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专题04 二次函数图象与面积
（题型突破·举一反三）
▌题型01 割补法求面积
【典例1】
【答案】
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式3】
【答案】(1)
(2)或
(3)
▌题型02 铅锤法求面积
【典例2】
【答案】
【变式1】
【答案】(1)，对称轴为直线
(2)①最大值为，②
【变式2】
【答案】(1)；
(2)点为线段中点
(3)直线过线段中点，
证明：设抛物线解析式为：，直线：，
直线与抛物线交于两点，设，
∴则方程的解为：，，
∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴，即为关于的二次函数，
∵当时，，，
由二次函数对称性知，当时，有最大值，
∵
∴当时，有最大值，
∴，即点为线段中点．
∴当直线过线段中点时（或），最大．
【变式3】
【答案】(1)
(2)
(3)
▌题型03 平行线转化法求面积
【典例3】
【答案】
【变式1】
【答案】或
【变式2】
【答案】(1)
(2)①P坐标为或或；②
【变式3】
【答案】(1)，1，
(2)①的值为或；②或
▌题型04 面积转化技巧
【典例4】
【答案】
【变式1】
【答案】(1)该函数表达式为，点A坐标为
(2)是定值，为
(3)
证明：设，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
同理，直线，
直线，
∵直线与直线的交点始终在直线上，
∴设直线与直线的交点坐标为，
∴，
，
，
∴直线，
∵当时，，
∴直线必经过定点．
定点坐标为．
【变式2】
【答案】(1)
(2)①或；②
【变式3】
【答案】(1)
(2)
(3)
▌题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积
【典例5】
【答案】(1)
(2)①3；②42
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式2】
【答案】(1)
(2)当时，有最大值是
(3)，，，
▌题型06 面积比问题
【典例6】
【答案】(1)；
(2)①的最大值为；②点的坐标为．
【变式1】
【答案】(1)
(2)，
【变式2】
【答案】(1)
(2)25
(3)当时，S有最大值
▌题型07 与面积有关的定值问题
【典例7】
【答案】(1)
(2)①；②是，
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)
证明：点与点重合，则点的坐标为，
点为中点，，，
点的坐标是，
设直线的表达式为，代入，，
可得：，
解得：，
，
联立，
解得：或，
，
点在直线上，即，，三点共线；
②的面积为定值，面积为16
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)
解：的面积为定值，定值为3．
【变式3】
【答案】(1)
(2)①；②的值为定值，且该定值为
【变式4】
【答案】(1)
(2)①；②与的面积之和为定值2
▌题型08 与面积有关的存在性问题
【典例8】
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，点P的坐标为或
【变式1】
【答案】(1)
(2)存在，D的坐标为，面积最大值为8
(3)存在，点Q的坐标为：，
【变式2】
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【变式3】
【答案】(1)，
(2)
证明：由（1）可知，抛物线为，
当时，，即，
∴，
抛物线，当时，，即，
∴，
∴，即．
(3)存在；或/ 让教学更有效
专题04 二次函数图象与面积
（题型突破·举一反三）
题型01 割补法求面积
题型02 铅锤法求面积
题型03 平行线转化法求面积
题型04 面积转化技巧
题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积
题型06 面积比问题
题型07 与面积有关的定值问题
题型08 与面积有关的存在性问题
▌题型01 割补法求面积
【典例1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），与y轴交于点C，点是抛物线上位于第一象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若和的面积相等，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】先求得，如图：连接，易得，再说明；如图：过作轴于F，设，则，然后根据列方程求得p即可解答．
【详解】解：令，则，解得或，
令，则，
∴，
如图：连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，即，
如图：过作轴于F，设，则，
∴，，，
∵，
∴，整理得：，解得：或（不合题意舍去），
∴点P的坐标是．
【变式1】（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为______
【答案】
【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数最值，坐标与图形，求出面积与点P的横x的函数表达式是解题的关键．
过点P作于D，设，则，，再求出，，从而求得，，根据，然后利用二次函数的最值求解即可．
【详解】解：过点P作于D，如图，
设，
∵点为抛物线在第四象限部分上的一点，
∴，，
∴，，
令，则，
∴，
∴ ，
令，则，
解得：，，
∴
∴
∴
∵
∴当时，的值最大，最大值为．
故答案为：．
【变式2】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有___________个．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数上坐标点的特点，熟练掌握相关性质，分情况讨论是解题关键．
（1）将A，B的横坐标分别代入求出函数y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出的长，根据“”求解即可；
（3）分点P在直线的上方，点P在直线的上方，且位于y轴右侧，点P在直线的上方，且位于y轴左侧，三种情况根据分割法求解即可．
【详解】（1）解：点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为，2，
∴当时，，当时，，
∴点的坐标为，点B的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，连接，
对于直线： ，
当时，，
，
；
（3）解：设点P的坐标为，
的面积等于的面积的2倍，
的面积等于，
①当点P在直线的下方时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图，
