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广东省深圳市光明区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1．下列图案中，是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．不等式a-5≥0的解集为(　　)
A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5
3．解分式方程去分母时可在等式两侧同乘(　　)
A．2 B．2x C．(x+2) D．(x-1)
4．已知平面直角坐标系中点A(3，1)，将点A向右平移2个单位长度到点A'，则A'的坐标为(　　)
A．(1，1) B．(5，1) C．(3，3) D．(3，-1)
5．正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数是(　　)
A．九 B．十 C．十一 D．十二
6．已知多项式因式分解后是(x-1)(x+m)，则m的值为(　　)
A．-4 B．-5 C．4 D．5
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，由它三条中位线所组成的△DEF一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
8．把△ABC沿长方形ABCD对角线AC折叠得到△AB'C，B'C与AD交于点O，延长AB'、CD交于点E。若∠E=50°，则∠OAC的度数为(　　)
A．20° B．25° C．30° D．40°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．分解因式：ma-mb=　 　。
10．若代数式的值为0，则x=　 　。
11．在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)。将点A绕坐标原点旋转180°得到点A'。点A'的坐标为　 　。
12．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AC，BD，BC的中点，若EF=5，GH=　 　。
13．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，∠B=60°。连接AC，若AD=2，，则BC=　 　。
三、计算题：本大题共3小题，共24分。
14．
（1）解不等式2x+1<-x+4，并把它的解集表示在数轴上；
（2）解不等式组：
15．先化简，再求值：其中a=3。
16．某商户预测某款盲盒能畅销市场，就用8000元购进这种盲盒，果然供不应求.该商户又用17600元购进了第二批这种盲盒，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元。
（1）第一批购进盲盒的数量为多少？
（2）第一批盲盒每个售价为58元，若两批盲盒的总利润不少于11600元，则第二批盲盒每个售价至少为多少元？(利润=售价-进价)。
四、解答题：本题共4小题，共37分。
17．如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠EDB=30°，EB=3，求AE的长。
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线交AD于点E。
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线交AD于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在⑴的基础上，证明：AF=DE。
19．综合与探究：
【定义】在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，当x≥0时有点Q(x，y+2)，当x<0时有点Q(x，y-2)，则称点Q是点P的“跃迁点”。
（1）【应用】①点(0，-1)的“跃迁点”坐标为　 　；点(-3，2)的“跃迁点”坐标为　 　；
②若点M(1，4)是点N的“跃迁点”，则N的坐标为　 　；
（2）【探究】已知点P(x，y)在某函数图象上，对于任意实数x，点P的“跃迁点”Q的图象如图所示。当x≥0时，点Q在直线y=2x-1上，当x<0时，点Q在直线y=-x+3上，求点P所在函数的表达式；
（3）【拓展】在⑵的条件下，若直线y=m与点P所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出m的取值范围。
20．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(2，)，C(0，2)，点B在第一象限，点D在y轴的负半轴上，∠ABC=30°，边AD交x轴于点M。△OEF是直角三角形，∠OEF=90°，∠EOF=30°，已知点E(-3，0)，点F在第二象限。
（1）如图1，点F的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）将△OEF沿x轴方向向右平移到△O'E'F'，点O，E，F的对应点分别为O'，E'，F'。设OO'=a。
①若a取合适的值，使得△O'E'F'与平行四边形ABCD的重合部分始终为四边形，其中边O'F'与边CD交于点G，与边AD交于点N，如图2当a=2时，O'N=（　　）；S四边形OMNG=（　　）；
②在①的条件下，试用含a的式子表示线段O'N的长；
（3）在⑵的条件下，若平面上存在点Q，使得以点B、C、O'、Q为顶点可以构成平行四边形，已知O'C=4，请直接写出点Q的坐标。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：a-5≥0
移项可得，x≥5
故答案为：D
【分析】解不等式即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2=3+2x
故答案为：B
【分析】根据等式的性质，结合去分母法则即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A(3，1)，将点A向右平移2个单位长度到点A'，则A'的坐标为(5，1)
故答案为：B
【分析】根据点的平移性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360÷30=12
故答案为：D
【分析】根据正多边形外角和性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
=(x-1)(x-4)
∴m=-4
故答案为：A
【分析】根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE，EF为三角形的中位线
∴DE∥BC，DE=，EF∥AC，
∵△ABC是等腰直角三角形
∴△DEF为等腰直角三角形
故答案为：A
【分析】根据三角形中位线定理，结合等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得：∠CAE=∠CAB
