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专题01 二次函数的图象与性质的含参问题
（题型突破·举一反三）
▌题型01 根据二次函数的定义求参数
【典例1】
【答案】2
【变式1】
【答案】B
【变式2】
【答案】B
【变式3】
【答案】(1)
(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是
▌题型02 根据二次函数开口方向求参数
【典例2】
【答案】
【变式1】
【答案】0（答案不唯一）
【变式2】（
【答案】2
【变式3】
【答案】C
【变式4】
【答案】
▌题型03 根据二次函数的增减性求参数取值范围
【典例3】
【答案】
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】
▌题型04 根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
【典例4】
【答案】
【变式1】
【答案】/
【变式2】
【答案】三与四
【变式3】
【答案】
▌题型05 二次函数中含参数的图象与性质
【典例1】
【答案】D
【变式1】
【答案】C
【变式2】
【答案】C
【变式3】
【答案】D
【变式4】
【答案】C
▌题型06 函数图象的综合判断
【典例6】
【答案】D
【变式1】
【答案】C
【变式2】
【答案】A
【变式3】
【答案】B
▌题型07 二次函数的图象与各项系数的关系
【典例7】
【答案】D
【变式1】
【答案】B
【变式2】
【答案】B
【变式3】
【答案】B
▌题型08 二次函数的代数最值含参问题
【典例8】
【答案】
【变式1】
【答案】或．
【变式2】
【答案】
【变式3】
【答案】或
【变式4】
【答案】2
▌题型09 抛物线与直线交点问题
【典例9】
【答案】(1)
(2)
【变式1】
【答案】 或
【变式2】
【答案】且
【变式3】
【答案】
【变式4】
【答案】4或
▌题型10 整点问题
【典例10】
【答案】D
【变式1】
【答案】C
【变式2】
【答案】
【变式3】
【答案】2或4
▌题型11 与二次函数图形变化有关的含参问题
【典例11】
【答案】或
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】 2 或
【变式3】
【答案】或
▌题型12 二次函数的图象与性质含参问题综合
【典例12】
【答案】(1)
(2)直线；
(3)或
【变式1】
【答案】(1)或4；
(2)；
(3)①；②．
【变式2】
【答案】(1)顶点坐标为；的取值范围为或；
(2)的取值范围为且．
【变式3】
【答案】(1) （1）证明：当，则
∴，
∴不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
(2)或
(3)或
【变式4】
【答案】(1)且
(2)
(3)①，②最小值为0/ 让教学更有效
专题01 二次函数的图象与性质的含参问题
（题型突破·举一反三）
题型01 根据二次函数的定义求参数
题型02 根据二次函数开口方向求参数
题型03 根据二次函数的增减性求参数取值范围
题型04 根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
题型05 二次函数中含参数的图象与性质
题型06 函数图象的综合判断
题型07 二次函数的图象与各项系数的关系
题型08 二次函数的代数最值含参问题
题型09 抛物线与直线交点问题
题型10 整点问题
题型11 与二次函数图形变化有关的含参问题
题型12 二次函数的图象与性质含参问题综合
▌题型01 根据二次函数的定义求参数
二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2.
[易错点]忽略二次项系数不能为0的限制条件.
