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陕西咸阳市泾阳县2025-2026学年下学期期末质量自测八年级数学
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连结并延长至点D，连结并延长至点E，使得A、B分别是的中点，若，则线段的长度是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（ ）
A． B． C． D．
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．不等式的最大整数解是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
7．已知关于x的分式方程 的增根是，则m的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
8．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．因式分解：__________．
10．若分式有意义，则实数的值可以是________（写出一个即可）．
11．如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________
12．如图，将一块三角尺沿着方向平移到三角尺的位置，其中点的对应点为点，连接．若，，则________．
13．已知某种衬衫的进价为元，标价为元，由于换季，商场准备对这种衬衫进行打折销售，但要保证利润不低于元，那么至少应打______折．
14．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
三、解答题
15．因式分解：．
16．解不等式组：
17．化简：．
18．如图，已知，请用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写做法）
19．如图，在中，点E、F在、的延长线上，且，连接、．求证：．
20．解方程：．
21．先因式分解，再求值：，其中，．
22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)平移得到，使得点的对应点的坐标为，画出；（点、的对应点分别为点、）
(2)画出将绕点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、）
23．某工厂计划生产两种产品共件，已知产品每件可获利元，产品每件可获利元．设该工厂生产这两种产品的获利总额为（元），生产产品件（，为整数）．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)若该工厂生产产品的件数不少于产品件数的倍，求该工厂生产这两种产品获利总额的最大值．
24．如图，在中，，过点B作于点平分交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
25．某粮食种植基地为了提高小麦收割的效率，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1台甲种农机具比1台乙种农机具便宜1万元，用24万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1台甲种农机具和1台乙种农机具各需多少万元？
(2)该粮食种植基地计划购买甲、乙两种农机具共12台，且购买的总费用不超过57.5万元，求至少需要购买多少台甲种农机具？
26．【问题初探】
(1)如图1，在等边中，点M、N分别在边、上，且，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，求证：；
【拓展应用】
(2)如图2，某校校园运动会即将开幕，操场边角有一块等腰直角场地（周边空地可利用），其中，，体育老师做了如下场地改造布置：沿直角边、分别标记训练点M、N（点M、N不与点A、B、C重合），且，从顶点A拉一条辅助训练线，于点E，延长交赛道于点F，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接、，将四边形设置为热身训练区．请判断热身训练区（即四边形）的形状，并说明理由．（训练点的大小以及辅助训练线、赛道的宽度均忽略不计）
参考答案
1．B
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．C
【详解】解： A、B分别是的中点，
是的中位线，
，
故选C．
3．B
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
故选：B．
4．B
【详解】解：∵于点，
∴，
∴和均为直角三角形，
在和中，
，
∴，
则可判定，依据是．
5．D
【详解】解：A．该选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B．该选项右边没有化为几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C．该选项左边是整式积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D．该选项将多项式化为两个整式的积，且变形正确，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意．
6．D
【详解】解：移项可得，
合并同类项得，
系数化为得，
∵小于等于的最大整数是
∴不等式的最大整数解是．
7．A
【详解】解：关于的分式方程，
去分母得，，
即，
关于的分式方程有增根，
∴满足方程，
所以，
故选：A．
8．C
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误；
∵，，
∴，即，即正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，即正确；
∵，，
∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确；
综上所述，正确的结论有，共个．
9．
【详解】解：
．
10．1（答案不唯一）
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
∴实数可以是任意不等于的数，例如1．
11．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．3
【详解】解：∵三角尺沿着方向平移到三角尺的位置，其中点的对应点为点，
．
，
，
．
13．
【详解】解：设应打折，根据题意，衬衫进价为元，标价为元，打折后的售价为元，要求利润不低于元，
∴，化简得，
解得，
因此至少应打折．
14．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
15．
【详解】解：
．
16．
【详解】解：
由①得 ，
由②得 ，
不等式组的解集为．
17．
【详解】解：
．
18．见详解
【详解】解：如图所示，点D即为所求．
19．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【详解】略
20．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
去括号得：，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的根．
21．，．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
22．(1)；
(2)；点的坐标为
【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标为，
∴是由向右平移2格，向下平移6格得到的；
（2）略
23．(1)（，为整数）；
(2)获利总额最大值为元．
【详解】（1）解：∵生产产品件，两种产品共件，
∴生产产品件，
∴
化简得（，为整数）；
（2）解：根据题意，生产产品的件数不少于产品件数的倍，
∴，解不等式得，
∵，
∴，且为整数，
在函数中，，因此随的增大而增大，
∴当取最大值时，取得最大值，
将代入得（元），
答：该工厂生产这两种产品获利总额的最大值为元．
24．(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．(1)购买1件甲台农机具需4万元，购买1件乙台农机具需5万元
(2)至少需要购买3台甲种农机具
【详解】（1）解：设购买1台甲种农机具需万元，则购买1台乙种农机具需万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：购买1件甲台农机具需4万元，购买1件乙台农机具需5万元；
（2）设需要购买台甲种农机具，则需要购买台甲种农机具，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为3，
答：至少需要购买3台甲种农机具．
26．(1)证明：∵为等边三角形，
∴，，
∴绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵，，
∴，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【详解】（1）略
（2）略

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