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，DC∥AB
∴∠E+∠EAB=180°，∠ACD=∠BAC
∵∠E=50°
∴∠EAB=130°
∴∠CAE+∠CAB=130°
∴∠CAB=65°
∴∠ACD=65°
∴∠OAC=90°-65°=25°
故答案为：B
【分析】根据折叠性质可得∠CAE=∠CAB，根据矩形性质可得∠ADC=90°，DC∥AB，则∠E+∠EAB=180°，∠ACD=∠BAC，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．【答案】m(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ma-mb=m(a-b)
故答案为：m(a-b)
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵代数式的值为0
∴x=0
故答案为：0
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
11．【答案】(-2，-1)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A(2，1)，将点A绕坐标原点旋转180°得到点A'
∴点A'的坐标为(-2，-1)
故答案为：(-2，-1)
【分析】根据旋转性质，结合关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是AD，AC，BD，BC的中点
∴
∴GH=EF=5
故答案为：5
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BE于点E，AF⊥CD，交CD的延长线于点F，则四边形AECF为矩形
∴AF=EC，AE=CF
在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，∠B=60°
∴∠ADC=120°
∴∠DAF=∠ADC-∠F=120°-90°=30°
∴
∴
在Rt△ABE中，∠B=60°
∴∠BAE=30°
∴AB=2BE
∵AB2-BE2=AE2，即(2BE)2-BE2=
解得：BE=2
∴BE=BE+EC=
故答案为：
【分析】过点A作AE⊥BE于点E，AF⊥CD，交CD的延长线于点F，则四边形AECF为矩形，根据矩形性质可得AF=EC，AE=CF，根据四边形内角和定理可得∠ADC，根据三角形外角性质可得∠DAF，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据勾股定理可得AF，CF，再根据勾股定理建立方程，解方程可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）解：2x+1<-x+4
移项，合并同类项可得，3x<3
系数化为1可得，x<1；
将解集在数轴上表示如下：
（2）解：
解不等式①可得：x<2
解不等式②可得：x≥0.5
∴不等式组的解集为：0.5≤x<2
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
15．【答案】解：
=
=
=a-2
当a=3时，原式=3-2=1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：设第一批购进x个盲盒，则第二批购进2x个盲盒
由题意可得：
解得：x=200
∴第一批购进200个盲盒
（2）解：设第二批盲盒每个售价为y元，
根据题意得：58×200+200×2y-(8000+17600)≥11600
解得：y≥64
∴y的最小值为64.
答：第二批盲盒每个售价至少为64元.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一批购进x个盲盒，则第二批购进2x个盲盒，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设第二批盲盒每个售价为y元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵点 D在∠A的平分线上， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵点 D是△ABC的边 BC的中点，
∴BD=CD，
在 Rt△ABD与 Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：连接AD
∵△ABC是等腰三角形，点D是△ABC的边BC的中点
∴AD⊥BC
∵DE⊥AB
∴∠DEB=∠ADB=90°
∵∠BDE=30°，BE=3
∴∠B=60°，BD=2BE=6
∴∠BAD=30°
∴AB=2BD=12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得DE=DF，根据三角形中点可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ，则∠B=∠C，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图

（2）证明： ∵CE为∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE.
∵BF 为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF.
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE， ∠AFB=∠CBF，
∴∠DCE=∠DEC， ∠ABF=∠AFB，
∴DE=CD， AB=AF，
∴AF=DE
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠BCE=∠DCE，∠ABF=∠CBF，再根据平行四边形性质可得AB=CD，AD∥BC，则∠DEC=∠BCE，∠AFB=∠CBF，即∠DCE=∠DEC， ∠ABF=∠AFB，再根据等角对等边可得DE=CD，AB=AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）(0，1)；(-3，0)；(1，2)
（2）解：当x≥0时，点Q的坐标为(x，y+2)
∵Q在直线y=2x-1上
∴y+2=2x-1，即y=2x-3
当x<0时，点Q的坐标为(x，y-2)
∵Q在直线y=-x+3上
∴y-2=-x+3，即y=-x+5
综上所述，
（3）m>5
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：
点(0，-1)的“跃迁点”坐标为(0，1)；点(-3，2)的“跃迁点”坐标为(-3，0)
②设点N的坐标为(1，y)
由题意可得：y+2=4，解得：y=2
∴N的坐标为(1，2)
故答案为：(0，1)；(-3，0)；(1，2)
（3）点P的函数图象如图所示：
∵直线y=m与点P所在的函数图象有且只有两个交点
∴m>5
【分析】（1）根据跃迁点的定义计算即可求出答案.
