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专题02 二次函数与实际问题
（题型突破·举一反三）
▌题型01 投球问题
【典例1】
【答案】(1)① ②
(2)
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【变式2】
【答案】(1)8，1000
(2)
(3)
【变式3】
【答案】(1)
(2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离，
当时，，
解得，，
点坐标为或，
∵点在轴正半轴，
∴（不符合题意，舍去），
，
，
，
，
小明此次练习能得满分．
(3)
▌题型02 拱桥问题
【典例2】
【答案】(1)
(2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下：
，
在中，当时，，
∵，
∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥；
②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克
【变式1】
【答案】(1)①；②44米
(2)98米
【变式2】
【答案】(1)
(2)
【变式3】
【答案】(1)；
(2)的长度为千米；
(3)．
▌题型03 隧道问题
【典例3】
【答案】(1)1.55米
(2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
(3)3.5米
【变式1】
【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或
【变式2】
【答案】(1)
(2)
解：他能刷到正上方的玻璃隧道，理由如下：
如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E
根据题意得，，
∴
∴
∴将代入
∴
∴
∴他能刷到正上方的玻璃隧道．
【变式3】
【答案】(1)原计划每天修20米
(2)①；
②人行道宽度设计达标，理由如下：
∵车的宽度为4米，车从正中通过，
如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令，则有：，
解得：（舍弃负值），
∴人行道台阶的宽度为：，
∴人行道宽度设计达标．
▌题型04 拱门问题
【典例4】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式1】
【答案】(1)
(2)米
(3)以为中心，在、、、、、、、、、、的位置悬挂灯笼
【变式2】
【答案】(1)；
(2)，．
【变式3】
【答案】(1)
(2)①圆形校徽的直径为；②
▌题型05 喷水问题
【典例5】
【答案】(1)1；
(2)；
(3)．
【变式1】
【答案】(1)，
(2)水流高度能达到的最大高度是米
(3)消防车从点沿方向应至少前进米
【变式2】
【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为
(2)点的坐标为
(3)
【变式3】
【答案】(1)
(2)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约7.6米
(3)的最小值约米
▌题型06 销售问题
【典例6】
【答案】(1)；
(2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元．
【变式1】
【答案】(1)与的函数解析式为
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【变式2】
【答案】(1)；．
(2)当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大．
(3)当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元
【变式3】
【答案】(1)一次函数，
(2)当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元
(3)① ；②单价元，销量件
▌题型07 几何图形问题
【典例7】
【答案】(1)、小、
(2)、大、5
(3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是
【变式1】
【答案】(1)①；②20米
(2)210.25平方米
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式3】
【答案】(1)
(2)
(3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为
▌题型08 图形运动问题
【典例8】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式1】
【答案】(1)
(2)S关于t的函数解析式为
【变式2】
【答案】(1)点N的纵坐标为
(2)
【变式3】
【答案】(1)当或时，的长度等于
(2)当时，的面积等于
(3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解
▌题型09 跳跃问题
【典例9】
【答案】(1)6，9
(2)，，
(3)①；②
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式2】
【答案】(1)
(2)①机器人至少需向右平移米；②
【变式3】
【答案】(1)
(2)
(3)
▌题型10 表格问题
【典例10】
【答案】(1)
，
(2)
① ；③ ，
(3)
，
【变式1】
【详解】（1）解：描点，连线，画图如下：
猜想：与之间的关系可以近似的用一次函数表示．
（2）
．
（3）
最大为．
【变式2】
【答案】（），；（）；（）个．
【变式3】
【答案】(1)①
②描点连线绘制函数图形如下：
；
(2)
(3)
(4)
▌题型11 新情境问题
【典例11】
【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元
(2)的值为或，收入与的新关系式为
(3)，理由如下：
设净收益为W，
∴，
，
二次函数图象开口向下，
∴当时取得最大值，
由题意得，时净收益最大，
∴
解得．
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)解：至少需要部署4个基站，理由如下：
，
∵，函数图象开口向下，对称轴为，
∴当时，p随x增大而增大，
当时p取得最大值：
，
单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站；
(4)解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位：
弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位，
此时调整后的总带宽需求为：
，
当时y取得最大值，
代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间；
令原始，
即，
解得，
对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖，
∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少．
【变式2】
【答案】(1)；
(2)
(3)能获得满分
【变式3】
【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系．
函数表达式为；
②的取值范围为
(2)丙的平均速度为米/秒
▌题型12 实物中抽象出二次函数模型
【典例12】
【答案】(1)（）
(2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15
【变式1】
【答案】(1)
(2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学
【变式2】
【答案】(1)
(2)，
(3)需要设置安全挡板
【变式3】
【答案】(1)
(2)能
(3)向后移动米/ 让教学更有效
专题02 二次函数与实际问题
（题型突破·举一反三）
题型01 投球问题
题型02 拱桥问题
题型03 隧道问题
题型04 拱门问题
题型05 喷水问题
题型06 销售问题
题型07 几何图形问题
题型08 图形运动问题
题型09 跳跃问题
题型10 表格问题
题型11 新情境问题
题型12 实物中抽象出二次函数模型
▌题型01 投球问题
【典例1】（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，．
(1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ．
①求抛物线的解析式；
②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围．
(2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）．
【答案】(1)① ②
(2)
【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可；
（2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可．
【详解】（1）解：①， 为顶点，
则抛物线，
∵过点 代入得：
，
∴，
抛物线解析式为；
②解：抛物线经过点时，
，
，
抛物线经过点时，，
，
当时，点落在上．
（2）解：顶点，
抛物线解析式为，
抛物线过点，
，
，
，且抛物线过，
，
，
当时，
，
，
点在点正上方处．
【变式1】（2026·河北邯郸·三模）如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)求小球到斜坡的最大距离．
(3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，可证明，解直角三角形得到．求出直线的解析式为．设点的坐标为，则，可求出，求出的最大值即可得到答案；
（3）设，则，根据，可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入，得，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，如图所示．
∴，
∴，
∵，，
∴
∴．
∴．
设所在直线的解析式为，
将，代入得，
∴，
∴直线的解析式为．
设点的坐标为，则，
∴．
∴
．
∵，
∴当时，取最大值，
∴小球到斜坡的最大距离为．
（3）解：设，则，
∵，
∴，即，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或．
【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下：
0.1 0.2 0.3
0.8 1.6 2.4
(1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____
(2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式
(3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？
【答案】(1)8，1000
(2)
(3)
【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求；
（2）由（1）知，求出，消去即可；
（3）把代入二次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得；
把，代入，得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，．
．
．
钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为．
（3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远．
．
当，即，解得（负值已舍去）．
箱子左侧到点O的水平距离最远是．
【变式3】（2026·河南平顶山·三模）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分；
(3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离，
当时，，
解得，，
点坐标为或，
∵点在轴正半轴，
∴（不符合题意，舍去），
，
，
，
，
小明此次练习能得满分．
(3)
【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式．
（2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可．
（3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围，
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为
设抛物线的顶点式为：，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为：．
（2）略
（3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线，
，
点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，
∵同学身高，为了保证安全，此时，
此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为．
▌题型02 拱桥问题
先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
【典例2】（2026·河南新乡·三模）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行．
①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？