【典例1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件．
【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即，
解方程得，
所以或 ，
又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去，
因此．当时，函数为，满足二次函数定义．
故答案为：2．
【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ）
A．3 B．-1 C． D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，即，
解得：或，
∵二次函数开口向上，
∴，
∴，
∴m的值为，
故选：B．
【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的关系式，
根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解．
【详解】解：∵二次函数的常数项为零，
∴，
即，
∴或．
又∵函数为二次函数，
∴二次项系数，
∴，
∴．
故选：B．
【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)
(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键．
（1）根据二次函数的定义，即列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的定义得，
由得，
由得且，
∴．
（2）解：由（1）得：二次函数解析式为，
故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为．
▌题型02 根据二次函数开口方向求参数
a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
【典例2】（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，进行分析，即可作答．
【详解】解：∵抛物线 的开口向下，
∴，
解得．
故答案为：
【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键．
根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可．
【详解】解：由于抛物线的开口向上，
则，
解得，
则的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【变式2】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段检测）抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则______．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数的性质，两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数，即可得到结果．
【详解】解：∵抛物线与的开口大小相等，
∴，即，
∵中，开口向下，两抛物线开口方向相反，
∴开口向上，
∴，
∴．
【变式3】（25-26九年级上·安徽·期中）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是利用抛物线经过原点和开口方向确定的值．
先将原点代入抛物线解析式求出的可能值，再根据开口向下确定的最终取值．
【详解】解： 抛物线 经过坐标原点，
当 时，．
代入得：，
即 ，
，
或 ．
又 抛物线开口向下，
，
．
故选：C．
【变式4】（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为________．
【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数一般式中a对抛物线的决定作用是解题的关键．
由两条抛物线的形状相同且开口方向相反，可得出两个二次函数表达式中二次项的系数互为相反数，再由抛物线经过点即可解答．
【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反，
∴．
又∵该抛物线经过点，
∴，解得：．
∴该抛物线的函数解析式为．
故答案为：．
▌题型03 根据二次函数的增减性求参数取值范围
【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数单调性结合题目条件推导得到的取值范围．
【详解】解：已知二次函数，，
根据二次函数对称轴公式，其中二次项系数为，一次项系数，
∴对称轴为：，
∵当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即，此时对称轴右侧，当时，随的增大而增大；
∴．
故答案为：．
【变式1】（23-24九年级上·天津东丽·期中）已知函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少；则_________
【答案】
【分析】由增减性可求得对称轴为，再利用对称轴公式可得到关于的方程，可求得的值．
【详解】当时，随的增大而减少；当时，随的增大而增大，
二次函数对称轴为，
，
对称轴为，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，根据二次函数解析式得出对称轴是解题关键．
先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，求解即可得答案．
【详解】解：∵抛物线，二次项系数为，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线．
∴在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大．
∵当时，随的增大而减小，
∴．
解得．
故答案为：．
▌题型04 根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
【典例4】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是___．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据求出二次函数的顶点坐标，二次函数图象与轴的交点坐标，根据图象过第一、二、三象限，得到交点纵坐标大于等于0，顶点的纵坐标小于0，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，在轴的左侧，顶点坐标为，当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∵抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴，解得；
故答案为：．
【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为_____．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据条件可得，，且顶点纵坐标，再进一步求解即可．
【详解】解：∵二次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【变式2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第_______象限．
【答案】三与四
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到二次函数的顶点坐标为，根据平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限．
【详解】解：二次函数不经过第三象限，
抛物线顶点坐标为，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上，
平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，
新抛物线不可能经过第三、四象限，
故答案为：三与四．
【变式3】（2025·山东淄博·二模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
首先配方得到，然后得出抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，然后根据二次函数的图象只经过三个象限，得到，求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，
二次函数的图象只经过三个象限，
二次函数的图象经过第一，二，三象限
∴，
∴．
故答案为：．
▌题型05 二次函数中含参数的图象与性质
【典例1】（2026·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．当时，
C．当时，函数的最大值为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据图象与x轴有两个交点求出a的范围，再配方得到顶点式，结合开口方向、对称轴和函数增减性逐一判断选项即可．
【详解】解：∵二次函数 的图象与轴有两个交点，
∴判别式 ，
∴，图象开口向上，故A错误．
将二次函数配方得：
，
可得对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，故B错误．
∵，开口向上，顶点在区间内，
∴函数在内的最小值为，最大值大于，故C错误．
∵对称轴为，，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，随值的增大而增大，故D正确．
【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数，则以下结论：
