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专题03 二次函数图象与线段
（题型突破·举一反三）
▌题型01 二次函数与横竖线段
【典例1】
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值是
【变式1】
【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为：
(2)①当时，的最大值为：；②点Q的坐标为：或
【变式2】
【答案】(1)为；
(2)存在，有最大值，此时；
(3)或或
【变式3】
【答案】(1)
(2)，
(3)①②或
▌题型02 二次函数与斜线段
备注：该部分内容常结合锐角三角函数部分知识求解
【典例2】
【答案】(1)
(2)存在，最大值是，
【变式1】
【答案】(1)
(2)点P的坐标为：，PE的最大值为
【变式2】
【答案】(1)
(2)①（或）当时，有最大值；②；③或
【变式3】
【答案】(1)
(2)最大值是，
(3)或
▌题型03 二次函数与等线段
【典例3】
【答案】(1)
(2)①；②
【变式1】
【答案】(1)
(2)4
(3)点F的坐标为
(4)当时，；当时，
【变式2】
【答案】(1)
(2)点的横坐标为或
(3)的值为7
【变式3】
【答案】(1)，，
(2)点的坐标为
(3)；或
▌题型04 二次函数与倍线段
【典例4】
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
【变式1】
【答案】(1)
(2)的值为或
(3)或
【变式2】
【答案】(1)、、，
(2)
(3)（，）或
【变式3】
【答案】(1)
(2)4
(3)
【变式4】
【答案】(1)①；②
(2)1
▌题型05 二次函数与平行
【典例5】
【答案】(1)
(2)
证明：设，
在中，
当时，，
解得，，
，
，
直线的解析式为，
轴，交于点N，
，
，，
直线的解析式为，
当时，，
，
轴；
(3)
【变式1】
【答案】(1)，
(2)①，②或
【变式2】
【答案】(1)
(2)或
(3)
▌题型06 二次函数与垂直
【典例6】
【答案】(1)①抛物线的解析式为，直线BC的解析式为；②；
(2)．
【变式1】
【答案】(1)①，；②
(2)
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【变式3】
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积为
(3)存在，或．
▌题型07 二次函数与线段和的最值问题
【典例7】
【答案】(1)
(2)有最大值，，
【变式1】
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
【变式2】
【答案】(1)
(2)的最大值为9，
(3)存在；或
【变式3】
【答案】(1)
(2)存在，最大值为4，
(3)或
▌题型08 二次函数与线段差的最值问题
【典例8】
【答案】(1)
(2)8
(3)
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)点N的横坐标为
【变式2】
【答案】(1)
(2)，
(3)存在点使，点的坐标为，，，，
▌题型09 二次函数与将军饮马问题
【典例9】
【答案】(1)
(2)；
【变式1】
【答案】(1)
(2)的最小值为
(3)①；②点M的坐标为；周长的最小值为
【变式2】
【答案】(1)，
(2)存在，最小值为，
(3)
▌题型10 二次函数与胡不归问题（选做）
【典例10】
【答案】 等边 2
【变式1】
【答案】(1)，，
(2)
(3)点的坐标为，这个最小值为
【变式2】
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，，的最小值为
▌题型11 二次函数与周长最值问题
【典例11】
【答案】(1)，
(2)，
【变式1】
【答案】(1)
(2)时，四边形的周长最大，最大周长为
【变式2】
【答案】(1)，顶点
(2)当时，l取最大值为12
【变式3】
【答案】(1)
(2)4
(3)①；②/ 让教学更有效
专题03 二次函数图象与线段
（题型突破·举一反三）
题型01 二次函数与横竖线段
题型02 二次函数与斜线段
题型03 二次函数与等线段
题型04 二次函数与倍线段
题型05 二次函数与平行
题型06 二次函数与垂直
题型07 二次函数与线段和的最值问题
题型08 二次函数与线段差的最值问题
题型09 二次函数与将军饮马问题
题型10 二次函数与胡不归问题（选做）
题型11 二次函数与周长最值问题
▌题型01 二次函数与横竖线段
【典例1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值是
【分析】（1）首先求得、的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）先得出，，再利用正切的定义得出，进一步得出，即可解答；
【详解】（1）解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点，
当时，；
当时，即，解得，
∴，．
将，代入得，；
将，代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：由（1）可知，，，
，．
如图，
设交轴于点，则，．
∵，
∴．
又∵点在抛物线上，且，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值是．
【变式1】（23-24九年级上·天津西青·期末）如图，已知抛物线（b为常数）经过点P，点P与点关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标．
(2)连接，抛物线上一点M在线段上方，其横坐标为m（），过点M作轴于点E，交线段于点F．
①当m为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？
②当线段取最大值时，连接，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为：
(2)①当时，的最大值为：；②点Q的坐标为：或
【分析】（Ⅰ）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（Ⅱ）①设点，则点，则，即可求解；
②过点M作直线交y轴于点R，得到直线m的表达式为，即可求解；在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使，同理可解．
【详解】（1）解： P与点关于原点对称，则点，
将点P的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：①；
当时，，令，则或1，
即点A、B、C的坐标分别为：；
（2）①设直线的表达式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
则，
故当时，的最大值为：；
②存在，理由如下：
由①知，点，
∴，
过点M作直线交y轴于点R，
∵轴，即轴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即直线向上平移个单位得到直线m，
则直线m的表达式为：②，
联立①②得：,
解得：（舍去）；
在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使，
则点，
则直线n的表达式为： ③，
联立①③得：，
解得：，
则点Q的坐标为：或，
综上，点Q的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、线段长度的表达方法等，分类求解是解题的关键．
【变式2】（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值 若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
(3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围．
【答案】(1)为；
(2)存在，有最大值，此时；
(3)或或
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可；
（3）分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出点G的坐标；然后根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上时符合题意；从而可知当与抛物线相交时有，再根据点或点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：线段存在最大值；理由如下：
∵抛物线与轴交于点，
当时，得，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
如图1，过点作轴，交于点，则，
设，则，
，
，
，，
∴为等腰直角三角形，
，
∴当时，有最大值，此时，
即此时；
（3）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点D、E在抛物线的对称轴上；
∵，当时，，
∴当时，点在点上方，
，
由旋转得：，
，；
当时，点在点下方，
同理可得：，
，
∴不论为何值，点的坐标为，点坐标为；
∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，
∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意，
①当时，点在点上方，
如图3，边在点右侧，与抛物线相交时，
则，解得；
如图4，点在抛物线上时，
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
解得（大于的值舍去）；
②当时，点在点下方，如图5，此时点在抛物线上时符合要求，
，
解得（小于的值舍去）；
综上所述，的取值范围为或或．
【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为．
(1)求b和c的值；
(2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值；
(3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”．
①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式；
② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)①②或