，
，
整理，得，
∵，方程无解，
②当点P在直线的上方，且位于y轴右侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图，
，
，
整理，得，
解得（舍），
点的坐标为；
③当点P在直线的上方，且位于y轴左侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图，
，
，
整理，得，
解得（舍），
点的坐标为；
综上，函数的图像上存在点P，使的面积等于的面积的2倍，则这样的点P共有2个．
【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若点在该抛物线上，求t的值．
(3)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使的面积等于面积的2倍．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据一次函数解析式求出点和点的坐标，代入抛物线解析式即可解题；
（2）将点代入抛物线解析式即可；
（3）过点作轴交于点，根据计算．
【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
当时，；当时，；
∴，，
∵抛物线的顶点为A，
∴抛物线的解析式为，
代入，可得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：由题意知，，
解得或；
（3）解：由题意知，，
如图，过点作轴交于点，
设，则，有，
∴
，
∴，
即，
，
解得（正值舍去），
∴．
▌题型02 铅锤法求面积
【典例2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为___________．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________．
【答案】
【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）设直线的解析式为，
∵，点，
∴，解得：
∴直线的解析式为，
设过点C且与直线平行的直线解析式为，
当直线与抛物线有唯一的公共点，
则点C到的距离最大，
∴面积最大，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴过点C且与直线平行的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
作轴交于点D，
则点的横坐标为，
又点在直线上，
∴，
∴点D的坐标为，
∴此时的面积．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴．
(2)是直线下方抛物线上的一点．
①当时，求面积的最大值；
②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围．
【答案】(1)，对称轴为直线
(2)①最大值为，②
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标系中三角形面积的求解，掌握二次函数对称轴的计算和坐标系中三角形面积的表示是解题关键．
（1）代入点的坐标，得到与的关系，再通过对称轴为直线求解即可；
（2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可；
②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，
可得，解得；则，对称轴为直线．
（2）解：①若，则该抛物线的表达式为，，
设直线的表达式为，则，解得，
∴直线的表达式为，
设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，为．
②设，
同①可得，
故当时，取得最大值，为，
，
令，
∵，
∴解得．
【变式2】（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
【答案】(1)；
(2)点为线段中点
(3)直线过线段中点，
证明：设抛物线解析式为：，直线：，
直线与抛物线交于两点，设，
∴则方程的解为：，，
∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴，即为关于的二次函数，
∵当时，，，
由二次函数对称性知，当时，有最大值，
∵
∴当时，有最大值，
∴，即点为线段中点．
∴当直线过线段中点时（或），最大．
【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可；
（2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系；
（3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
解得：，，
当时，；当时，，
∴，．
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大为，
∵把代入点中，
∴点；
（2）由（1）得，当时，有最大值，
∴将代入点得：点，
∵，，
点的中点坐标为点，即点，
∴点和点重合，
∴当面积最大时，点为线段的中点；
（3）略
【变式3】（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是轴下方抛物线上一点，连接、、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，在（2）的条件下，连接、、，当的面积最大时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）作轴交于点，求得所在直线的函数表达式，设点的坐标为，则点的坐标为，用含的二次函数表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，推出当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：将、代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：作轴交于点，
在中，令，得，
点的坐标为，
由、可得所在直线的函数表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
当时，最大，此时点的坐标为；
（3）解：由（2）可知当的面积最大时，点的坐标为．
由、可得抛物线的对称轴为，
作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，连接、、，
点的坐标为，，，
，
，，
，
当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长，
过点作轴于点，
，点与点关于轴对称，
