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2025-2026学年湖南省衡阳市衡南县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，且则函数的图象的一个对称轴可以为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，满足，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则( )
A. B. C. D.
8.已知棱长为的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为的小正四面体如图，剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内容器壁厚度忽略不计，则该球形容器表面积的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则( )
A. B. 的值域为
C. 在区间上单调递减 D.
10.四名同学，，，各掷骰子次，分别记录自己每次骰子出现的点数根据四名同学的如下统计结果，则可能出现点数的是( )
A. 平均数为，中位数为 B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为 D. 中位数为，极差为
11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，下列说法正确的是( )
A. 不存在使得
B. 若，，，四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，”是假命题，则实数的最小值是 ．
13.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再有乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，且，，若，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．
14.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，若存在最大值，则正数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
衡南某学校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，将数据按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图：
根据频率分布直方图，求；
根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
用分层抽样的方法在，这两组学生内抽取人，再从这人中选人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．
16.本小题分
已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，记其面积为，则有．
求；
若，求的最大值．
17.本小题分
如图，三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
每年的月日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
若，求乙恰好有一轮胜出的概率；
若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为．
求，的值；
求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．
19.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．
设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．
求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
如图，现已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，顶点在底面的射影为的中点．
若，求该四棱锥在处的离散曲率；
若该四棱锥在处的离散曲率，求直线与平面所成角的正弦值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】解：由题意，
又易知，
得，
根据余弦定理可得，
可得，
又，
所以；
由余弦定理可得，
又，可得，
由基本不等式可得，解得，当且仅当时等号成立，
由，可得的最大值是，当且仅当时，等号成立．
17.【答案】设，连接，
由三棱柱的所有棱长均为，
则四边形为菱形，所以，，
又为等边三角形，所以，
因为，，平面，
所以平面

18.【答案】；
，；．
19.【答案】解：由题意可知四棱锥在各个顶点处的角的和，
即等于四个侧面上的三角形和底面四边形的内角和，即，
故四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为：；
连接，由于底面是边长为的菱形，故BD，交于点，
，则为正三角形，则，
底面，，底面，故，，
则，，
则
，
由于为三角形内角，故；
同理求得，
故该四棱锥在处的离散曲率；
由题意可知四棱锥的是个侧面三角形全等，
即得，
四棱锥在处的离散曲率，则，，
设，则，而，
故，
解得，
作于，则为中点，结合题意知为正三角形，故，
作于，则，且，
则；
连接，由于底面，底面，故，
，，平面，故AB平面，
平面，故平面平面，平面平面，
作于，则平面，
则即为直线与平面所成角，
则．
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