①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3；
③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点．
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质．
根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，进而可判断①②，当时，函数的解析式是，将代入判断是否为即可判断③，根据顶点坐标及开口方向即可判断④．
【详解】解：根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，故①错误；
顶点坐标是，开口向下，则函数的最大值是3，则②正确；
当时，函数的解析式是，将代入得，即函数不经过原点，故③错误；
顶点坐标是，开口向下，则该抛物线和x轴总有两个公共点，故④正确．
故选：C．
【变式2】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）对于方程的说法正确的是（ ）
①当时，方程有两个不相等的实数根．
②当时，记方程两个不相等的根为，，则．
③当的值为抛物线的图象在直线下方的部分的任意一点的横坐标的值时，方程有实数根．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据题意，需要分和两种情况，利用根的判别式判断根的存在性，逐一验证每个说法．
【详解】解：对于方程，当时，根的判别式；
当时，方程化为一元一次方程，存在实数根．
①当时，方程为，，方程无实数根，故①错误；
②当时，方程为，
整理得，
根据根与系数的关系得，，，
故，结论成立，故②正确；
③抛物线在直线下方的点，横坐标满足，
若，方程有实根；
若，，由得，即，
方程有两个不相等的实数根，
因此所有满足条件的都使方程有实数根，故③正确，
综上，②③正确．
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（ ）
A．对称轴为直线
B．顶点在第二象限
C．与直线的交点横坐标是和0
D．若，则
【答案】D
【分析】先利用二次函数平移规律，得到平移后的解析式，代入原点坐标求出a和b的关系．因为已知和a、b的关系，则可利用二次函数顶点式得对称轴，判断选项A；求出顶点坐标，结合横纵坐标符号判断顶点所在象限，分析选项B；因为要找函数与直线的交点，所以联立两个解析式，解方程得到交点横坐标，判断选项C；因为，所以二次函数开口向下，结合对称轴，分析给定范围内、到对称轴的距离，利用二次函数的增减性判断和的大小关系，分析选项D．
【详解】 已知原二次函数 ，向右平移3个单位后得到 ，
平移后过原点，代入得 ，
∴，
∴原二次函数可整理为 ．
选项A：由顶点式可知对称轴为直线 ，说法正确；
选项B：顶点坐标为 ，因为，则，所以顶点在第二象限，说法正确；
选项C：令 ，整理得 ，解得 或 ，交点横坐标为和，说法正确；
选项D：，开口向下，点离对称轴越远，函数值越小．已知，因此离对称轴更远，所以；
综上，说法错误的是．
【变式4】（2024·上海杨浦·三模）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线
B．该抛物线的顶点坐标是
C．该抛物线与轴有两个交点
D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：
，
∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，故A，B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大，
∴该抛物线与轴没有交点，，故C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意；
故选：C
▌题型06 函数图象的综合判断
【典例6】（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案．
【详解】解：联立得：，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，当时，，
∴二次函数与一次函数相交于点和，
∴只有D选项图象符合题意．
【变式1】（2026·安徽芜湖·三模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题．
【详解】解：联立，
消去得，
∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确；
令，
解得：，，
∴二次函数与x轴的交点坐标为或，故D不正确，不符合题意；
A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意；
C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意．
【变式2】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设，
，
由图象知，，
，
y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意；
由图象知：
时，，，，选项C，不符合题意；
时，与相交，即，
∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意；
所以选A．
【变式3】（2026·安徽芜湖·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断点与点关于原点中心对称，再结合点到的增减性，逐项分析选项图像的增减性与中心对称特征，筛选出符合条件的函数图像．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴、关于原点中心对称，
∵，，
∴时，y随x增大而增大，
A选项：时随增大而减小，不符合增减性，排除．
B选项：时随增大而增大，且时，、关于原点中心对称，符合条件．
C选项：不存在m的值，使得、关于原点中心对称，排除．
D选项：时随增大而减小，排除．
故只有B项符合题意．
▌题型07 二次函数的图象与各项系数的关系
1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性；
2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）.
3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性.
4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性.
5）根据抛物线的顶点，判断的大小.
6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.
7）特殊点代入确定a，b，c的关系.
【典例7】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断．
【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意；
关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意；
关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意；
关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意；
综上，共有4个符合题意．
【变式1】（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可；
【详解】解：抛物线经过点，
，
，
故正确；
设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间，
，
，
，
，
抛物线开口向下，
，
，
，，，
，，
故②正确；③错误；
，抛物线开口向下，
时，其函数值大于0，
，
抛物线的顶点在x轴的上方，
，
，
故④错误；
故正确的结论有2个．
【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论：
①②③④⑤方程（为常数）有实数根．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤．
【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，，即，
∴，
由图象可得当时，，即，
∴，
∴，
由图象可得当时，，即，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵方程可化为，
∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标，
∵直线，
∴该直线过定点，且过第二、三、四象限，
∴抛物线与直线必有交点，
∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个．
【变式3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可；
②根据对称轴得出，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解；
③根据当时，，进行判断即可；
④根据抛物线的对称性进行判断即可；
【详解】解：①由抛物线图象可得，抛物线开口向上，
∴；
对称轴位于轴左侧，
∴符号相同，
∴；
抛物线与轴交于负半轴，
∴；
∴，故①正确；
②∵对称轴为直线，
∴，
∴，
将代入解析式得，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③由可得，当时，，
由②得，
∴，故③错误；
④∵，且两个点的纵坐标相等，
∴两个点关于直线对称，
∵点在该函数图象上，
∴点也在该函数图象上，故④正确；
综上正确的有3个.