②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，）
【答案】(1)
(2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下：
，
在中，当时，，
∵，
∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥；
②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克
【分析】（1）以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为，根据题意可得点A和点C的坐标，据此利用待定系数法求解即可；
（2）①求出时，y的值，再与此时集装箱在水上的高度比较即可得到答案；②可求出集装箱在水上的部分最高为，那么需要增加的吃水深度最少为，再根据浮力等于重力和浮力计算公式建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
设此抛物线的函数表达式为，
由题意得，，
∴，
∴，
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：①略；
②在中，当时，，
当水面上涨到警戒水位时，集装箱在水上的部分最高为，
设应往集装箱内注入水的质量为t千克，
由题意得，，
解得，
∴t的最小值为800，
答：应往集装箱内至少注入水的质量为800千克．
【变式1】（2026·山西吕梁·二模）综合与实践
问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值．
数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米．
问题解决：
(1)①求该桥拱抛物线的函数表达式；
②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度．
(2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可．
【答案】(1)①；②44米
(2)98米
【分析】（1）①待定系数法求函数表达式；②根据题意可得点的纵坐标，代入解析式，解方程可得点的横坐标，即可求解；
（2）设点的横坐标为，表示出矩形的周长，根据二次函数的图象和性质求出最值．
【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为，纵坐标为9，即顶点坐标为．
设函数表达式为，
将原点代入上式，得，
解得，
∴该桥拱抛物线的函数表达式为；
②平台距离桥面的垂直距离为5米，即点的纵坐标，
将其代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴（米）．
答：该水平作业平台的长度为44米；
（2）解：设点的横坐标为，
由抛物线的对称性可知，点的横坐标为，
∴，
矩形的高即为点的纵坐标，．
设矩形的周长为，
∴
，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，函数随的增大而减小，
根据题意，边到桥墩距离不小于11米，即．
∴当取最小值11时，周长取得最大值．
当时，（米）．
答：单块宣传牌的周长最大值为98米．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：轴垂直平分，，
，，
由题意得，
设该抛物线的函数表达式为，将代入，
，
解得：
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图所示：
设，
∴，
∴点E的横坐标为x，
∴纵坐标为：，即，
∴，
∵灯饰C与其水中倒影之间的距离，
∴，
∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴．
【变式3】（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）毕节市纳雍县境内总溪河特大桥是实现县县通高速的重要工程，大桥飞架在总溪河峡谷上，让乌蒙山区天堑变通途．总溪河特大桥的主桥拱为抛物线型，它的截面是抛物线的一部分，如图①，顶点在C处，对称轴与水平线垂直，千米，千米．
(1)求抛物线的关系式；
(2)如图②，为了桥面美观，在桥面下千米处安装直线型彩灯，左右两边各拉了一条缆绳、，两条缆绳与彩灯交于两点M、N，求的长度；
(3)点为抛物线上一点且，当的面积最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)的长度为千米；
(3)．
【分析】（1）由题意可得，设抛物线的关系式为，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线，直线的解析式，再求出点的坐标，即可解答；
（3）分和两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
∵点为抛物线的顶点，
设抛物线的关系式为，
则，解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得点的纵坐标为，则，解得；
设直线的解析式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得点的纵坐标为，则，解得；
∴（千米），
答：的长度为千米；
（3）解：由（1）知抛物线的关系式为，
∴，
当时，过点作轴的垂线交于点，如图，
由（2）知直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大面积为，
则，即；
当时，过点作轴的垂线交于点，如图，
∴，
∴，
∵在时，随的增大而增大，在时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大面积为，
则，即；
∵，
∴当的面积最大时，点P的坐标为．
▌题型03 隧道问题
【典例3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
(1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）．
【答案】(1)1.55米
(2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
(3)3.5米
【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答．
（2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答．
（3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴（米）．
（2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为()，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴．
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米)，
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
（3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或
【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质．
（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可；
（3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
（4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
代入顶点式得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下：
当宽、高的厢式货车从隧道驶过时，
∴，
∴代入解析式得：；
∴，
∴厢式货车能顺利通过隧道；
（3）假设，可得，
∴；
∵矩形的周长为l，
∴，
∴当时，l的最大值为：；
（4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，，
∴，，
过点P作于点M，
∵，
∴，，
∴，，
如图，分以下三种情况：
当时，根据旋转的性质得，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
当时，；
当时，；
综上所述，旋转角的度数为或或．
【变式2】（2026·陕西西安·三模）如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
解：他能刷到正上方的玻璃隧道，理由如下：
如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E
根据题意得，，
∴
∴
∴将代入
∴
∴
∴他能刷到正上方的玻璃隧道．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E，首先求出，，然后求出，得到，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
设抛物线解析式为，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）略
【变式3】（23-24九年级上·贵州安顺·期末）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基，宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示）
②已知人行道台阶，高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：）．
【答案】(1)原计划每天修20米
(2)①；
②人行道宽度设计达标，理由如下：
∵车的宽度为4米，车从正中通过，
如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令，则有：，
解得：（舍弃负值），
∴人行道台阶的宽度为：，
∴人行道宽度设计达标．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令时求得，然后再减去0.5即可解答；③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令可解答点G的横坐标为，然后求出的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米，
则根据题意可得：，
解得：（舍去，不符合实际）或，
经检验，是分式方程的解．
答：原计划每天修20米；
（2）解：①根据题意可得：，
设抛物线的函数表达式为，
由题意可得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为，
②略
▌题型04 拱门问题
【典例4】（2026·山西阳泉·二模）综合与实践
问题情境：
为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语．
数学建模：
如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式．
问题解决：
(2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度．
(3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可得答案；
（2）根据，间的水平距离为，得出点的横坐标为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可；
（3）先求出列纵队的宽度为，可得第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可．
【详解】（1）解：∵充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面，点为坐标原点，
∴抛物线顶点为，其坐标为，
设该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
∴该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵两根同样高立柱，间的水平距离为，，
∴点的横坐标为，
当时，．
答：立柱的高度为．
（3）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵各班同学排成列纵队依次通过“成功门”，且相邻两列纵队之间的水平间距保持，
∴列纵队的宽度为，
∴通过“成功门”时，第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为，
∵当时，．
∴班旗旗顶到地面垂直距离的最大值为．
【变式1】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值；
(3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)米
(3)以为中心，在、、、、、、、、、、的位置悬挂灯笼
【分析】（1）根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设点的坐标是，则有支撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需支撑杆长度和的最大值为；
（3）因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，解一元二次方程得到时，两点之间的水平距离为，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼，据此写成方案，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点的坐标是，
为的中点，，，
∴点的坐标是，
设抛物线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是；