（2）分情况讨论，求出点Q的坐标，再代入解析式，化简即可求出答案.
（3）做出点P的函数图象，结合图象信息进行分析判断即可求出答案.
20．【答案】（1）；
（2）①
②解：当05时，边O'F'与边AD不相交
当1≤a≤5时，边O'F'与边AD相交于点N，则O'M=a-1
∵∠O'NM=90°，∠MO'N=30°
∴
∴
∴O'N的长为
（3）点Q的坐标为(0，6) 或(或
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点E(-3，0)
∴OE=3
∵△OEF是直角三角形，∠OEF=90°，∠EOF=30°
∴OF=2EF，EF2+OE2=OF2
∴EF2+32=(2EF)2
解得：EF=
∴F
过点A作AH⊥y轴于点H，过点C作CK⊥AB于点K
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
∵CK⊥AB
∴∠BKC=∠AKC=90°
∴∠HCK=∠BKC=90°
∵AH⊥y轴
∴∠AHC=∠AHD=90°
∴∠AHC=∠HCK=∠AKC=90°
∴CK=AH=2
∵∠ABC=30°
∴BC=2CK=4
∴
∵A(2，)，C(0，2)
∴
∴
∴B
故答案为：；
（2）①当a=2时，O'(2，0)，OO'=2，∠E'O'F'=∠EOF=30°
∵
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ADC=∠ABC=30°
∵∠DOM=90°
∴DM=2OM
∵OM2+OD2=DM2，即
解得：OM=1
∴O'M=OO'-OM=1
∵∠ADC=∠E'O'F'=30°
∴∠DGN=90°-∠E'O'F'=90°
∴∠MNO'=∠ADC+∠DGN=90°
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∴
故答案为：
（3）∵
∴
∴O'(2，0)
设Q(x，y)，
∵B，C(0，2)
当BC为对角线时，
解得：
∴Q(0，6)
当O'B为对角线时，
解得：
∴Q
当O'C为对角线时，
解得：
∴
综上所述，点Q的坐标为(0，6) 或(或
【分析】（1）根据两点间距离可得OE，根据含30°角的直角三角形性质可得OF，根据勾股定理建立方程，解方程可得EF，再根据点的坐标可得点F，过点A作AH⊥y轴于点H，过点C作CK⊥AB于点K，根据平行四边形性质可得AB=CD，AB∥CD，根据角之间的关系可得∠AHC=∠HCK=∠AKC=90°，根据含30°角的直角三角形可得BC，根据勾股定理可得BK，根据两点间距离可得AK，CH，根据边之间的关系可得AB，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）①当a=2时，O'(2，0)，OO'=2，∠E'O'F'=∠EOF=30°，根据边之间的关系可得CD，根据点的坐标可得，根据两点间距离可得OD，再根据平行四边形性质可得∠ADC=∠ABC=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得DM=2OM，根据勾股定理建立方程，解方程可得OM，根据边之间的关系可得O'M，再根据含30°角的直角三角形可得MN，根据勾股定理可得O'N，OG，O'G，根据边之间的关系可得GN，再根据勾股定理可得DN，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
②当05时，边O'F'与边AD不相交，当1≤a≤5时，边O'F'与边AD相交于点N，则O'M=a-1，根据含30°角的直角三角形可得MN，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得OO'，再根据点的坐标可得O'(2，0)，设Q(x，y)，分情况讨论：当BC为对角线时，当O'B为对角线时，当O'C为对角线时，根据平行四边形性质建立方程组，解方程组即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市光明区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1．下列图案中，是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为中心对称图形.