▌题型08 二次函数的代数最值含参问题
【典例8】（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______．
【答案】
【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线，
∵ ，即对称轴在给定区间内，
当时，二次函数取得最小值，
当时，；
当时，；
比较得，二次函数的最大值，
因此．
【变式1】（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________．
【答案】或．
【分析】先求出二次函数（）的对称轴为，再根据的正负性分情况讨论函数在上的最小值情况，进而求解的值．
【详解】解：对于二次函数（），
其对称轴公式为，这里，，
对称轴，
当时，
抛物线开口向上，在对称轴处函数取得最小值，
在内，
当时，取得最小值，
把代入函数得：
，
函数最小值为，
，
解得，符合的条件，
当时
抛物线开口向下，在上，离对称轴越远的点，函数值越小，
计算和到对称轴的距离：
到的距离为，
到的距离为，
，
当时，函数取得最小值，
把代入函数得：
，
函数最小值为，
，
解得，符合的条件．
综上，的值为或．
【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，分类讨论是解题的关键．
二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，根据参数的取值范围分类讨论顶点是否在区间内，利用二次函数的性质求最值，由最值差为4建立方程求解．
【详解】解：二次函数可化为，开口向下，顶点为，
∵，，
（1）当时，顶点在内，最大值，
最小值在端点处：当时，，
当时，，
①当时，，最小值，
差为，
解得：，（舍去）；
②当时，，最小值，
差为，无解；
（2）当时，顶点不在内，函数y在上随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
差为，
故无解，
综上，满足条件，
故答案为：．
【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数在区间上的最值，掌握好二次函数的图象与性质是解题关键．
先判断图象的开口方向和对称轴，根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论，结合二次函数的增减性，求出的值．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越近，函数值越大，
当和关于对称轴对称时，，解得，
①当时，
∵，
∴当时，取得最小值，
∴，
化简，得，
解得或，
∵，
∴；
②当时，
∵，
∴当时，取得最小值，
∴，
化简，得，
解得或，
∵，
∴；
综上所述，或．
故答案为：或．
【变式4】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______．
【答案】2
【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：，
二次项系数，
抛物线开口向上，对称轴为直线.
，
当时，取得最小值，
由的最小值为，得，解得，
此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上，
则离对称轴越远，函数值越大，
，，，
则当时，取得最大值，
将，代入解析式得：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得．
▌题型09 抛物线与直线交点问题
抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定．可能出现以下三种情况：① 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点；② 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点；③ 当方程组无解时两函数图像没有交点．
【典例9】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与抛物线．
(1)若它们没有交点，则的取值范围是_______；
(2)若当时它们有交点，则的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键．
（1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围；
（2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵直线与抛物线没有交点，
∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点，
∴的取值范围是，
故答案为：．
（2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上，
当时，y有最小值，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，，y有最大值1，
∵直线与抛物线，当时它们有交点，
∴a的取值范围是，
故答案为：．
【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，．
（1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______．
（2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一次函数的图象性质，二次函数的图象上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合抛物线与轴只有一个交点，得出，代入数值进行计算，即可作答．
（2）理解题意，然后进行分类讨论，然后作图，求出直线的解析式为，再结合进行列方程组，得，再运用判别式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）∵抛物线的解析式为．
观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件，
可得；
当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立①②得
并整理得： ，
∵，
∴，
∴满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为或，
故答案为：或．
【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________．
【答案】且
【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围．
【详解】解： 是二次函数，
．
二次函数的图象与坐标系横轴有交点，
一元二次方程 有实数根，
根的判别式 ．
将 代入得，
，
解不等式得 ．
综上， 的取值范围是 且．
【变式3】（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可．
【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线上运动，
如图，当二次函数与矩形第一次相交时（一个交点），此时二次函数经过点，此时取最小值，
将代入得，，
解得，（舍去），
如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，
将代入得，，
解得，（不合，舍去），
则二次函数与矩形有两个交点时，二次函数图象在与矩形第一次相交和与矩形最后一次相交之间，且不包含第一次相交和最后一次相交，
∴．
【变式4】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为________
【答案】4或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，根据点，点的纵坐标相同，得到点在直线上，分两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，解得，