（2）解：设点的坐标是，则由抛物线的对称性可得，
则，，
则支撑杆的长度和是，
整理得，
∴当时，所需支撑杆长度和的最大值为米；
（3）解：由（1）知，抛物线的函数表达式是，
令，
整理得，
解得，
∴时，两点之间的水平距离为，
要让数量最多，相邻间隔取1米，最多可以悬挂灯笼的数量是个．
悬挂方案：以O为中心，在、、、、、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼．
【变式2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数的解析式．
根据抛物线型拱门的跨度，拱高，可得：，，所以方案一中抛物线的顶点，可以设抛物线的函数表达式为，把原点的坐标代入解析式，得到关于的方程，解方程求出的值即可；
令，可得一元二次方程：，解方程求出的两个值即为点、的横坐标，根据两点的横坐标求出线段的长度，根据矩形的面积求出的值，再与比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意知：，，
方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解得：或，
，
，
，
．
【变式3】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形．
工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题．
方案分析：在图1中，具体结构与数据如下：
①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为．
②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽．
建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式；
问题解决：
(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）．
①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径；
②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)①圆形校徽的直径为；②
【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设对应的函数表达式为，将点、代入求解即可；
（2）①令对应的函数表达式为，由，可得方程，由点坐标可得，结合求解出对应的、，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出当时，对应的值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离的最小值，故求解值即可．
【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上，
且点、、、、，
故假设对应的函数表达式为，
将点、代入 ，
得，解得，
故对应的函数表达式为．
（2）解：①令对应的函数表达式为，
当时，对应的函数值为．
∴，
结合点，得，
故可得方程组，解得，
∴对应的函数表达式为，
故点，
∴．
②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过，
即，
当时，得，
解得，
∴两个摄像头之间水平距离的最小值为．
▌题型05 喷水问题
【典例5】（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系．
信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下：
时间 0 0.10 0.20 0.30
水平距离 0 0.10 0.20 0.30
竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35
信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)v的值是______；
(2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？
(3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________．
【答案】(1)1；
(2)；
(3)．
【分析】（1）依据题意，由水平距离x与时间t的关系为，结合表格中的数据求解即可；
（2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出时，x的值，然后根据时间距离速度，即可得到答案；
（3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，当时，，当时，，分别求出的值，最后下结论即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：设抛物线解析式为，
由表格得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当时，
解得或（舍去），
∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过；
（3）解：设平移后的抛物线解析式为，
∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且，
∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得；
当水落在花盆最右边时，时，，解得；
∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为．
【变式1】（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为．
(1)求，的值；
(2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？
(3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？
【答案】(1)，
(2)水流高度能达到的最大高度是米
(3)消防车从点沿方向应至少前进米
【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可；
（2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案；
（3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
将和代入中，得，
解得；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式为：，
将表达式转化为顶点式为：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴水流高度能达到的最大高度是米；
（3）解：令，即，整理得：，
解得：，，
∵点在点正前方米处，
∴，
∴至少需前进（米），
∴消防车从点沿方向应至少前进米.
【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．
问题解决
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
(2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标．
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围．
【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为
(2)点的坐标为
(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，即可求得抛物线的解析式；令，求得x的值，即可确定最大射程；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即可得点B的坐标；
（3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而确定的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，解得：，
上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则，解得或（舍去），
洒水车喷出水的最大射程为.
（2）解：∵，
∴的对称轴为直线，
点的对称点为，
平移后仍过点，
是由向左平移得到的，
，点是由点向左平移得到的，
点的坐标为．
（3）解：由题意可得，当点与点重合时，最小，
点的坐标为，
，
的最小值为，
当点在抛物线上时，最大，也最大
，
点的纵坐标为，
当时，解得或（舍去），
的最大值为，
的最大值为，
的取值范围为：．
【变式3】（2026·江苏淮安·二模）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点．
素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米．
【项目任务】
(1)任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式．
(2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：）
(3)任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约7.6米
(3)的最小值约米
【分析】任务一：因为抛物线开口方向和大小与相同，所以可设抛物线解析式为，再将点和点的坐标代入，求解未知系数即可得到解析式．
任务二：先设薄膜所在直线的解析式，根据薄膜与地面夹角为确定直线斜率；再根据“水与薄膜距离至少10厘米”的条件，结合点到直线的距离公式，建立抛物线点到直线的距离不等式，求解对应横坐标即可得到水平距离．
任务三：因为要使挡板材料最少即长度最小，所以是点到抛物线的最短距离，设抛物线上点的坐标，用两点距离公式表示的长度，结合抛物线解析式求表达式的最小值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线开口大小和方向与相同，
∴设解析式为．
由题意得喷水口，
代入，得 ；
再将落水点代入，得，
解得．
∴抛物线解析式为：．
（2）解：设薄膜与x轴交点为，
∵薄膜与地面夹角为，
∴薄膜所在直线与y轴交点为，
设薄膜所在直线解析式为，
则，
解得，
∴薄膜所在直线解析式为．
设抛物线上一点到直线的距离为，要求水到薄膜的垂直距离至少为，即，
过点E作轴，过点F作轴，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
化简得，
∵x值唯一，
∴，
解得．
即薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约为7.6米时满足要求．
（3）解：设抛物线上点，
∵，
∴，
∵抛物线解析式，
∴整理得，
代入得：，
∵抛物线的范围为，
∴当时，最小为，
得（米）．
∴最小值约米．
▌题型06 销售问题
利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
【典例6】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
(1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率．
(2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件．
①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？
②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．
【答案】(1)；
(2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元．
【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解；
②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为；
（2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：
解得：，
又∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件应降价10元．
②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件
则
，
，
∴当时，w有最大值，最大值为3310，
∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元．
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品去年每个月的销售情况后发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品去年第（为整数）个月每台的销售价格为元，关于的函数关系如图所示．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)设该产品去年第个月的销售数量为万台，且．求第几个月的销售收入最多？最多为多少万元？
【答案】(1)与的函数解析式为
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【分析】（1）根据函数图象，分段求得解析式，即可求解；
（2）设月销售收入为万元，分情况讨论，①当时，②当时，根据题意列出函数关系式，根据函数的性质，求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：①当时，设与的函数解析式为，
图象过点，，
，解得：．
当时，．
②当时，．
答：与的函数解析式为．
（2）解：设月销售收入为万元，
①当时，，
．
，，
当时，最大，且的最大值为3375．
②当时，，.