【分析】（1）写出交点式，求出函数解析式即可；
（2）根据题意，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可；
（3）①分和两种情况进行讨论求解即可；②分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，，
由题意，，，则：，
∴，
∴，
∴当时，的值最大为；
（3）解：①∵，
∴时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵点在对称轴右侧且
∴当时， ，
则；
当时，，
则；
综上：；
②∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），
∴，
当时，则抛物线弧的“形态系数”，
抛物线弧的“形态系数”，
∴，解得或（舍去）；
当时，则抛物线弧的“形态系数”，
抛物线弧的“形态系数”，
∴，解得或（舍去）；
综上：或．
▌题型02 二次函数与斜线段
备注：该部分内容常结合锐角三角函数部分知识求解
【典例2】（安徽省合肥市第四十二中学湖畔分校2025-2026学年上学期九年级数学第二月考试卷）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，最大值是，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，解得，
∴；
（2）解：存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
过点作轴，交于点，设，则：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当时，的最大值为，此时最大，为，
∴；
【变式1】（安徽省淮南市田家庵区实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)点P的坐标为：，PE的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）把和代入到进行求解即可；
（2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答．
【详解】（1）解：∵和在抛物线上，
∴，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：过点P作轴于点，交于点N，
设直线的表达式为，
∵和在直线上，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，则，
∴直线与y轴交于点，
又∵点为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴直线和x轴的正半轴的夹角为，
∴，
∴，
设点P的坐标为，点，
∴
，
∵，且，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点P的坐标为，
又∵，
∴的最大值为．
【变式2】（2026年海南文昌市初中毕业生学业模拟考试（一）数学科试题）如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，
①请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？
②当时，线段长的取值范围为；
③在①的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①（或）当时，有最大值；②；③或
【分析】（1）将，代入抛物线，用待定系数法即可求解；
（2）由（1）的抛物线解析式可求出点的坐标，直线的解析式，点的坐标为，，可用含的式子表示，，从而表示出的值，求出的值；
②根据二次函数的性质求得最小值，即可求解；
③如图所示（见详解），过点作轴交于点，过点作交于点，可证，设，则，，则，由此即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：①令，则，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
∵点的坐标为，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴
∴
∴，
∴当时，有最大值．
②∵
∵
∴当时，取得最小值，最小值为
∴当时，
③解：如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，解得或，
∴或．
【变式3】（2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3．点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），若，若线段与抛物线有交点，请求出点的橫坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)最大值是，
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可；
（3）设，则，根据线段与抛物线有交点，则当时，的值要大于等于点N的纵坐标，小于等于点M的纵坐标，据此列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：把A、B、C三点坐标代入到中，
得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴
∴直线的解析式为，
过点作轴于E，交于点，设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当时，的最大值为，此时最大，为，
当时，，
∴；
（3）解：设，则，即
∵线段与抛物线有交点，
∴在中，当时，，
解得或
∴点M的横坐标的取值范围是或．
▌题型03 二次函数与等线段
【典例3】（2026·广东广州·二模）已知抛物线（，为常数，＞）．
(1)当，则该抛物线的对称轴为直线________；
(2)点和点为抛物线与轴两个交点（点在点的左侧），点为抛物线与轴的交点．
①当时，求的值；
②若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当的最小值为时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）直接利用二次函数的对称轴公式计算即可；
（2）①利用待定系数法求出，则抛物线解析式为，利用抛物线对称轴得到点坐标，令得到点坐标，利用两点间距离公式求出、，列出等式求解即可；
②将点代入抛物线解析式求出点坐标，根据垂直于对称轴得到，作点关于轴的对称点，则，进而得到，将点向左平移个单位长度得到，求出点坐标，证明四边形是平行四边形，进而得到，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：对于抛物线，，对称轴公式为直线，
当时，代入得，
故该抛物线的对称轴为直线．
（2）解：①将点代入抛物线得：，
，
抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为，
点和点B为抛物线与x轴两个交点，
，
，
，
令得：，
，
、，
，
，
解得；或，
，
的值为；
②将点代入抛物线得：
，
，
由①知，抛物线的对称轴为，
垂直于对称轴，
，
作点关于轴的对称点，连接，则，
、，
轴与轴互相垂直，
轴垂直平分，
，
将点向左平移个单位长度得到，连接、，即，
垂直于对称轴、，
垂直于对称轴、，
、，
四边形是平行四边形，
，
，
当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，即，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
的值为．
【变式1】（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点是直线上方的抛物线上不与抛物线的顶点重合的动点，点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上且横坐标比点的横坐标小2．若，求点纵坐标的最大值；
(3)平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点，过点作轴于点，过点作轴，交抛物线于点．若，求点的坐标；
(4)过点作轴的垂线交于点，过点作轴的平行线与抛物线的另一个交点为，线段的长度之和记为，直接写出关于的函数解析式．
【答案】(1)
(2)4
(3)点F的坐标为
(4)当时，；当时，
【分析】（1）运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答．
（2）先表示出点的横坐标，再代入二次函数的解析式，得，结合二次函数的性质进行分析，即可作答．
（3）由（1）得，得，，设直线的解析式为，运用待定系数法求解，根据平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点，得，，设抛物线的解析式为，得，则，再把数值代入，再解得的值，即可作答．
（4）依题意，得，，且，再表示出，结合抛物线的轴对称性质，得，然后进行分类讨论，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵点的横坐标为．点在抛物线上且横坐标比点的横坐标小2．
∴点Q的横坐标为；
∴点Q的纵坐标为
∴对称轴为直线
∵，
∴当时，y随的增大而增大，
则在中，当时，点Q的纵坐标有最大值，
∴，即最大值为4；
（3）解：由（1）得，
则平移后的抛物线的解析式为，
依题意，，
当时，，
即
设直线的解析式为
把点和点代入，
得
∴
∴直线的解析式为；
∵平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点，
∴设点的横坐标为，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，
当时，则，
∴，
∴，
∵
∴
解得，
∵点在第二象限，
∴，
∴点F的坐标为
（4）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线
∵是直线上方的抛物线：上不与抛物线的顶点重合的动点，点的横坐标为．
∴，，且，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线
依题意，点P和点H关于对称轴直线对称，
∴，
∴
∴
∴
当时，
则
∵线段的长度之和记为，
∴
当时，
则
∴．
综上：当时，；当时，．
