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2.1.1 有理数的加法（课时2） 学案
班级：________ 姓名：________
一、学习目标
1. 理解有理数加法交换律和结合律的意义，能用自己的语言表述两个运算律。
2. 能通过具体算式验证加法交换律和结合律在有理数范围内的成立性。
3. 能灵活运用加法运算律简化计算，掌握同号结合法、相反数结合法和凑整法三种技巧。
4. 能运用运算律解决生活中的实际问题，提升数学建模能力。
二、知识梳理
1. 加法交换律
在有理数加法中，两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
公式：（a、b 为任意有理数）
2. 加法结合律
在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
公式：（a、b、c 为任意有理数）
3. 运用运算律简化计算的技巧
三种简化技巧 ① 同号结合法：将正数与正数结合、负数与负数结合，分别求和后再相加。
② 相反数结合法：将互为相反数的两个数结合，使和为0。
③ 凑整法：将能凑成整数的数结合，便于心算。
关键：先观察数的特点，再选择合适的方法。
4. 验证算式
交换律验证：，
结合律验证：，
三、课堂探究
探究一：加法交换律
计算下列各组算式，比较结果：
第一组：，
第二组：，
第三组：，
结论：交换两个加数的位置，和______。即 a + b = ______。
探究二：加法结合律
计算下列各组算式，比较结果：
第一组：，
第二组：，
第三组：，
结论：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和______。即 (a + b) + c = ______。
易错提示 运用交换律时交换的是加数的位置，不是改变加数的符号。运用结合律时，括号内的加数要一起移动。
探究三：运用运算律简化计算
尝试用不同方法计算 16 + ( 25) + 24 + ( 35)，比较哪种方法更简便。
方法一（逐项计算）：16 + ( 25) = 9， 9 + 24 = 15，15 + ( 35) = 20。
方法二（同号结合法）：(16 + 24) + [( 25) + ( 35)] = 40 + ( 60) = 20。
比较发现：方法二更简便，只需一次异号相加。
四、巩固练习
（一）选择题
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 有理数加法不满足交换律
B. 有理数加法满足交换律但不满足结合律
C. 有理数加法既满足交换律又满足结合律
D. 有理数加法满足结合律但不满足交换律
2. 计算 ( 20) + 30 + ( 10) + 40 的结果是（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 60
3. 下列运用加法运算律正确的是（ ）
A. 3 + ( 5) = ( 5) + 3 = 8 B. ( 3) + ( 5) = ( 5) + ( 3) = 8
C. 3 + ( 5) = 5 + ( 3) = 2 D. ( 3) + ( 5) = 3 + 5 = 8
4. 计算 ( ) + () + () + ( ) 的结果是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 D.
5. 10袋小麦以 90 kg 为标准，偏差分别为 +1、+1、+1.5、 1、+1.2、+1.3、 1.3、 1.2、+1.8、+1.1，则总偏差为（ ）
A. 4.4 B. 5.4 C. 6.4 D. 7.4
（二）填空题
6. 16 + () + 24 + () = ______
7. 5 + () + () + 7 = ______
8. () + 23 + () + 7 = ______
9. 5.6 + () + 4.4 + () = ______
（三）计算题
10. 运用加法运算律计算： + + ( ) + ( )
11. 运用加法运算律计算：5.6 + ( 3.2) + 4.4 + ( 1.8)
12. 运用加法运算律计算：23 + ( 17) + 6 + ( 22)
13. 运用加法运算律计算：( 2.5) + 3.4 + ( 7.5) + ( 1.4)
（四）解答题
14. 10袋大米以 50 kg 为标准，超过记为正，不足记为负，记录如下（单位：kg）：+2、 1、+3、 2、+1、+2、 3、+1、 1、+2。求10袋大米的总重量。
15. 某商店一周盈亏情况如下（盈余为正，亏损为负，单位：元）：+200、 150、+300、 100、+250、 200、+180。求该商店一周的总盈亏。
16. 计算：1 + ( 2) + 3 + ( 4) + 5 + ( 6) + ... + 19 + ( 20)，并总结你所发现的规律。
五、归纳总结
1. 运算律公式
公式定理归纳表 名称 公式 适用范围
加法交换律 a + b = b + a 任意两个有理数
加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 任意三个有理数
2. 简化计算技巧
① 同号结合法 → 正归正、负归负
② 相反数结合法 → 找相反数对，和为0
③ 凑整法 → 找能凑整的数
3. 易错点提醒
易错提示 ① 交换律交换的是位置，不是符号。
② 结合律括号内的数要整体移动。
③ 同号结合时不要漏掉加数。
④ 实际问题中偏差正负要正确标注。
六、参考答案
（一）选择题
1. C 解析：有理数加法既满足交换律又满足结合律，这是经过验证的结论。
2. C 解析：同号结合法。( 20) + ( 10) = 30，30 + 40 = 70， 30 + 70 = 40。
3. B 解析：( 3) + ( 5) = ( 5) + ( 3) = 8，交换律正确。A错（3+( 5)= 2≠ 8），C错（3+( 5)≠5+( 3)），D错（( 3)+( 5)= 8≠8）。
4. B 解析：相反数结合法。[+( )] + [+( )] = 0 + 0 = 0。
5. B 解析：正偏差 1+1+1.5+1.2+1.3+1.8+1.1=8.9，负偏差 ( 1)+( 1.3)+( 1.2)= 3.5，总和 8.9+( 3.5)=5.4。
（二）填空题
6. 解析：同号结合法。(16+24)+[( 25)+( 35)]=40+( 60)= 20。
7. 解析：同号结合法。(5+7)+[( 3)+( 5)]=12+( 8)=4。
8. 解析：同号结合法。[( 18)+( 12)]+(23+7)=( 30)+30=0。
9. 解析：凑整法。(5.6+4.4)+[( 3.2)+( 1.8)]=10+( 5)=5。
（三）计算题
10. 原式 = [ + (/3)] + [ + (/5)] = 0 + 0 = 解析：相反数结合法。
11. 原式 = (5.6 + 4.4) + [() + ()] = 10 + () = 解析：凑整法。
12. 原式 = (23 + 6) + [() + ()] = 29 + () = 解析：同号结合法。
13. 原式 = [() + ()] + [3.4 + ()] = () + 2 = 解析：凑整法。
（四）解答题
14. 解：偏差总和 = (2+3+1+2+1+2) + [( 1)+( 2)+( 3)+( 1)] = 11 + ( 7) = 4。总重量 = + 4 = 504（kg）。
解析：以 50 kg 为标准，运用同号结合法求偏差总和，再加上标准总量。
15. 解：正数：200+300+250+180=930，负数：( 150)+( 100)+( 200)= 450。总盈亏 = 930 + ( 450) = 480（元）。
解析：运用同号结合法将盈余和亏损分别求和。
16. 解：原式 = (1+( 2)) + (3+( 4)) + (5+( 6)) + (7+( 8)) + (9+( 10)) + (11+( 12)) + (13+( 14)) + (15+( 16)) + (17+( 18)) + (19+( 20)) = ( 1)×10 = 10。
解析：运用相反数结合法，将相邻一正一负的两项结合，每组和为 1，共10组，总和为 10。
规律：从1开始的连续正负交替整数相加，每相邻两项的和为 1，共有 组（n 为总项数），总和为 。

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