，
随的增大而增大．
又，
当时，最大，且的最大值为3300．
，
的最大值为3375．
答：第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【变式2】（2026·新疆·三模）某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示．
(1)求函数，的解析式．
(2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系．
(3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？
【答案】(1)；．
(2)当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大．
(3)当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元
【分析】（1）设函数的解析式为：；把点代入，求出即可；设函数的解析式为：；把，，，代入函数解析式，求出，即可；
（2）根据函数图象，进行解答，即可；
（3）设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，，饲养种肉羊的投资金额为万元，可得，根据二次函数的图象和性质，求出最大值即可．
【详解】（1）解：设函数的解析式为：；函数经过点，
∴，
∴，
∴；
设函数的解析式为：；函数经过点，，，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：由函数图象可知；当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大．
（3）解：设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，饲养种肉羊的投资金额为万元，
∴，
整理得：，
配方可得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；此时；
∴当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元．
【变式3】（2026·山西忻州·二模）综合与实践
【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析．
【信息收集】
信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件．
信息②：该款刻花瓷的售价（元）不低于80元．
信息③：该款刻花瓷的月销量（件）与售价（元）关系如下表所示．
售价x（元） 90 95 100 105 110
月销量y（件） 108 104 100 96 92
信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150件．
【问题解决】
(1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价（元）之间是_____关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量（件）与售价（元）之间的函数关系式为__________．
(2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是多少元？
(3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题：
①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价（元）的取值范围；
②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及对应的月销量．
【答案】(1)一次函数，
(2)当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元
(3)① ；②单价元，销量件
【分析】（1）由表格数据观察，售价每增加5元，销量减少4件，变化量均匀，符合一次函数特征，设 ，代入两组数据求解即可；
（2）设月利润为元，由月利润=（售价-成本）×销量-固定成本 ，列出，再将二次函数配方，根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）①令解二次方程得或，结合抛物线开口向下，得的解集为，
②销量随售价的增大而减小，要销量最大需售价最低，故取，代入销量公式得件即可．
【详解】（1）解：由表格数据观察，售价每增加5元，销量减少4件，变化量均匀，
因此月销量y（件）与售价（元）之间是一次函数关系，
可设 ，
将代入可得，
，解得，
因此；
（2）解：设月利润为元，由题意可得，
，
当时，不低于元，符合题意，
此时最大，为5125元．
答：当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元．
（3）解：①令，得 ．
解得 ．
由（2）知 ，
抛物线开口向下．
当时， ．
②尽可能提高销量，
单价应最小，即元．
此时销量 （件）．
▌题型07 几何图形问题
求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.
【典例7】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料：
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．
请解决下列问题：
(1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)、小、
(2)、大、5
(3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；
（2）根据阅读材料即可求解；
（3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）当时，代数式有最小值；
（2）代数式
当时，代数式有最大值5．
（3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得
，当时，有最大值32，
答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是．
【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为46米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米．
(1)如图1，当时，
①_________米（用含x的代数式表示）．
②若围成的养鸡场面积为160平方米，求的长．
(2)如图2，当时，直接写出养鸡场可达到的最大面积_________．
【答案】(1)①；②20米
(2)210.25平方米
【分析】（1）①木栏长门长；
②养鸡场的面积，把相关数值代入求得合适的x的解即可；
（2）（木栏长门长+墙长），设养鸡场的面积为y，进而根据二次函数的性质可得y的最大值．
【详解】（1）解：①米；
②根据题意得，，
解得：，，
当时，，所以舍去；
答：的长为20米；
（2）解：，则当时，，
∴，解得，
设养鸡场的面积为，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，（平方米）．
答：当时，求养鸡场可达到的最大面积为210.25平方米．
【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设．
(1)用含有的式子表示的长；
(2)求围成的“”型区域的最大面积；
(3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案：
方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位；
方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年．
渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长；
（2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值；
（3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解．
【详解】（1）解：为的中点，
．
∵矩形和面积相等，
，
，
．
，
，
．
．
（2）解：∵矩形和面积相等，
．
当时，．
（3）解：∵每作为1个面积单位，
∴为30个面积单位．
方案一每年净收入：（元），
方案二每年净收入：（元），
则，解得．
【变式3】（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路；
方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
(1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式．
(2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式．
(3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
【答案】(1)
(2)
(3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为
【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解；
（2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解；
（3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设菜地的宽为米，
∵长、宽比为的长方形菜地，
∴菜地的长为米，
∴小路面积S关于的函数表达式为；
（2）解：设道路的宽为米，根据题意得：
，
即菜地面积关于的函数表达式；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
由（2）得：菜地面积关于的函数表达式，
∵，，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为．
▌题型08 图形运动问题
对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置，这是普遍规律.