【变式2】（2026·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B（点A在B的左边），与y轴交于点C，且，点是抛物线上一动点（），直线交y轴于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P在第一象限，直线与相交于H，，求点H的横坐标；
(3)若点P在第四象限，作轴交直线于Q，，求m的值．
【答案】(1)
(2)点的横坐标为或
(3)的值为7
【分析】（1）利用二次函数的对称性可得，再利用待定系数法求解即可；
（2）易得，运用待定系数法可得直线的函数表达式为，由点在抛物线上，则；利用可得点，然后代入直线的函数表达式得到方程求解即可；
（3）设直线的函数表达式为，点，从而求得，则，再利用列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，点，关于直线对称，
又，
，
，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图1：∵抛物线的解析式与y轴交于点C，
∴，
设直线的函数表达式为，
则，解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
，
，
∴点，即点，
∵点在直线上，
，解得，，
∴点的横坐标为或；
（3）解：设直线的函数表达式为，
，
，
，
∴点，
，
．
如图2，，
，
，解得（舍去），．
的值为7．
【变式3】（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点为轴上方抛物线上不与点重合的一个动点，设点的横坐标为．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)如图1，当点在第一象限时，连接交直线于点，若，求点的坐标；
(3)过点作于点，设线段的长为．
求关于的函数解析式；
定义：抛物线上两点，，若且，则称和为一对“关联点”．若点与点是抛物线上的一对“关联点”，连接，当时，直接写出的值．
【答案】(1)，，
(2)点的坐标为
(3)；或
【分析】（1）对于抛物线，分别令和令，即可求得，，三点的坐标；
（2）根据中点坐标公式表示出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，将点的坐标代入直线的解析式，即可得解；
（3）分两种情况讨论：当点位于第一象限时，当点位于第二象限时，分别过点作轴的平行线或过点作轴的垂线，通过平行线的性质或直角三角形性质，解直角三角形求解即可；根据“关联点”的定义表示出点的坐标，进而表示出长，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：对于抛物线，
令，得，
；
令，即，
整理得，即，
解得或，
在的左侧，
，；
（2）解：点的横坐标为，
，
，
点是的中点，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
直线的解析式为，
点在直线上，
，
整理得，即，
解得；
，
点的坐标为；
（3）解：当点位于第一象限时，即时，如图，过点作轴交于，
，，
，，即，
在中，，
，
；
当点位于第二象限时，即时，如图，过点作轴于，延长交于点，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
综上，；
点的横坐标为，点与点是抛物线上的一对“关联点”，
点的横坐标为，
，即，
，
当时，，
，
，
整理得，
解得或（不合题意，舍去）；
当时，，
，
，
整理得，
解得（不合题意，舍去）或
当时，，
，
，
整理得，
解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）；
综上，或．
▌题型04 二次函数与倍线段
【典例4】（2026·广东珠海·三模）如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
【分析】（1）先由直线求出与坐标轴的交点、，再代入抛物线方程解得，得解析式；
（2）设，则，，由得，解得，故．
【详解】（1）解：抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，
当时，，
，
当时，，
，，
将、代入，
得：，解得，
抛物线的解析式为；
（2）M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E．
可设点，则点，点，，
，
当时，，
解得（不合题意，舍去），
．
【变式1】（2026·江苏南通·三模）已知二次函数（）．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
(2)当时，该函数的最大值与最小值之差为，求b的值；
(3)若存在直线（），该直线与抛物线交于A、B（点A在点B左侧），与轴交于点P，使，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)的值为或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的顶点式、区间最值问题以及函数与线段长度的综合应用，核心是利用二次函数的图像性质与代数运算解决含参数的问题．
解题关键是通过将二次函数化为顶点式，结合对称轴与区间的位置关系分类讨论最值，再利用方程思想和线段关系建立含参数的不等式求解．
（1）将二次函数配方化为顶点式，直接得到顶点坐标为．
（2）函数开口向上，对称轴为，结合分三种情况讨论：
当时，函数在区间单调递增，最大值为处，最小值为处；
当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴更远的端点处；
当时，函数在区间单调递减，最大值为处，最小值为处；
分别计算每种情况下的最值差，解方程得到符合的解．
（3）设直线与抛物线交点的横坐标为（），与轴交点，则，．
由得，继而分为和两种情况讨论．
【详解】（1）解：
顶点坐标为
（2）当时，
解得：（舍）
当时，，
解得：
当时，，
解得：（舍）
综上得：的值为或
（3）当时，
点在点左侧，
，
当时，
；
当时，
或．
【变式2】（2023·山西太原·三模）综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标；
(3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、、，
(2)
(3)（，）或
【分析】（1）分别令，可求得A，B，C三点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）过点P作轴交直线于D，过点A作轴交直线于E，则，设，且，则，得，由，可得，进而得出，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；
（3）可设，利用勾股定理表示出，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后分别解方程求出n即可得到对应的Q点坐标．
【详解】（1）解：令，得，
解得：，
∴，
令，得：，
∴，
设直线的解析式为，则
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点P作轴交直线于D，过点A作轴交直线于E，
∵，直线的函数表达式为，
∴，
设，且，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，
设，
∵，，
∴，，，
当时，，
解得（舍去），
∴Q点坐标为（，）；
当时，，
解得（舍去），
∴Q点坐标为；
当时，，
解得（舍去），
综上所述，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q点坐标为（，）或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质等知识点，运用分类讨论思想和方程思想是解题的关键．
【变式3】（2026·浙江丽水·一模）已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求的值；
(3)已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得，，再根据得到，据此可得答案；
（3）设，则，可求出，，则直线的表达式，进而得到，进一步可推出，故当时，有最大值，最大值为6，根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则点B和点C到对称轴的距离都为3，求出点B的横坐标，进而求出点B的纵坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，；
设直线的表达式，
则，解得，
∴直线的表达式，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为6，
∵轴，
∴点B和点C关于对称轴对称，
∴点B和点C到对称轴的距离都为3，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧），
在中，当时，，
∴．
【变式4】（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)若，．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标．
(2)若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值．
【答案】(1)①；②
(2)1
【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标．
（2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．
▌题型05 二次函数与平行
【典例5】（2025·福建福州·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，点A在B的左侧，与y轴交于点，点P为该抛物线在第三象限内的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作轴，交于点N，直线交y轴于点M，连接，求证：轴；
(3)如图2，直线l为该抛物线的对称轴，于点H，直线，分别交直线l于点F，在点P运动的过程中，当恒成立时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
证明：设，
在中，
当时，，
解得，，
，
，
直线的解析式为，
轴，交于点N，
，
，，
直线的解析式为，
当时，，
，
轴；
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数点的坐标特征、二次函数的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）将B、C两点代入求解即可；