2．不等式a-5≥0的解集为(　　)
A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：a-5≥0
移项可得，x≥5
故答案为：D
【分析】解不等式即可求出答案.
3．解分式方程去分母时可在等式两侧同乘(　　)
A．2 B．2x C．(x+2) D．(x-1)
【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2=3+2x
故答案为：B
【分析】根据等式的性质，结合去分母法则即可求出答案.
4．已知平面直角坐标系中点A(3，1)，将点A向右平移2个单位长度到点A'，则A'的坐标为(　　)
A．(1，1) B．(5，1) C．(3，3) D．(3，-1)
【答案】B
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A(3，1)，将点A向右平移2个单位长度到点A'，则A'的坐标为(5，1)
故答案为：B
【分析】根据点的平移性质即可求出答案.
5．正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数是(　　)
A．九 B．十 C．十一 D．十二
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360÷30=12
故答案为：D
【分析】根据正多边形外角和性质即可求出答案.
6．已知多项式因式分解后是(x-1)(x+m)，则m的值为(　　)
A．-4 B．-5 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
=(x-1)(x-4)
∴m=-4
故答案为：A
【分析】根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，由它三条中位线所组成的△DEF一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE，EF为三角形的中位线
∴DE∥BC，DE=，EF∥AC，
∵△ABC是等腰直角三角形
∴△DEF为等腰直角三角形
故答案为：A
【分析】根据三角形中位线定理，结合等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
8．把△ABC沿长方形ABCD对角线AC折叠得到△AB'C，B'C与AD交于点O，延长AB'、CD交于点E。若∠E=50°，则∠OAC的度数为(　　)
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得：∠CAE=∠CAB
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，DC∥AB
∴∠E+∠EAB=180°，∠ACD=∠BAC
∵∠E=50°
∴∠EAB=130°
∴∠CAE+∠CAB=130°
∴∠CAB=65°
∴∠ACD=65°
∴∠OAC=90°-65°=25°
故答案为：B
【分析】根据折叠性质可得∠CAE=∠CAB，根据矩形性质可得∠ADC=90°，DC∥AB，则∠E+∠EAB=180°，∠ACD=∠BAC，再根据角之间的关系即可求出答案.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．分解因式：ma-mb=　 　。
【答案】m(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ma-mb=m(a-b)
故答案为：m(a-b)
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．若代数式的值为0，则x=　 　。
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵代数式的值为0
∴x=0
故答案为：0
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
11．在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)。将点A绕坐标原点旋转180°得到点A'。点A'的坐标为　 　。
【答案】(-2，-1)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A(2，1)，将点A绕坐标原点旋转180°得到点A'
∴点A'的坐标为(-2，-1)
故答案为：(-2，-1)
【分析】根据旋转性质，结合关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AC，BD，BC的中点，若EF=5，GH=　 　。
【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是AD，AC，BD，BC的中点
∴
∴GH=EF=5
故答案为：5
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
13．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，∠B=60°。连接AC，若AD=2，，则BC=　 　。
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BE于点E，AF⊥CD，交CD的延长线于点F，则四边形AECF为矩形
∴AF=EC，AE=CF
在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，∠B=60°
∴∠ADC=120°
∴∠DAF=∠ADC-∠F=120°-90°=30°
∴
∴
在Rt△ABE中，∠B=60°
∴∠BAE=30°
∴AB=2BE
∵AB2-BE2=AE2，即(2BE)2-BE2=
解得：BE=2
∴BE=BE+EC=
故答案为：
【分析】过点A作AE⊥BE于点E，AF⊥CD，交CD的延长线于点F，则四边形AECF为矩形，根据矩形性质可得AF=EC，AE=CF，根据四边形内角和定理可得∠ADC，根据三角形外角性质可得∠DAF，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据勾股定理可得AF，CF，再根据勾股定理建立方程，解方程可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、计算题：本大题共3小题，共24分。
14．
（1）解不等式2x+1<-x+4，并把它的解集表示在数轴上；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：2x+1<-x+4
移项，合并同类项可得，3x<3
系数化为1可得，x<1；
将解集在数轴上表示如下：
（2）解：
解不等式①可得：x<2
解不等式②可得：x≥0.5
∴不等式组的解集为：0.5≤x<2
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
15．先化简，再求值：其中a=3。
【答案】解：
=
=
=a-2
当a=3时，原式=3-2=1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
16．某商户预测某款盲盒能畅销市场，就用8000元购进这种盲盒，果然供不应求.该商户又用17600元购进了第二批这种盲盒，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元。
（1）第一批购进盲盒的数量为多少？
（2）第一批盲盒每个售价为58元，若两批盲盒的总利润不少于11600元，则第二批盲盒每个售价至少为多少元？(利润=售价-进价)。
【答案】（1）解：设第一批购进x个盲盒，则第二批购进2x个盲盒
由题意可得：
解得：x=200
∴第一批购进200个盲盒
（2）解：设第二批盲盒每个售价为y元，
根据题意得：58×200+200×2y-(8000+17600)≥11600
解得：y≥64
∴y的最小值为64.