【典例8】（25-26九年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S．
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)当点E落在边上时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意易得然后根据矩形的性质可进行求解；
（2）由题意可知此时，然后问题可求解；
（3）由题意可分和进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
由题意得：，
∴；
（2）解：当点E落在边上时，则有，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：由题意可分：①当时，设与分别交于点，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
当时，此时在矩形的内部，
∴；
综上所述：S与t的函数关系式为．
【变式1】（2026·吉林·一模）如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S．
(1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）．
(2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)S关于t的函数解析式为
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意可分：①当点P在上时，即，②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，然后分类进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：当点P在上时，；
（2）解：由题意可分：①当点P在上时，即，过点Q作，如图所示：
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
由题意可知：，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，过点P作，如图所示：
∴，，
同理可得，
∴；
综上所述：S关于t的函数解析式为．
【变式2】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求点N的纵坐标；
(2)求四边形面积的最大值．
【答案】(1)点N的纵坐标为
(2)
【分析】本题考查了图形与坐标，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与图形运动综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，结合矩形的性质以及旋转的性质，得出，得出，故点N的纵坐标为；
（2）与（1）同理得，点N的纵坐标为，得出，则四边形面积，代入数值计算，得出四边形面积，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：过点N作于T，如图所示：
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点N的纵坐标为；
（2）解：设点，其中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
与（1）同理得，点N的纵坐标为；
∴，，
∴，
四边形面积
，
∵，
∴当时，四边形面积有最大值，且为．
【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间．
【答案】(1)当或时，的长度等于
(2)当时，的面积等于
(3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解
【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可；
（2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可；
（3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值．
【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，
∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为，
∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，，，
∴当或时，的长度等于；
（2）解：，
∴，
整理得，，
因式分解得，，
解得，，（舍去），
∴当时，的面积等于；
（3）解：不能等于，面积的最大值为，理由如下，
根据题意，，
整理得，，
∵，
∴原方程无解，
∴面积的最大值不能等于，
，
∴当时，面积的最值，最大值为，
∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为．
▌题型09 跳跃问题
【典例9】（2026·广西南宁·二模）【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足．
【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系．
(1)当，时，则，；
(2)用含，的式子来表示，的长度，并求出的值；
【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，．
(3)①求的值；
②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围．
【答案】(1)6，9
(2)，，
(3)①；②
【分析】（1）当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，即可求出点A的坐标，得到的长，将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点B的坐标，得到的长；
（2）同（1）思路求解即可；
（3）①由（2）可得，，则，，根据两次共跳了远，即可得到．
②根据两次跳跃的高度和均小于，得到，求出，由（2）可得，得到，即可求解．
【详解】（1）解：当，时，跳跃轨迹为抛物线，
令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
（2）解：对于抛物线，
令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
∴．
（3）解：①∵每段跳跃轨迹均可用，
∴，
∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为，
由（2）可知，，，
∴，，
∵两次共跳了远，即，
∴．
②由①有，
∴，
∵两次跳跃的高度和均小于，
∴，
∴，
∵跳跃轨迹均可用，
∴由（2）可得，
∴，
解得．
【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上的点起跳，落在水平地面上的点，以点为原点，所在的直线为轴，过点且与水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人经过障碍物的点，则视为恰好越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面．若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变．
(1)当时，求机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式．
(2)当机器人跳跃一次恰好越过障碍物，求此时的值．
(3)当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平面上的区域内（不含点）时，，，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象可知，机器人运动路线的最高点为，设出函数表达式的顶点式，再将点代入函数表达式求解即可．
（2）先表示出机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式，再将，代入求解即可．
（3）将点，的坐标代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，机器人运动路线的最高点为，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵从点处起跳，且，
将点代入可得，，解得，
∴机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式为．
（2）解：机器人从点处起跳，
此时机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为，
∵机器人跳跃一次恰好越过障碍物，
此时，代入表达式，解得．
（3）解：由（2）可知，机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为，
且机器人跳跃一次恰好越过障碍物，需满足，
由题意可知，，，
当机器人落在E点时，将代入可得，，
解得，
当机器人落在F点时，将代入可得，，
解得，
综上，当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平面上的区域内（不含点）时，的取值范围为．
【变式2】（2026·广东深圳·二模）央视春晚的舞台上，武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究：
信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变．
信息2：如图1，以机器人起跳点为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米．
请根据上述信息解决下列问题：
(1)求图1中抛物线的函数表达式；
(2)在点正前方的水平地面上有一个正方形台阶，其中米，米．
①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶，则机器人至少需向右平移多少米？
②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯，其中米，米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为米，跳跃后落在台阶上（含点、），求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①机器人至少需向右平移米；②