（2）求出直线解析式可得N点坐标，求出直线解析式可得M点坐标，进而即可得证；
（3）由题易得，，再表示出和，然后根据建立等式求解即可．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）略
（3）解：，
对称轴l为直线，
直线的解析式为，
，
在第三象限内，且，
，直线的解析式为，
，
当时，如图2，
，
，
，
恒成立，
恒成立，
的值为4；
当时，如图3，
，
，
，
恒成立，
恒成立，
的值为4；
综上所述，k的值为
【变式1】（2026·安徽六安·二模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)________；________；
(2)点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点．
①若直线所对应的函数表达式为（），求的取值范围；
②当时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)①，②或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式是．由，得到，则直线的解析式为．再由，即可得到，由，利用二次函数的性质即可解答；②由①知，点，且，分，，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：把，分别代入，得：，
解得；
（2）①解：由（1）知抛物线的解析式为．
在中，令，则．
；
设直线对应的函数表达式为，
把，分别代入，
得，解得，
直线对应的函数表达式是．
，
．
直线对应的函数表达式为．
点在抛物线上，设点的横坐标为，
点，则．
，
点是第四象限内抛物线上一点，
，
，
；
②：由①知，点，且．
当时，如图，过点作轴，垂足为，
当时，，即，
可得，
解得：，（舍去），
当时，，符合，
，此时；
当时，如图，过点作轴，垂足为，当时，，即
可得，
解得：，（舍去），
当时，，符合，
，此时；
综上，当时，的坐标为或．
【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期末）抛物线交轴于，两点（在）的右侧，交轴于点是第四象限内抛物线上一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，过动点作，垂足为点，连接．当时，求点的坐标；
(3)如图2，过动点作的平行线交轴于点，若射线平分线段，求的长．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）由两点的坐标可得三角形是等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，交于点，可得是等腰直角三角形，进而得出，从而可求得点坐标；
（3）过作轴平行线交射线于点，可得，从而求得点坐标．
【详解】（1）解：抛物线过，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）解：抛物线，
，
解析式为：，
如图，过点作轴，垂足为，交于点，
，
设，则，
，
解得：，
或；
（3）解：，
解析式为：，
过作轴平行线交射线于点，
射线平分，
设，则，
，
，
，
解得：（舍去）或，
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
▌题型06 二次函数与垂直
【典例6】（2023·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，有一抛物线．

(1)抛物线分别交x轴于，交y轴于C，，连．
①直接写出抛物线和直线的解析式；
②如图1，D为第四象限抛物线上的一动点，连交于E，若，求D点坐标．
(2)如图2，抛物线顶点为O点，A，B，C分别为抛物线上一点，C在第三象限，A，B两点关于y轴对称，连并延长交y轴于D，连交y轴于E，设D点的纵坐标为m，E点的纵坐标为n，，当与垂直时，求的长．
【答案】(1)①抛物线的解析式为，直线BC的解析式为；②；
(2)．
【分析】（1）①设抛物线的解析式为，求得，代入求解即可；
②设，求得直线的解析式为，联立，求得，根据，列得，解方程即可求解；
（2）设抛物线的解析式为，，则，直线的解析式为，直线的解析式为，联立求得，，根据根与系数的关系得到①，②，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过，
∴设抛物线的解析式为，
∵，
∴，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，即；
∵，，
∴设直线BC的解析式为，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为；
②设，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
∴；
（2）解：设抛物线的解析式为，

∵A，B两点关于y轴对称，
∴设，则，，，
设直线的解析式为，
∴，整理得，
∵的横坐标是该方程的解，
∴①，
设直线的解析式为，
∴，整理得，
∵的横坐标是该方程的解，
∴②，
①②得，
∵，
∴，，
∴，
∵与垂直，
∴，又点O是线段的中点，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，直角三角形的性质，利用待定系数法求解析式，根与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题．
【变式1】（2024·天津河北·二模）已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F．
(1)若 ；
①求抛物线顶点D和点A的坐标；
②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标；
(2)若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了解直角三角形、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，灵活运用解直角三角形成为解题的关键．
（1）①直接运用待定系数法求解即可；②设，其中，由轴于点M，在中，得出，求得直线 的解析式为，由于点H，轴于点E，交于点F，则，在中，，根据列方程求解即可；
（2）根据解析式得出顶点坐标，同（）可得，在中，，根据列出方程可得得，根据由，点F在直线：上，得出，进而可得即可．
【详解】（1）解：①将，代入可得，即，其顶点D为，
令，得，即，
令，得，解得，即，．
②点P在第一象限，设，其中，由轴于点M，
由①顶点，，，,
有，即
∵点N在y轴正半轴，，
故在中，，即，
设直线 的解析式为：，代入，
可得：，解得：，
即直线 的解析式为，
由于点H，轴于点E，交于点F，
∴，,
在中，,
∵点P在第一象限，
∴，即，解得 （舍去），即．
（2）解：由，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴，对称轴直线，，
∴顶点坐标为即，
同（1）可得，在中，，
∴，
∵，
∴，解得：;
在中，，
在中，，
由，点F在直线：上，
则，，解得：，
∵，
∴顶点D的坐标为．
【变式2】（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标；
(3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案；
（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
∴点，，
经过点，，

解得
抛物线的函数解析式为：
（2）过点P作轴交直线于点F，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，则，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴
（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，
如图，当点P在直线上方时，
∵轴，
∴，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
把代入得到，
则，
∴点P的纵坐标为1，
把代入得到，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴，
∴点Q的坐标为，
同理，如图，当点P在直线下方时，
∵，
∴点P的纵坐标为1，
把代入得到，
解得（不合题意，舍去），，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为，
综上可知，点Q的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键．
【变式3】（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，）
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积为
(3)存在，或．
【分析】（1）将点和点代入二次函数解析式中求解b的c的值即可求解解析式．
（2）根据点C为抛物线与x轴的交点可求解点C的坐标，由待定系数法进而可求解直线的解析式，根据三角形面积的求法，表示出的面积的表达式，再根据二次函数的性质即可求解最大值．
（3）分类讨论点P的位置，根据点P在直线下方时，求出直线的垂直平分线的解析式以及直线的解析式，即可求解点Q的坐标，进而可求解点P的坐标；再根据点P在直线上方时，依次求出直线方程即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
得，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：过点M作于点H，与y轴交于点G．如图．
设，
，解得或．
，即．
设直线的解析式为，
将点，代入，
得，解得，
，．
．
．
．
，
．
，
．
，
当时，的面积最大，最大面积为．
（3）解：存在．
设直线与交于点Q，如图．
当点P在直线下方时，
，
，即点在的垂直平分线上．
所以线段的中点坐标为．
过该点与垂直的直线的k值为，
故设的垂直平分线解析式为，
将点代入，得，
直线的垂直平分线的解析式为．
，
，同理可求直线的解析式为．
联立，解得，
点Q的坐标．
所以直线的解析式为．
联立，解得或．
点P的坐标为．
当点在直线上方时，
，
，则设直线的解析式为，
将点B的坐标代入，得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