答：第二批盲盒每个售价至少为64元.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一批购进x个盲盒，则第二批购进2x个盲盒，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设第二批盲盒每个售价为y元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
四、解答题：本题共4小题，共37分。
17．如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠EDB=30°，EB=3，求AE的长。
【答案】（1）证明：∵点 D在∠A的平分线上， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵点 D是△ABC的边 BC的中点，
∴BD=CD，
在 Rt△ABD与 Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：连接AD
∵△ABC是等腰三角形，点D是△ABC的边BC的中点
∴AD⊥BC
∵DE⊥AB
∴∠DEB=∠ADB=90°
∵∠BDE=30°，BE=3
∴∠B=60°，BD=2BE=6
∴∠BAD=30°
∴AB=2BD=12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得DE=DF，根据三角形中点可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ，则∠B=∠C，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线交AD于点E。
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线交AD于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在⑴的基础上，证明：AF=DE。
【答案】（1）解：如图

（2）证明： ∵CE为∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE.
∵BF 为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF.
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE， ∠AFB=∠CBF，
∴∠DCE=∠DEC， ∠ABF=∠AFB，
∴DE=CD， AB=AF，
∴AF=DE
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠BCE=∠DCE，∠ABF=∠CBF，再根据平行四边形性质可得AB=CD，AD∥BC，则∠DEC=∠BCE，∠AFB=∠CBF，即∠DCE=∠DEC， ∠ABF=∠AFB，再根据等角对等边可得DE=CD，AB=AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．综合与探究：
【定义】在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，当x≥0时有点Q(x，y+2)，当x<0时有点Q(x，y-2)，则称点Q是点P的“跃迁点”。
（1）【应用】①点(0，-1)的“跃迁点”坐标为　 　；点(-3，2)的“跃迁点”坐标为　 　；
②若点M(1，4)是点N的“跃迁点”，则N的坐标为　 　；
（2）【探究】已知点P(x，y)在某函数图象上，对于任意实数x，点P的“跃迁点”Q的图象如图所示。当x≥0时，点Q在直线y=2x-1上，当x<0时，点Q在直线y=-x+3上，求点P所在函数的表达式；
（3）【拓展】在⑵的条件下，若直线y=m与点P所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出m的取值范围。
【答案】（1）(0，1)；(-3，0)；(1，2)
（2）解：当x≥0时，点Q的坐标为(x，y+2)
∵Q在直线y=2x-1上
∴y+2=2x-1，即y=2x-3
当x<0时，点Q的坐标为(x，y-2)
∵Q在直线y=-x+3上
∴y-2=-x+3，即y=-x+5
综上所述，
（3）m>5
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：
点(0，-1)的“跃迁点”坐标为(0，1)；点(-3，2)的“跃迁点”坐标为(-3，0)
②设点N的坐标为(1，y)
由题意可得：y+2=4，解得：y=2
∴N的坐标为(1，2)
故答案为：(0，1)；(-3，0)；(1，2)
（3）点P的函数图象如图所示：
∵直线y=m与点P所在的函数图象有且只有两个交点
∴m>5
【分析】（1）根据跃迁点的定义计算即可求出答案.
（2）分情况讨论，求出点Q的坐标，再代入解析式，化简即可求出答案.
（3）做出点P的函数图象，结合图象信息进行分析判断即可求出答案.