【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点为，且过原点，利用待定系数法求解即可；
（2）①先根据题意得出，设机器人向右平移米，则，将代入求解即可；
②利用待定系数法求出，设起跳点的坐标为，则原抛物线的顶点变为，进而得到新抛物线的解析式，再求出新抛物线经过点和时的值，结合图象确定取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为，且过原点，
设，
将代入得：，
解得：，
（2）解：①米，米，正方形台阶，
米，米，
，
设机器人向右平移米，则，
将代入得：，
整理得：，
解得：，（舍去）；
答：机器人至少需向右平移米．
②设直线的解析式为，
代入，得
，解得：，
，
设起跳点的坐标为，
起跳点从变为，
原抛物线的顶点变为，
新抛物线的解析式为，
当新抛物线经过点时，，
解得：，（舍去）
当新抛物线经过点时，，
解得：，（舍去）
结合图象可得．
【变式3】（2026·广东惠州·二模）综合与应用：
央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线．以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶，截面宽米，竖直高为米，请根据上述信息解决下列问题：

(1)求图1中抛物线的函数表达式；
(2)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶，求台阶应放在离点多远处？（求的取值范围）
(3)如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，机器人从滑梯上起跳，米，米，此时米，起跳点的横坐标记为，跳跃后刚好落在台阶顶面的中点处，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出顶点坐标，且抛物线经过原点，使用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出第二次起跳点的坐标，对比两次起跳点的坐标，通过平移求出第二起跳的解析式，再令，求出对应的的值，从而得到的取值范围；
（3）先求出的解析式，从而得到起跳点的坐标，对比（2）的解法求出起跳的抛物线解析式，根据题意得出的中点的坐标，代入求出的值．
【详解】（1）解：根据题意可知，图1中抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：将代入，得，
，
解得或，
∴第一次落地点的坐标为，即第二次起跳点的坐标为，
根据题意，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线，
∴第二次跳跃的抛物线等同于第一次跳跃的抛物线向右平移4个单位得到，
∴第二次跳跃的抛物线为，
将代入，得，
，
解得或，
机器人想要越过长方体台阶，则点和点必须在抛物线的内部，
∴，且，
∴．
答：台阶应放在离点O距离米处，即．
（3）解：设直线的解析式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴起跳点的坐标为，
对比（1）中的起跳点可知，此次起跳的抛物线可由向右平移个单位，向上平移个单位得到，
∴本次起跳的抛物线解析式为，
∵米，米，米，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴中点的坐标为，
将点代入，得，
，
整理，得，
解得或，
∵起跳点在滑梯上，
∴，
∴．
▌题型10 表格问题
【典例10】（2026·湖北·模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成任务．
我们知道：当两个数的和为定值时，它们的积会随着两个数的接近程度而变化．下面通过表格探究这一规律．已知两个正数，满足，下表列出了部分与对应的积．
10 11 12 13 …… 19
10 9 8 7 …… 1
100 99 96 …… 19
(1)观察与猜想：表格中的值为________，的最大值是________；
(2)推理与证明：设两个正数，满足（且为定值）．
①__________（用含和的代数式表示）；
②将配方得，；
③因此当时，的最大值为，其中________，________，（用含的代数式表示）；
(3)验证与应用：用一根长度为的绳子围成一个矩形．设矩形的一边长为，矩形面积为．当的值为_______时，的值最大，最大值是_______．
【答案】(1)
，
(2)
① ；③ ，
(3)
，
【分析】（1）利用有理数乘法法则即可求出；根据表格数据即可得出的最大值；
（2）①将代入计算即可；②利用配方法变形即可；③对比②中结论即可解答；
（3）先表示出矩形的面积，结合（2）③中结论即可解答．
【详解】（1）解：；
观察表格得的最大值是；
（2）解：①，
，
；
②，
③∵，，
∴，；
（3）解：由题意得矩形周长为，因此矩形两邻边之和为，
设矩形的一边长为，则另一边长为，矩形面积为．
∴，
由（2）③中结论知：当 时， 取得最大值，最大值为．
【变式1】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】
如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端P处由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢 12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
(1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似的用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
(2)【检验】根据猜想分别求出v与t，y与t之间的函数关系式．
(3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【答案】(1)作图见解析；一次
(2)，
(3)最大为
【分析】（1）描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可；
（2）待定系数法求出函数解析式即可；
（3）设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：描点，连线，画图如下：
猜想：与之间的关系可以近似的用一次函数表示．
（2）解：设，
把代入，得，解得：，
∴，
由图象猜想：y与之间的关系可以近似的用二次函数表示，设，
把点代入，得，解得，
∴．
（3）解：∵，设，
由题意，得：，
∴，
∴当时，最大为；
故最大为．
【变式2】（2024·江苏南京·模拟预测）小明同学在物理课上做弹簧测力实验，他将力的大小与弹簧伸长长度整理为如下表格：
（）__________；__________．
小刚同学使用不同的弹簧也做了相同实验，他的表格如下：
（）求出小刚使用的弹簧力与的函数表达式．
（）若小刚的弹簧最长伸长长度为，则他最多可以测多少个的物体？
【答案】（），；（）；（）个．
【分析】（）由表格数据可得，即得，据此即可求解；
（）由表格数据可得是的二次函数，顶点为原点，设，利用待定系数法解答即可求解；
（）把代入（）中所得的函数表达式求出的值即可求解；
本题考查了正比例函数和二次函数的应用，根据表示判定出变量之间的函数关系是解题的关键
【详解】解：（）由表格可得，，
∴，
∴，，
故答案为：，；
（）由表可知，是的二次函数，顶点为原点，设，
把代入得，，
∴，
∴小刚使用的弹簧力与的函数表达式为；
（）把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴他最多可以测个的物体．
【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）项目背景：深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统．无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户．以仓库为原点，地面（水平方向）为 轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为 轴建立平面直角坐标系．
(1)在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表
水平距离x/ m 0 10 20 40 50 60 70 80
竖直高度 0 35 60 75 80 75 60 35 0
①直接写出无人机飞行轨迹的二次函数表达式是 ；
②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象（作图时，至少要描绘出表格中的9个点）．
【任务二：调整仓库位置避开高架桥】
(2)因高架桥施工，仓库需向左平移米，并向上平移2米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某小区住户坐标．为了节约迁移成本，左移距离不能太长，求满足以上条件且左移距离最短时 的值．
【任务三：优化重型包裹投递路径】
(3)将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与低务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
【任务四：评估调整后的投递安全性】
(4)任务二中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米．直接写出这时 的值是 ．
【答案】(1)①
②描点连线绘制函数图形如下：
；
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的应用，理解题意，将题目中的数据和函数关系联系起来是解题的关键．
（1）①由待定系数法即可求解；②描点连线绘制函数图象即可；
（2）平移后的表达式为， 将代入上式求出 值即可求解；
（3）由（2）知，新抛物线的表达式为，当时，当时，，则，即可求解；
（4）当时，函数在时和 时取得最大和最小值，则，求解；，同理可解．
【详解】（1）解：①由表格数据知，函数的顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
故答案为：；
②略
（2）解：平移后的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：(舍去)或；
（3）解：由（2）知，新抛物线的表达式为，
当时，，当时， ，
则，
解得：，
（4）解：，
当时，
函数在时 时取得最大和最小值，则，
解得：(不合题意的值已舍去)；
当时，则抛物线在顶点处取得最大值；
当 时， ，不符合题意；
当时，，
则
解得：(舍去)或(舍去)，
综上，.