∴抛物线与轴的交点为，
∵点，点的纵坐标相同，
∴点在直线上，
当抛物线与线段有且只有一个交点时，有两种情况：
①当点在直线上时，满足题意，此时；
②当直线从开始向下平移时，线段与抛物线有2个交点，直至抛物线过点时，此时，即抛物线过点，由对称性可知，抛物线过点，线段与抛物线交于两个点；
继续向下平移，此时线段与抛物线只有一个交点直至当抛物线过点时，；
再向下平移，线段与抛物线没有交点，
故当时，线段与抛物线只有一个交点；
综上：或；
故答案为：或．
▌题型10 整点问题
【典例10】（23-24九年级上·山东淄博·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先将抛物线的解析式写成顶点式，求出顶点坐标，再结合画出大致图象，结合图象求解即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点为，
∵，
∴可以大致画出图象如图，
∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）
∴点、、、必在区域内．
当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为，
这样区域内有6个整点，
当代入抛物线解析式，得，
解得：，
当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为，
这样区域有8个整点，
将代入抛物线解析式，得，
解得：，
∴当时，区域恰有6个整点．
故选：D．
【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，；
淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人均对 D．两人均错
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，利用对称轴和与x轴的交点，解一元二次方程，判断嘉嘉的说法；结合图像及条件，判断x、y的取值范围，判断淇淇的说法．
【详解】解：已知抛物线的对称轴为，已知过点，
根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点为，
所以一元二次方程的解为∶ ，，
嘉嘉的说法正确．
一元二次方程的解为∶ ，，
．
顶点坐标为．
由图可知为负数．
与轴围成封闭区域（边界除外）x的范围是，
可取的整数为0、1、2．
当时，．
的范围是；
当时，
的范围是；
当时，
的范围是．
要使整点个数为7，结合顶点纵坐标，当时，顶点纵坐标为4，此时∶
时，y可取1、2；
时，y可取1、2、3；
时，y可取1、2；
共7个数．
淇淇的说法正确．
故选：C．
【变式2】（24-25九年级下·全国·二轮复习）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是_____
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键．
由题意知，，顶点坐标为，对称轴是直线．则该抛物线开口向上，点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求值，根据t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可．
【详解】解：由题意知，，
∴顶点坐标为，对称轴是直线，
∵抛物线与x轴交于点M、N两点，
∴该抛物线开口向上，
∴点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．
①当该抛物线经过点和时，如图1．
将代入得，，
解得，
∴此时抛物线解析式为．
当时，，
解得，，
∴x轴上的点，，符合题意．
∴当时，恰好有 ，，，、，，，共7个整点符合题意．
∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，
∴．
②当该抛物线经过点和点时，如图2．
此时x轴上的点 ，，符合题意．
将代入得，，
解得．
∴此时抛物线解析式为．
当时，．
∴符合题意．
当时，得．
∴符合题意．
综上可知：当时，点，，，，，，，，，都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴不符合题．
∴．
综上所述，当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故答案为：．
【变式3】（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______．
【答案】2或4
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：联立，得：
，
∵抛物线a和线段b有两个交点，
∴，
解得：．
当时，．
将代入抛物线解析式得：，
．
同理，当时，，
∴．
∵m为整数，
∴m的值为2或3或4．
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求；
当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求；
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求．
∴m的值为2或4．
故答案为：2或4
▌题型11 与二次函数图形变化有关的含参问题
【典例11】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．

【答案】或
【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解．
【详解】解：，
将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，
平移后抛物线的解析式为，
当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意；
结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或；
故答案为：或．
【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线的对称轴，再根据平移方式可得抛物线的对称轴，根据可得抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合列式求解即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴抛物线图象上的点离直线越远，函数值越小，
∵点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且），是轴上一点，将点向右平移4个单位长度得到点．
（1）该抛物线的对称轴为直线_____；
（2）当时，将该抛物线向上平移个单位长度后与线段没有交点，则的取值范围是_____．
【答案】 2 或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用对称轴的公式代入数值进行计算，即可作答．
（2）先整理得该抛物线的函数表达式为，则当，即当时，该抛物线与线段没有交点．再运用数形结合思想得当时，该抛物线与线段没有交点，据此进行作答即可．
【详解】解：（1）由题意，得抛物线的对称轴为直线．
故答案为：2；
（2）如图，
当时，
该抛物线的函数表达式为，
则抛物线的顶点坐标为，
当，即当时，该抛物线与线段没有交点，
∵是y轴上一点，将点A向右平移 4个单位长度得到点B，
∴，
∴把代入，
得，
解得，
当时，该抛物线与线段没有交点．
综上，当或时，该抛物线与线段没有交点．
故答案为：或．
【变式3】（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着点旋转得到抛物线．已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据旋转的性质可得抛物线的解析式，结合二次函数的性质，根据，，都有，列出关于的不等式组求解即可.