点的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解，直线方程的求解，二次函数最值的性质，分类讨论点P的位置求解直线方程与抛物线的交点是解决本题的关键．
▌题型07 二次函数与线段和的最值问题
【典例7】（24-25九年级下·四川内江·阶段检测）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值 若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最大值，，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为，
∴．
（2）（2）是有最大值，理由如下：
∵当时，，
∴．
设直线的函数表达式为，
∴，
解得．
∴直线的函数表达式为，
设，
则．
∴
．
当时，有最大值，
此时，
∴有最大值，为．此时．
【变式1】（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点，在抛物线上，
∴点，关于抛物线对称轴对称，
∴由抛物线的对称性得，
，
当时，，则点的纵坐标为，
矩形的周长
，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
【变式2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为9，
(3)存在；或
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为直线；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答；
（3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答．
【详解】（1）解：将两点代入可得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图：过点P作轴交直线于H，
∵抛物线的表达式为，
∴点，对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则，
∴，，
∴
，
∴当时，即时，的最大值为9．
∴的最大值为9，．
（3）解：存在；
如图：设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∵连接交y轴于点M，
∴，
∵，抛物线沿射线方向平移个单位，
∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：，
设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或，
把代入得：
，
把代入得：
，
∴点N的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键．
【变式3】（24-25九年级上·重庆江津·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，在直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，交直线于点D．是否存在点M，使得取得最大值？若存在，请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接，若点P是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，最大值为4，
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的平移问题、二次函数最值问题等知识点，掌握二次函数的图象的性质与分类讨论是解题的关键．
（1）将点、代入求得b、c的值即可解答；
（2）先求出点B的坐标，如图：过点C作于点E，求得，直线的解析式为，设，点D在直线上，则，进而求得，根据二次函数的性质求得最值以及m的值，进而求得M的坐标；
（3）如图：取点，连接，则，进而证明，根据的解析式求得的解析式，进而联立抛物线解析式即可求得点P的坐标，当时，记与y轴的交点为K，也满足条件，证明，可得，求解为，进而联立抛物线解析式即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点、代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线与x轴交点的坐标为：，即点B的坐标为
如图：过点C作于点E，
设直线的解析式为，将点，，
代入得：，解得
∴直线的解析式为
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，，
∴轴
，
∴，
在中，，
∴，即，
在直线上方的抛物线上有一动点M，
设，则
，
∴当时，的最大值为4，此时，即，
∴存在点M，使得取得最大值，最大值为4，点M的坐标为．
（3）如图，取点，连接，则，
，
，，
，
，
∵，
设直线的解析式为
则，解得，
∴直线的解析式为
设直线的解析式为，过点，
∴，解得
∴直线的解析式为
∵P是抛物线上的一点，则P为直线与抛物线的交点，则
，解得或（与点B重合，舍弃）
；
如图：当时，记与y轴的交点为K，也满足条件，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
∴，解得：，
∴的解析式为，
∵是抛物线上的一点，则为直线与抛物线的交点，则
，解得或（与点B重合，舍弃）
．
综上：P的坐标为或．
▌题型08 二次函数与线段差的最值问题
【典例8】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？
(3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键．
（1）求出，利用待定系数法求出答案；
（2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可．
【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，
，
抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为，
，
解得
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：过点P作轴，交于点E，如图1，
，
设，
轴，
，
，
的面积
，
∴当时，的面积的最大值为；
（3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，
连接交y轴于点F，连接，如图2，
点P，关于y轴的对称，
，
，
当，A，G在一条直线上时，取等号，
∴此时的值最大，最大值为，
的最大值为；
【变式1】（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点N的横坐标为
【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可．
（2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可．
(3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线．
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴当时，，
故点，
又当时，，
解得，
故，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
过点P作轴于点K，交于点Q
则，
∵，
∴,
∴,
∴,
∴，
设，则，
则；
∵轴交抛物线对称轴于点E，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，
∵点P在直线下方的抛物线上，
∴，
∴时，；
故．
∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，
∴，
∴，
∵，
∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，
∴．
（3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，
∴，，
设向左平移m个单位，向下平移n个单位，
根据题意，得，，
∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，
∵，
∴平移后抛物线的表达式为，
∴，
∵点F为点P平移后的对应点，连接，
∴，
以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示，
则，
∵，
∴，
∴轴，
∴点P、N、M的纵坐标都为，
∴，
解得：，
∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点，其中．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，点是直线下方抛物线上的动点，点是轴上一动点，于点，当取最大值时，求点的坐标及此时能使得取最大值的点的坐标；
(3)如图2，连接，将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线，取在（2）中使为最大值时的点E，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在点使，点的坐标为，，，，
【分析】（1）先求出，再根据得到，，代入计算即可；
（2）过作轴于，交于点，通过等腰直角三角形得到，设，则，即可求出当时最大，此时，再根据，当、、三点共线时最大，求出；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，可得，再根据在下方和上方两种情况分类讨论，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
把，代入可得，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过作轴于，交于点，
∵，
∴，
∵轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∵，，
∴直线解析式为
设，
∵过作轴于，交于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时最大，此时，
∵，
∴当、、三点共线时最大，
设直线解析式为，
代入，可得，解得，
∴直线解析式为，
令可得，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线