▌题型11 新情境问题
【典例11】（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表：
1 2 3 4 5
50 100 150 200 250
条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
(1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？
(2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式；
【模型应用】
(3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元
(2)的值为或，收入与的新关系式为
(3)，理由如下：
设净收益为W，
∴，
，
二次函数图象开口向下，
∴当时取得最大值，
由题意得，时净收益最大，
∴
解得．
【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可；
（2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；
（3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值．
【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设，
将，代入得，
∴与的函数关系式为，
当时，（元）；
（2）解：收支平衡满足，
∴
解得，，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入与的新关系式为；
（3）略
【变式1】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量．
【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ．
【模型应用】
(1)第______分钟，现场总设备数达到1400台．
(2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式．
(3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由．
(4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少．
【答案】(1)
(2)
(3)解：至少需要部署4个基站，理由如下：
，
∵，函数图象开口向下，对称轴为，
∴当时，p随x增大而增大，
当时p取得最大值：
，
单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站；
(4)解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位：
弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位，
此时调整后的总带宽需求为：
，
当时y取得最大值，
代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间；
令原始，
即，
解得，
对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖，
∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少．
【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间；
（2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p和总设备数y的函数关系式，再将y关于x的表达式代入，展开整理得到p关于x的最终表达式，标注对应的x的取值范围；
（3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上取整得到最少需要部署的基站数量；
（4）先假设部署比原方案少1个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少．
【详解】（1）解：将代入总设备数关系式：
整理得：
解得，
∵，
∴；
（2）解：∵媒体设备占总设备数，单台带宽2单位，普通设备占总设备数，单台带宽1单位，
∴，
代入，
；
（3）解：略；
（4）解：略．
【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远．
【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度．
【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画．
【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下：
离手角度为时：；
离手角度为时：；
离手角度为时：．
通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数．
(1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ；
(2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度；
(3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？
【答案】(1)；
(2)
(3)能获得满分
【分析】（1）用x表示t，并代入y关于t的表达式中即可；
（2）观察图象即可；
（3）令，求得x的值，据此即可判断．
【详解】（1）解：当离手角度为时，，
代入得，
则关于的函数表达式；
离手角度为时，，
代入得，
则关于的函数表达式；
（2）解：观察图象知，从下往上，离手角度分别为，显然，离手角度为时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度；
（3）解：令，
解得（舍去），
∵，
∴，
∵，
∴以最佳离手角度投掷实心球时，能获得满分．
【变式3】（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
(1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为．
①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系．
函数表达式为；
②的取值范围为
(2)丙的平均速度为米/秒
【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解；
②当时，，由题意得，，即可求解；
（2）当时，，求得，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：，
把代入，得，
解得，
∴函数表达式为：．
②当时，，
由题意得，，
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
∴的解集为；
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
∴的解集为或；
由题意得，，
综上所述，的取值范围为．
（2）解：当时，，
解得，（舍去），
∴丙的平均速度为（米/秒）．
▌题型12 实物中抽象出二次函数模型
【典例12】（2026·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点．
(1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式；
(2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差．
【答案】(1)（）
(2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15
【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解；
（2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解；
②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点，
设，
点在描述与关系的抛物线上，
，解得，
与的函数关系式为；
（2）解：①．
∴，开口向下，
又，
当时，取得最大值，此时．
两种麦田每亩施氮量相同，
当时，，
此时．
答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克．
②∵，，
∴的最大值为646，的最大值为309．
．
令
，
当时，有最大值，为940．
，
．
【变式1】（2026·广东佛山·三模）【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中/ 让教学更有效
专题02 二次函数与实际问题
（题型突破·举一反三）
题型01 投球问题
题型02 拱桥问题
题型03 隧道问题
题型04 拱门问题
题型05 喷水问题
题型06 销售问题
题型07 几何图形问题
题型08 图形运动问题
题型09 跳跃问题
题型10 表格问题
题型11 新情境问题
题型12 实物中抽象出二次函数模型
▌题型01 投球问题
【典例1】（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，．
(1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ．
①求抛物线的解析式；
②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围．
(2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）．
【变式1】（2026·河北邯郸·三模）如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)求小球到斜坡的最大距离．
(3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标．
【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下：
0.1 0.2 0.3
0.8 1.6 2.4
(1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____
(2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式
(3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？
【变式3】（2026·河南平顶山·三模）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分；
(3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围．
▌题型02 拱桥问题
先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
【典例2】（2026·河南新乡·三模）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行．
①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？
②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，）
【变式1】（2026·山西吕梁·二模）综合与实践
问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值．
数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米．
问题解决：
(1)①求该桥拱抛物线的函数表达式；
②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度．
(2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．
【变式3】（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）毕节市纳雍县境内总溪河特大桥是实现县县通高速的重要工程，大桥飞架在总溪河峡谷上，让乌蒙山区天堑变通途．总溪河特大桥的主桥拱为抛物线型，它的截面是抛物线的一部分，如图①，顶点在C处，对称轴与水平线垂直，千米，千米．
(1)求抛物线的关系式；
(2)如图②，为了桥面美观，在桥面下千米处安装直线型彩灯，左右两边各拉了一条缆绳、，两条缆绳与彩灯交于两点M、N，求的长度；
(3)点为抛物线上一点且，当的面积最大时，求点P的坐标．
▌题型03 隧道问题
【典例3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
(1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）．
【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
（3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
【变式2】（2026·陕西西安·三模）如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明．
【变式3】（23-24九年级上·贵州安顺·期末）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基，宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示）
②已知人行道台阶，高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：）．
▌题型04 拱门问题
【典例4】（2026·山西阳泉·二模）综合与实践
问题情境：
为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语．
数学建模：
如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式．
问题解决：
(2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度．
(3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值．
【变式1】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值；
(3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：）
【变式2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
【变式3】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形．
工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题．
方案分析：在图1中，具体结构与数据如下：
①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为．
②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽．
建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式；
问题解决：
(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）．
①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径；
②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）．
▌题型05 喷水问题
【典例5】（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系．
信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下：
时间 0 0.10 0.20 0.30
水平距离 0 0.10 0.20 0.30
竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35
信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)v的值是______；
(2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？
(3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________．
【变式1】（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为．
(1)求，的值；
(2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？
(3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？
【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．
问题解决
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
(2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标．
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围．
【变式3】（2026·江苏淮安·二模）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点．
素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米．
【项目任务】
(1)任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式．
(2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：）
(3)任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值．
▌题型06 销售问题
利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
【典例6】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
(1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率．
(2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件．
①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？
②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品去年每个月的销售情况后发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品去年第（为整数）个月每台的销售价格为元，关于的函数关系如图所示．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)设该产品去年第个月的销售数量为万台，且．求第几个月的销售收入最多？最多为多少万元？
【变式2】（2026·新疆·三模）某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示．
(1)求函数，的解析式．
(2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系．
(3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？
【变式3】（2026·山西忻州·二模）综合与实践
【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析．
【信息收集】
信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件．
信息②：该款刻花瓷的售价（元）不低于80元．
信息③：该款刻花瓷的月销量（件）与售价（元）关系如下表所示．
售价x（元） 90 95 100 105 110
月销量y（件） 108 104 100 96 92
信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150件．
【问题解决】
(1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价（元）之间是_____关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量（件）与售价（元）之间的函数关系式为__________．
(2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是多少元？
(3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题：
①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价（元）的取值范围；
②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及对应的月销量．
▌题型07 几何图形问题
求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.
【典例7】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料：
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．
请解决下列问题：
(1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为46米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米．
(1)如图1，当时，
①_________米（用含x的代数式表示）．
②若围成的养鸡场面积为160平方米，求的长．
(2)如图2，当时，直接写出养鸡场可达到的最大面积_________．
【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设．
(1)用含有的式子表示的长；
(2)求围成的“”型区域的最大面积；
(3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案：
方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位；
方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年．
渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）．
【变式3】（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路；
方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
(1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式．
(2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式．
(3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
▌题型08 图形运动问题
对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置，这是普遍规律.