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点为，
∵抛物线绕着点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点对称，
∴抛物线的顶点为，
∴抛物线的解析式为：，
∵和是抛物线上的两点，若对于，，都有，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴解得：或；
解得：，
综上：或.
▌题型12 二次函数的图象与性质含参问题综合
【典例12】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知抛物线（a，b为实数，）
(1)若，，当时，直接写出x的取值范围_________
(2)当时，x的取值范围是，则该抛物线的对称轴为_________，a_________0．（填“”或“”）；
(3)在（2）的条件下，若该抛物线与直线交于点A，与直线交于点B，若，求k的取值范围；
【答案】(1)
(2)直线；
(3)或
【分析】（1）求出抛物线解析式，则可得到开口方向和增减性，再求出时x的值，即可得到答案；
（2）设当时，或，当时，根据增减性可推出当时，，则，再由对称性可求出对称轴；当时，由增减性可推出当时，或，此种情况不符合题意；
（3）根据（2）所求可得抛物线开口向下，则离对称轴越近函数值越大，进而得到点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，据此列式求解即可．
【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，
当时，则，解得或，
∴当时，；
（2）解：设当时，或，
当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，
设当时，或，
∴当时，，
∵当时，x的取值范围是，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当时，或，
又∵当时，x的取值范围是，
∴此种情况不成立；
综上所述，抛物线的对称轴为直线，；
（3）解：由（2）可知抛物线的对称轴为直线，且，
∴抛物线开口向下，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∵该抛物线与直线交于点A，与直线交于点B，且，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴，
∴，
∴或，
解得或．
【变式1】（2025·山东泰安·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．
(1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值；
(2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围；
(3)若，
①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________；
②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围．
【答案】(1)或4；
(2)；
(3)①；②．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，设平移后的抛物线为，即，又图象过点，则，进而计算可以判断得解；
（2）依据题意，由，则抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，又二次函数为常数）的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于个单位长度，故，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由时，抛物线为，则顶点为，开口向下．
①由抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合，则，进而计算可以得解；
②依据题意，由抛物线开口向下，且对称轴是直线，再结合时，该二次函数的最大值与最小值的和为，可以分类讨论计算得解．
【详解】（1）解：设平移后的抛物线为：，即，
又∵图象过点，
∴，
解得：或4；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，
∵二次函数（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∴顶点，开口向下，
①由题意，∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
又，
∴，
∴当时， ，
∴无解；
当时，，
∴，则，
当时，
∴，
综上，，
故答案为：；
②由题意，∵抛物线开口向下，且对称轴是直线，
当时，最大值在，最小值在，
，
∴．
当时，最大值在顶点，最小值在或，
若，则最小值为，
，符合题意，
若，则最小值在，
，
，
综上，．
【变式2】（2026·山东聊城·二模）已知二次函数 （且为常数）．
(1)当时，
求该二次函数图象的顶点坐标；
若点，在该抛物线上，且，求的取值范围；
(2)当时，始终成立，求的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为；的取值范围为或；
(2)的取值范围为且．
【分析】（）当时，，然后通过二次函数的性质即可求解；
由知抛物线表达式为，根据二次函数的性质可得对称轴为直线，又抛物线的开口向上且，则点离对称轴更远，即有，然后求出的取值范围即可；