∴将抛物线沿着向左移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度射得到新抛物线，
∴新抛物线解析式，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当在下方时，取点，则，直线解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，即点为直线与抛物线的交点，
联立，解得，
∴，；
当在上方时，直线交与点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
设直线解析式为，代入得，解得，
∴设直线解析式为，
联立，解得，
∴，，
综上所述，存在点使，点的坐标为，，，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数图象及性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与线段最值，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图象及性质是解题的关键．
▌题型09 二次函数与将军饮马问题
【典例9】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于两点（点A在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是对称轴上的一个动点，当取得最小值时，点坐标为______，此时的最小值为______．
【答案】(1)
(2)；
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）连接，与对称轴的交点即为点，的最小值为的长，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
把，代入，得：，解得；
∴；
（2）由（1）知：，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，当时，解得，
∴，
连接，则：，
设直线的解析式为，把，代入，得，
∴，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小，为的长，
当时，，
∴当点坐标为时，的最小值为
．
【变式1】（23-24九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现
如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．
(2)实践运用
如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．
(3)拓展迁移
如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为
(3)①；②点M的坐标为；周长的最小值为
【分析】（1）过点A作于点M，作于点N，求出，，，证明四边形为平行四边形，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案；
（2）取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，证明，根据，利用勾股定理求出即可；
（3）①先利用对称性求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式即可；
②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，根据勾股定理求出周长的最小值为；求出直线的解析式为，把代入求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示：

则，
∵四边形为等腰梯形，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
（2）解：取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，如图所示：

∵A关于的对称点，为直径，
∴点在上，
∵，
∴，
∵点A关于的对称点，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
∴，
即的最小值为．
（3）解：①∵抛物线的对称轴为，且抛物线经过，
∴抛物线与x轴的另外一个交点B的坐标为：，
∴抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，如图所示：

∵点A、B关于直线对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴最小，即最小，
∵为定值，
∴此时的周长最小，
∵，，
∴周长的最小值为；
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，二次函数的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，求出二次函数解析式，求一次函数解析，解题的关键是理解题意，数形结合，作出相应的辅助线．
【变式2】（2022·湖北恩施·模拟预测）如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点．
(1)直接写出，的值；
(2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接，，若，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)存在，最小值为，
(3)
【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案；
（2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标．
（3）如图，过作于，设，则，可得，，，而，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：点在抛物线的对称轴上，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
是抛物线与y轴的交点，
，
；
（2）解：存在最小值，理由如下：
由（1）可知，，
点D是抛物线上一点，坐标为，
，
，
作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，

由对称性可知，，
，
当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，
抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直，
，
，轴，
，
，
，
的最小值为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
．
（3）∵，
如图，过作于，设，则，
∴，

∵，
∴，，
∴
，
而，
解得：，
∵在第一象限，则，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
▌题型10 二次函数与胡不归问题（选做）
【典例10】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．

（1）连接，，则为________三角形；
（2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时，________．
【答案】 等边 2
【分析】连接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，则，从而可判断为等边三角形，接着利用得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长，继而求出，再利用勾股定理和含30度的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：连接，作于，于，如图，
当时，，
解得，，则，，
，则，，
，
而，
，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
而，
则，此时，
∴，
∴，
∴，
故答案为：等边；2．

【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．
【变式1】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标；
(3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)点的坐标为，这个最小值为
【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可；
（2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可；
（3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴顶点坐标；
（2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示：
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴此时点E符合题意，
∵F为的中点，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
同理根据，可得直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴点E的坐标为；
（3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【变式2】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，，的最小值为
【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可；
（2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可；
（3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点
∴设，；
∵旋转，
∴，
当点在轴上方时，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当时，满足题意，此时点与点重合，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴；
综上：或；
（3）存在；