20．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(2，)，C(0，2)，点B在第一象限，点D在y轴的负半轴上，∠ABC=30°，边AD交x轴于点M。△OEF是直角三角形，∠OEF=90°，∠EOF=30°，已知点E(-3，0)，点F在第二象限。
（1）如图1，点F的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）将△OEF沿x轴方向向右平移到△O'E'F'，点O，E，F的对应点分别为O'，E'，F'。设OO'=a。
①若a取合适的值，使得△O'E'F'与平行四边形ABCD的重合部分始终为四边形，其中边O'F'与边CD交于点G，与边AD交于点N，如图2当a=2时，O'N=（　　）；S四边形OMNG=（　　）；
②在①的条件下，试用含a的式子表示线段O'N的长；
（3）在⑵的条件下，若平面上存在点Q，使得以点B、C、O'、Q为顶点可以构成平行四边形，已知O'C=4，请直接写出点Q的坐标。
【答案】（1）；
（2）①
②解：当05时，边O'F'与边AD不相交
当1≤a≤5时，边O'F'与边AD相交于点N，则O'M=a-1
∵∠O'NM=90°，∠MO'N=30°
∴
∴
∴O'N的长为
（3）点Q的坐标为(0，6) 或(或
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点E(-3，0)
∴OE=3
∵△OEF是直角三角形，∠OEF=90°，∠EOF=30°
∴OF=2EF，EF2+OE2=OF2
∴EF2+32=(2EF)2
解得：EF=
∴F
过点A作AH⊥y轴于点H，过点C作CK⊥AB于点K
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
∵CK⊥AB
∴∠BKC=∠AKC=90°
∴∠HCK=∠BKC=90°
∵AH⊥y轴
∴∠AHC=∠AHD=90°
∴∠AHC=∠HCK=∠AKC=90°
∴CK=AH=2
∵∠ABC=30°
∴BC=2CK=4
∴
∵A(2，)，C(0，2)
∴
∴
∴B
故答案为：；
（2）①当a=2时，O'(2，0)，OO'=2，∠E'O'F'=∠EOF=30°
∵
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ADC=∠ABC=30°
∵∠DOM=90°
∴DM=2OM
∵OM2+OD2=DM2，即
解得：OM=1
∴O'M=OO'-OM=1
∵∠ADC=∠E'O'F'=30°
∴∠DGN=90°-∠E'O'F'=90°
∴∠MNO'=∠ADC+∠DGN=90°
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∴
故答案为：
（3）∵
∴
∴O'(2，0)
设Q(x，y)，
∵B，C(0，2)
当BC为对角线时，
解得：
∴Q(0，6)
当O'B为对角线时，
解得：
∴Q
当O'C为对角线时，
解得：
∴
综上所述，点Q的坐标为(0，6) 或(或
【分析】（1）根据两点间距离可得OE，根据含30°角的直角三角形性质可得OF，根据勾股定理建立方程，解方程可得EF，再根据点的坐标可得点F，过点A作AH⊥y轴于点H，过点C作CK⊥AB于点K，根据平行四边形性质可得AB=CD，AB∥CD，根据角之间的关系可得∠AHC=∠HCK=∠AKC=90°，根据含30°角的直角三角形可得BC，根据勾股定理可得BK，根据两点间距离可得AK，CH，根据边之间的关系可得AB，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）①当a=2时，O'(2，0)，OO'=2，∠E'O'F'=∠EOF=30°，根据边之间的关系可得CD，根据点的坐标可得，根据两点间距离可得OD，再根据平行四边形性质可得∠ADC=∠ABC=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得DM=2OM，根据勾股定理建立方程，解方程可得OM，根据边之间的关系可得O'M，再根据含30°角的直角三角形可得MN，根据勾股定理可得O'N，OG，O'G，根据边之间的关系可得GN，再根据勾股定理可得DN，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
②当05时，边O'F'与边AD不相交，当1≤a≤5时，边O'F'与边AD相交于点N，则O'M=a-1，根据含30°角的直角三角形可得MN，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得OO'，再根据点的坐标可得O'(2，0)，设Q(x，y)，分情况讨论：当BC为对角线时，当O'B为对角线时，当O'C为对角线时，根据平行四边形性质建立方程组，解方程组即可求出答案.
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