（）解：由，则 ，令 ，所以 则其对称轴为，分当时，当时，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴顶点坐标为；
由知，抛物线表达式为，
∴对称轴为直线，
∵抛物线的开口向上且，
∴点离对称轴更远，
∴，整理得：，
∴或，
解得：或 ，
∴的取值范围为或 ；
（2）解：∵，
∴ ，
令 ，
∴
∴其对称轴为，
当时，时，随的增大而增大，
∵在对称轴右侧，
∴时， ，解得，
∴当时，始终成立，
当时，时，随的增大而减小，
∵在对称轴右侧，
∴，
解得：，
∴当时，始终成立，
∴综上可得：的取值范围为且．
【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（a为常数，且）．
(1)求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设点、，若该函数的图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是_______．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题的关键是利用数形结合的思想求解．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先确定对称轴为直线，然后分和两种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析求解；
（3）可求出抛物线与x轴的两个交点坐标为，再分和两种情况，结合函数图象讨论求解即可．
【详解】（1）证明：当，则
∴，
∴不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：对于二次函数，其对称轴为直线，
①当时，则二次函数图象开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，且当时，函数有最大值，最大值为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴；
当时，则二次函数图象开口向下，
则当时，且当时，函数有最大值，最大值为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或；
（3）解：在中，当时，，
∴，
解得，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，；
当，
当抛物线的顶点在直线的上方时，此时抛物线与直线必然有两个交点，且交点的横坐标满足，即此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意；
抛物线的顶点在直线上时，则，解得，此时满足抛物线与线段只有一个交点；
当抛物线的顶点在直线的下方时，此时抛物线与直线没有交点，不符合题意；
当 如图所示，
要使抛物线与线段只有一个交点，那么抛物线在处的函数值要大于或等于点F的纵坐标，
∴，
解得；
综上所述，或．
【变式4】（2024·广东广州·二模）已知抛物线和直线，抛物线的顶点为M．
(1)若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围；
(2)存在实数，使得当时，，并且存在实数k，使对于任意实数x都成立，求a的取值范围；
(3)已知直线与抛物线交于，，且．
①求a的取值范围；
②求抛物线的顶点M到直线距离的最小值．
【答案】(1)且
(2)
(3)①，②最小值为0
【分析】（1）根据根的判别式为0和二次项系数不为0，建立不等式组，解不等式组，即得；
（2）当时，存在实数，使；当时，联立，当时，，，，存在实数，得，综合且；根据对于任意实数x都成立，的图象恒在x轴的上方，，，即且，得，得，综合；
（3）①联立解析式得，根据根与系数的关系得到，结合， 化简得到，得直线，根判别式，；②配方得，得到顶点在直线（）上，根据直线与直线交于第四象限，得到抛物线的顶点M到直线距离的最小值为0．
【详解】（1）依题意有两个不相等的实数根，
，
，
又，
且，
（2）①当时，显然存在实数，使，
②当时，联立，
得，
当时，，
此时，
如图所示，
只需就存在实数，使，
，
综上：且，
又存在实数k，对于任意实数x都成立，
即恒成立，
的图象恒在x轴的上方，
，
即存在实数k使且，
，
解得（舍去）或，
，
综上所述：；
（3）①联立，
得，
则，，，
（，，，），
，
，
化简得，
，直线，
，，
即a的取值范围是，
②，
顶点为，
顶点在直线（）上，
画图可知直线与直线，（）的交点在第四象限，
抛物线的顶点M到直线距离的最小值为0．
（法二：过点M作直线）的垂线，再化斜为铅垂，同样可以得到最小值为0）
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，二次函数图象与坐标轴交点判断和性质，两函数图象交点判断和性质，函数与方程的关系，函数与不等式的关系，是解决问题的关键．/ 让教学更有效
专题01 二次函数的图象与性质的含参问题
（题型突破·举一反三）
题型01 根据二次函数的定义求参数
题型02 根据二次函数开口方向求参数
题型03 根据二次函数的增减性求参数取值范围
题型04 根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
题型05 二次函数中含参数的图象与性质
题型06 函数图象的综合判断
题型07 二次函数的图象与各项系数的关系
题型08 二次函数的代数最值含参问题
题型09 抛物线与直线交点问题
题型10 整点问题
题型11 与二次函数图形变化有关的含参问题
题型12 二次函数的图象与性质含参问题综合
▌题型01 根据二次函数的定义求参数
二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2.