在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上：，的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
▌题型11 二次函数与周长最值问题
【典例11】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式求出点的坐标；
（）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，可得，由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求出的值可得点的坐标，再利用两点间距离公式可求出的周长．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称最短线段问题等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入抛物线，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴点的坐标为；
（2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴，
此时的周长．
【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？
【答案】(1)
(2)时，四边形的周长最大，最大周长为
【分析】本题考查了二次函数与几何，正确求出二次函数的解析式，熟练利用二次函数的性质找最值是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设的横坐标为，则可用表示P的纵坐标，即可得到点的坐标，再表示出四边形的周长，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：把点，代入，
可得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
,
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得，
直线的解析式为
设，
轴，
的纵坐标为，
代入直线可得，
解得，
，
轴，轴，
,
四边形为矩形，
四边形的周长为，
，
当，即时，四边形的周长最大，最大周长为．
【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点．
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标；
(2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值．
【答案】(1)，顶点
(2)当时，l取最大值为12
【分析】（1）求出C点坐标，将，代入，即可求出抛物线的解析式；即可求出a，c，再进一步求解顶点坐标即可；
（2）令=0，求出代入，得k的值；设，则E点坐标由点D，E的纵坐标相等得到， 表示出，，， 由矩形周长l：，从而求出周长的最大值及的坐标．
【详解】（1）解：直线经过点，当时，，
∴，
将，代入，得，
得，
∴抛物线的解析式为：；
当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：当=0时，
解得：，
∴，
将代入，
得：，
∴ ，
∴直线为：，
∵D在直线上，设，
则E点坐标，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
矩形周长；
∴当时，l取最大值为12，
此时．
【点睛】主要考查了一次函数，二次函数的解析式的求法，二次函数的图像与性质，二次函数的最大值；以及与几何图形结合的综合能力的培养，利用数形结合的思想，把代数与几何图形结合起来，以及利用点的坐标的意义表示线段的长度，用二次函数表示矩形的周长，从而求出二次函数的最值，是解本题的关键．
【变式3】（2026·湖北随州·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求的值；
(2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值；
(3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值
【答案】(1)
(2)4
(3)①；②
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．
（1）先求出，将代入，求出即可；
（2）由题意知：，，，，得到，，再根据进行计算即可；
（3）由题意知：，①当时，矩形相邻两边长分别为，，当且时，矩形相邻两边长分别为m，，分别进行计算即可；
②分当时，当时，当时进行计算即可；
【详解】（1）解：当时，，
，
点B在上，
，
解得：；
（2）解：由题意知：，，，，
，，
；
（3）解：由题意知：，
①当时，矩形相邻两边长分别为，，如图2，
，
当且时，矩形相邻两边长分别为m，，如图3，4，
，
综上：；
②．
当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图2，
，
，
，无解，
当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图3，
，
，
，（舍去），
当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图4，
，
，
（舍去），
综上：m的值为．专题03 二次函数图象与线段
（题型突破·举一反三）
/ 让教学更有效
题型01 二次函数与横竖线段
题型02 二次函数与斜线段
题型03 二次函数与等线段
题型04 二次函数与倍线段
题型05 二次函数与平行
题型06 二次函数与垂直
题型07 二次函数与线段和的最值问题
题型08 二次函数与线段差的最值问题
题型09 二次函数与将军饮马问题
题型10 二次函数与胡不归问题（选做）
题型11 二次函数与周长最值问题
▌题型01 二次函数与横竖线段
【典例1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？
【变式1】（23-24九年级上·天津西青·期末）如图，已知抛物线（b为常数）经过点P，点P与点关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标．
(2)连接，抛物线上一点M在线段上方，其横坐标为m（），过点M作轴于点E，交线段于点F．
①当m为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？
②当线段取最大值时，连接，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式2】（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值 若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
(3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围．
设，则，
，
，
【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为．
(1)求b和c的值；
(2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值；
(3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”．
①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式；
② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值．
▌题型02 二次函数与斜线段
备注：该部分内容常结合锐角三角函数部分知识求解
【典例2】（安徽省合肥市第四十二中学湖畔分校2025-2026学年上学期九年级数学第二月考试卷）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（安徽省淮南市田家庵区实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标；
【变式2】（2026年海南文昌市初中毕业生学业模拟考试（一）数学科试题）如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，
①请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？
②当时，线段长的取值范围为；
③在①的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，求点的坐标．
【变式3】（2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3．点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），若，若线段与抛物线有交点，请求出点的橫坐标的取值范围．
▌题型03 二次函数与等线段
【典例3】（2026·广东广州·二模）已知抛物线（，为常数，＞）．
(1)当，则该抛物线的对称轴为直线________；
(2)点和点为抛物线与轴两个交点（点在点的左侧），点为抛物线与轴的交点．
①当时，求的值；
②若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当的最小值为时，求的值．
【变式1】（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点是直线上方的抛物线上不与抛物线的顶点重合的动点，点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上且横坐标比点的横坐标小2．若，求点纵坐标的最大值；
(3)平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点，过点作轴于点，过点作轴，交抛物线于点．若，求点的坐标；
(4)过点作轴的垂线交于点，过点作轴的平行线与抛物线的另一个交点为，线段的长度之和记为，直接写出关于的函数解析式．
【变式2】（2026·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B（点A在B的左边），与y轴交于点C，且，点是抛物线上一动点（），直线交y轴于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P在第一象限，直线与相交于H，，求点H的横坐标；
(3)若点P在第四象限，作轴交直线于Q，，求m的值．
