小问考查菱形的判定与分类讨论思想，以、、为顶点构成等腰三角形时，可与点组成菱形，分三种情况讨论：当时，确定点坐标，结合平行四边形对边平移规律得到点坐标；当时，点与点重合，利用对称性得到点坐标；当时，设点坐标为参数，利用勾股定理列方程求出参数，再结合平移规律得到点坐标。
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