[易错点]忽略二次项系数不能为0的限制条件.
【典例1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______．
【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ）
A．3 B．-1 C． D．4
【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
▌题型02 根据二次函数开口方向求参数
a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
【典例2】（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________．
【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可）
【变式2】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段检测）抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则______．
【变式3】（25-26九年级上·安徽·期中）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么等于（ ）
A． B． C． D．或
【变式4】（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为________．
▌题型03 根据二次函数的增减性求参数取值范围
【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________．
【变式1】（23-24九年级上·天津东丽·期中）已知函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少；则_________
【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______．
▌题型04 根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
【典例4】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是___．
【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为_____．
【变式2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第_______象限．
【变式3】（2025·山东淄博·二模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是______．
▌题型05 二次函数中含参数的图象与性质
【典例1】（2026·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．当时，
C．当时，函数的最大值为 D．当时，的值随值的增大而增大
【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数，则以下结论：
①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3；
③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点．
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【变式2】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）对于方程的说法正确的是（ ）
①当时，方程有两个不相等的实数根．
②当时，记方程两个不相等的根为，，则．
③当的值为抛物线的图象在直线下方的部分的任意一点的横坐标的值时，方程有实数根．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（ ）
A．对称轴为直线 B．顶点在第二象限
C．与直线的交点横坐标是和0 D．若，则
【变式4】（2024·上海杨浦·三模）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线的顶点坐标是
C．该抛物线与轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大
▌题型06 函数图象的综合判断
【典例6】（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2026·安徽芜湖·三模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2026·安徽芜湖·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
▌题型07 二次函数的图象与各项系数的关系
1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性；
2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）.
3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性.
4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性.
5）根据抛物线的顶点，判断的大小.
6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.
7）特殊点代入确定a，b，c的关系.
【典例7】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论：
①②③④⑤方程（为常数）有实数根．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
▌题型08 二次函数的代数最值含参问题
【典例8】（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______．
【变式1】（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________．
【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______．
【变式4】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______．
▌题型09 抛物线与直线交点问题
抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定．可能出现以下三种情况：① 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点；② 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点；③ 当方程组无解时两函数图像没有交点．
【典例9】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与抛物线．
(1)若它们没有交点，则的取值范围是_______；
(2)若当时它们有交点，则的取值范围是______．
【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，．
（1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______．
（2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______．
【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________．
【变式3】（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________．
【变式4】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为________
▌题型10 整点问题
【典例10】（23-24九年级上·山东淄博·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，；
淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人均对 D．两人均错
【变式2】（24-25九年级下·全国·二轮复习）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是_____
【变式3】（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______．
▌题型11 与二次函数图形变化有关的含参问题
【典例11】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．

【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________．
【变式2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且），是轴上一点，将点向右平移4个单位长度得到点．
（1）该抛物线的对称轴为直线_____；
（2）当时，将该抛物线向上平移个单位长度后与线段没有交点，则的取值范围是_____．
【变式3】（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着点旋转得到抛物线．已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围是______．
▌题型12 二次函数的图象与性质含参问题综合
【典例12】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知抛物线（a，b为实数，）
(1)若，，当时，直接写出x的取值范围_________
(2)当时，x的取值范围是，则该抛物线的对称轴为_________，a_________0．（填“”或“”）；
(3)在（2）的条件下，若该抛物线与直线交于点A，与直线交于点B，若，求k的取值范围；
【变式1】（2025·山东泰安·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．
(1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值；
(2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围；
(3)若，
①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________；
②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围．
【变式2】（2026·山东聊城·二模）已知二次函数 （且为常数）．
(1)当时，
求该二次函数图象的顶点坐标；
若点，在该抛物线上，且，求的取值范围；
(2)当时，始终成立，求的取值范围．
【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（a为常数，且）．
(1)求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设点、，若该函数的图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是_______．
【变式4】（2024·广东广州·二模）已知抛物线和直线，抛物线的顶点为M．
(1)若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围；
(2)存在实数，使得当时，，并且存在实数k，使对于任意实数x都成立，求a的取值范围；
(3)已知直线与抛物线交于，，且．
①求a的取值范围；
②求抛物线的顶点M到直线距离的最小值．

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