【变式3】（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点为轴上方抛物线上不与点重合的一个动点，设点的横坐标为．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)如图1，当点在第一象限时，连接交直线于点，若，求点的坐标；
(3)过点作于点，设线段的长为．
求关于的函数解析式；
定义：抛物线上两点，，若且，则称和为一对“关联点”．若点与点是抛物线上的一对“关联点”，连接，当时，直接写出的值．
▌题型04 二次函数与倍线段
【典例4】（2026·广东珠海·三模）如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点D的坐标．
【变式1】（2026·江苏南通·三模）已知二次函数（）．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
(2)当时，该函数的最大值与最小值之差为，求b的值；
(3)若存在直线（），该直线与抛物线交于A、B（点A在点B左侧），与轴交于点P，使，求b的取值范围．
【变式2】（2023·山西太原·三模）综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标；
(3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2026·浙江丽水·一模）已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求的值；
(3)已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值．
【变式4】（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)若，．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标．
(2)若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值．
▌题型05 二次函数与平行
【典例5】（2025·福建福州·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，点A在B的左侧，与y轴交于点，点P为该抛物线在第三象限内的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作轴，交于点N，直线交y轴于点M，连接，求证：轴；
(3)如图2，直线l为该抛物线的对称轴，于点H，直线，分别交直线l于点F，在点P运动的过程中，当恒成立时，求k的值．
【变式1】（2026·安徽六安·二模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)________；________；
(2)点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点．
①若直线所对应的函数表达式为（），求的取值范围；
②当时，求点的坐标．
【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期末）抛物线交轴于，两点（在）的右侧，交轴于点是第四象限内抛物线上一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，过动点作，垂足为点，连接．当时，求点的坐标；
(3)如图2，过动点作的平行线交轴于点，若射线平分线段，求的长．
▌题型06 二次函数与垂直
【典例6】（2023·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，有一抛物线．

(1)抛物线分别交x轴于，交y轴于C，，连．
①直接写出抛物线和直线的解析式；
②如图1，D为第四象限抛物线上的一动点，连交于E，若，求D点坐标．
(2)如图2，抛物线顶点为O点，A，B，C分别为抛物线上一点，C在第三象限，A，B两点关于y轴对称，连并延长交y轴于D，连交y轴于E，设D点的纵坐标为m，E点的纵坐标为n，，当与垂直时，求的长．
【变式1】（2024·天津河北·二模）已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F．
(1)若 ；
①求抛物线顶点D和点A的坐标；
②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标；
(2)若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标．
【变式2】（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标；
(3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标．
【变式3】（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，）
▌题型07 二次函数与线段和的最值问题
【典例7】（24-25九年级下·四川内江·阶段检测）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值 若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
【变式1】（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【变式2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式3】（24-25九年级上·重庆江津·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，在直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，交直线于点D．是否存在点M，使得取得最大值？若存在，请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接，若点P是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点P的坐标．
▌题型08 二次函数与线段差的最值问题
【典例8】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？
(3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值
【变式1】（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标．
【变式2】（24-25九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点，其中．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，点是直线下方抛物线上的动点，点是轴上一动点，于点，当取最大值时，求点的坐标及此时能使得取最大值的点的坐标；
(3)如图2，连接，将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线，取在（2）中使为最大值时的点E，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
▌题型09 二次函数与将军饮马问题
【典例9】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于两点（点A在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是对称轴上的一个动点，当取得最小值时，点坐标为______，此时的最小值为______．
【变式1】（23-24九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现
如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．
(2)实践运用
如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．
(3)拓展迁移
如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．
【变式2】（2022·湖北恩施·模拟预测）如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点．
(1)直接写出，的值；
(2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接，，若，求点的坐标．
▌题型10 二次函数与胡不归问题（选做）
【典例10】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．

（1）连接，，则为________三角形；
（2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时，________．
【变式1】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标；
(3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值．
【变式2】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
▌题型11 二次函数与周长最值问题
【典例11】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长．
【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？
【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点．
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标；
(2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值．
【变式3】（2026·湖北随州·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求的值；
(2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值；
(3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值

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