【典例8】（25-26九年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S．
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)当点E落在边上时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【变式1】（2026·吉林·一模）如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S．
(1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）．
(2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
【变式2】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求点N的纵坐标；
(2)求四边形面积的最大值．
【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间．
▌题型09 跳跃问题
【典例9】（2026·广西南宁·二模）【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足．
【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系．
(1)当，时，则，；
(2)用含，的式子来表示，的长度，并求出的值；
【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，．
(3)①求的值；
②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围．
【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上的点起跳，落在水平地面上的点，以点为原点，所在的直线为轴，过点且与水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人经过障碍物的点，则视为恰好越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面．若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变．
(1)当时，求机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式．
(2)当机器人跳跃一次恰好越过障碍物，求此时的值．
(3)当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平面上的区域内（不含点）时，，，直接写出的取值范围．
【变式2】（2026·广东深圳·二模）央视春晚的舞台上，武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究：
信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变．
信息2：如图1，以机器人起跳点为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米．
请根据上述信息解决下列问题：
(1)求图1中抛物线的函数表达式；
(2)在点正前方的水平地面上有一个正方形台阶，其中米，米．
①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶，则机器人至少需向右平移多少米？
②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯，其中米，米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为米，跳跃后落在台阶上（含点、），求的取值范围．
【变式3】（2026·广东惠州·二模）综合与应用：
央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线．以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶，截面宽米，竖直高为米，请根据上述信息解决下列问题：

(1)求图1中抛物线的函数表达式；
(2)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶，求台阶应放在离点多远处？（求的取值范围）
(3)如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，机器人从滑梯上起跳，米，米，此时米，起跳点的横坐标记为，跳跃后刚好落在台阶顶面的中点处，求的值．
▌题型10 表格问题
【典例10】（2026·湖北·模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成任务．
我们知道：当两个数的和为定值时，它们的积会随着两个数的接近程度而变化．下面通过表格探究这一规律．已知两个正数，满足，下表列出了部分与对应的积．
10 11 12 13 …… 19
10 9 8 7 …… 1
100 99 96 …… 19
(1)观察与猜想：表格中的值为________，的最大值是________；
(2)推理与证明：设两个正数，满足（且为定值）．
①__________（用含和的代数式表示）；
②将配方得，；
③因此当时，的最大值为，其中________，________，（用含的代数式表示）；
(3)验证与应用：用一根长度为的绳子围成一个矩形．设矩形的一边长为，矩形面积为．当的值为_______时，的值最大，最大值是_______．
【变式1】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】
如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端P处由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢 12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
(1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似的用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
(2)【检验】根据猜想分别求出v与t，y与t之间的函数关系式．
(3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【变式2】（2024·江苏南京·模拟预测）小明同学在物理课上做弹簧测力实验，他将力的大小与弹簧伸长长度整理为如下表格：
（）__________；__________．
小刚同学使用不同的弹簧也做了相同实验，他的表格如下：
（）求出小刚使用的弹簧力与的函数表达式．
（）若小刚的弹簧最长伸长长度为，则他最多可以测多少个的物体？
【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）项目背景：深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统．无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户．以仓库为原点，地面（水平方向）为 轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为 轴建立平面直角坐标系．
(1)在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表
水平距离x/ m 0 10 20 40 50 60 70 80
竖直高度 0 35 60 75 80 75 60 35 0
①直接写出无人机飞行轨迹的二次函数表达式是 ；
②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象（作图时，至少要描绘出表格中的9个点）．
【任务二：调整仓库位置避开高架桥】
(2)因高架桥施工，仓库需向左平移米，并向上平移2米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某小区住户坐标．为了节约迁移成本，左移距离不能太长，求满足以上条件且左移距离最短时 的值．
【任务三：优化重型包裹投递路径】
(3)将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与低务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
【任务四：评估调整后的投递安全性】
(4)任务二中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米．直接写出这时 的值是 ．；
▌题型11 新情境问题
【典例11】（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表：
1 2 3 4 5
50 100 150 200 250
条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
(1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？
(2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式；
【模型应用】
(3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
【变式1】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量．
【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ．
【模型应用】
(1)第______分钟，现场总设备数达到1400台．
(2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式．
(3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由．
(4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少．
【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远．
【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度．
【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画．
【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下：
离手角度为时：；
离手角度为时：；
离手角度为时：．
通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数．
(1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ；
(2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度；
(3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？
【变式3】（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
(1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为．
①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
▌题型12 实物中抽象出二次函数模型
【典例12】（2026·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点．
(1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式；
(2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差．
【变式1】（2026·广东佛山·三模）【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；
步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2：
（2）9名跳绳同学身高如表．
身高（）
人数
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
(1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
(2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
【变式2】（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）“放烟花”可追溯至先秦，成型于隋唐，兴盛于两宋，鼎盛于明清．如图①，烟花燃烧后产生五彩缤纷的视觉效果．数学研习小组对某款烟花燃放时相关问题展开研究，小组成员将烟花 放在立柱 上，其中，，点燃烟花，火星从点 处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在如图②所示的直角坐标系中，（）表示火星离地面的高度， （）表示火星与喷射点 的水平距离，左侧火星下落路径可以用二次函数刻画．
(1)填空： ；
(2)如图②，抛物线与关于轴对称，求抛物线的表达式及其顶点坐标；
(3)如图③，为了增强烟花的观赏效果，将另一个同款烟花放在地面点 处，利用下落火星将其点燃，使得点 处喷出火星，产生连续燃放的视觉效果．火星路径分别是抛物线，的一部分（，的形状相同）．为了确保安全，若火星落地点 与点 的距离超过，则需要设置安全挡板，请通过计算判断是否需要设置安全挡板．
【变式3】（2026·江西宜春·二模）为弘扬伟大抗战精神，在抗日阅兵主题实践活动中，某兴趣小组模拟抗战时期的武器原理，设计了“水流导弹”演示装置（图1）．该装置发射的水流导弹运动轨迹呈抛物线形状，象征着中华民族抵御外敌的坚定轨迹．经过精准测量，水流导弹发射后，距离发射点水平距离40米时达到最大高度20米．活动场地模拟抗战时期山地战场，将“水流导弹”发射装置稳固安置在山坡底部的点处（模拟我军阵地），山坡上点处模拟敌军碉堡遗址，碉堡底部点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为12米；为还原战场标识场景，在碉堡顶端设置了模拟敌军信号旗，旗帜顶端比碉堡底部高出3米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)判断水流导弹能否越过旗帜顶端，以此检验装置模拟打击的有效性？请说明理由；
(3)若要使水流导弹恰好击中旗帜顶端（模拟精准打击目标），在抛物线形状不变的情况下，“水流导弹”发射装置应该向后移动多少米？

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