点的坐标为，
，，轴，
，，
，
的最小值为．
▌题型03 平行线转化法求面积
同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等
【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特点．连接，根据面积关系证得，求得直线的表达式，联立方程组求解即可；
【详解】解：令，则，
解得或，
令，则，
∴，，，
如图，连接，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
设直线的表达式为，则，
解得：，
∴直线的表达式为，
设直线的表达式为，
把代入得：，
∴直线的表达式为，
联立得，
解得：（舍去）或，
当时，，
∴点的坐标是；
故答案为：．
【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数与轴交点的相关知识，判断出点是如何得到的是解决本题的关键．
把抛物线的顶点代入可得抛物线的解析式，取，求得对应的的值，即可求得点的坐标，进而求得直线的解析式，根据的面积与的面积相等可得点是过点与平行的直线与二次函数的交点，判断出过点与平行的直线，与二次函数联立可得点的坐标．
【详解】解：过点作的平行线，如图所示，
二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，
二次函数的解析式为：，
当时，，
解得：，，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把点A和点代入，
可得
解得，
直线的解析式为：，
的面积与的面积相等，
点是过点与平行的直线与二次函数的交点
点，
点是过点与平行的直线解析式为：，
解得，或
点的坐标为或．
故答案为：或．
【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线，且与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点P在抛物线上运动（P点异于点A）．
①当的面积等于的面积时，求点P的坐标；
②当时，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)①P坐标为或或；②
【分析】（1）由抛物线过点，，运用待定系数法求出a，b的值，从而求得抛物线的解析式；
（2）①分两种情况进行讨论，Ⅰ．当点P在x轴的上方时，过点A作，交抛物线于点P，则有，先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，最后将直线与抛物线联立，即可求得点P坐标；Ⅱ．当点P在x轴的下方时，由直线向下平移2个单位长度，交抛物线于点，，求出直线的解析式，最后将直线与抛物线联立，即可求得点P坐标；②延长交x轴于点Q，设，先证，再由相似三角形的性质得到，求出点Q坐标，最后求得直线：．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）①解：Ⅰ．如图，当点P在x轴的上方时，过点A作，交抛物线于点P，则有，
∵抛物线与y轴交于点C，
∴，
设直线：，
∴解得：，
∴直线：，
故设直线：，
∵直线：经过，
∴，
解得：，即直线：，
由解得：或
∴；
Ⅱ．如图，当点P在x轴的下方时，
设直线：与y轴交于点E，则，
则，
由直线向下平移2个单位长度，交抛物线于点，．得，
此时直线：，
由，
解得：或，
∴，，
综上，P坐标为或或；
②解：如图，延长交x轴于点Q，
∵，，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，即，
设直线：，
将，代入中，
∴解得：
∴直线：．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式，函数相关的图形面积关系，角度存在性问题等，灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式3】（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1．
(1)点，________，点；
(2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、．
①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值；
②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值．
【答案】(1)，1，
(2)①的值为或；②或
【分析】（1）令可求；由对称轴可求；令可求；
（2）①判断，即对称轴在此范围内，得出最高点和最低点，列方程求解即可；
②根据的面积等于的面积列方程求解即可．
【详解】（1）解：对于抛物线，令，得，
∴；
∵抛物线顶点D的横坐标为1，
∴，
解得：；
∴抛物线的解析式为，
令，则，
∴；
（2）解：①抛物线的解析式为，对称轴为，
∵图像W是抛物线在P、Q两点之间的部分，且P、Q的横坐标分别为m、，
∴图像W对应的自变量的取值范围是，
∵且，
∴，即对称轴在此范围内，
∴图像W的最低点为顶点，
∴当时，Q到对称轴的距离比P远；
最低点为顶点，最高点为, 即，
∴最高点与最低点的纵坐标之差为，
整理得，
解得，
∵，
∴
当时，P到对称轴的距离比Q远；
∴最高点，
∴，
解得：或（舍去）
综上，的值为或；
②设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
过作轴交于，则：
，
∴的面积，
同理，过, 即作轴交于，则：
，
∴的面积，
∵，
∴，
∴，
当时，解得；
当时，整理得，
解得，
∵，
∴，
综上，或．
▌题型04 面积转化技巧
1）三角形底相同时，面积比等于高之比；
2)三角形高相同时，面积比等于底之比.
【典例4】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式．
【详解】解：如图，令直线与交于点F，
将点代入抛物线得：，
抛物线对称轴为，
，
，
抛物线解析式为，
将代入得：，
，
轴，点P的纵坐标为2，
、，
、，
抛物线的图象开口向下，
，
，
，
，
，
解得：，
，
抛物线的解析式为．
【变式1】（2026·江苏南通·三模）已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由；
(3)如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
【答案】(1)该函数表达式为，点A坐标为
(2)是定值，为
(3)
证明：设，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
同理，直线，
直线，
∵直线与直线的交点始终在直线上，
∴设直线与直线的交点坐标为，
∴，
，
，
∴直线，
∵当时，，
∴直线必经过定点．
定点坐标为．
【分析】（1）求出点即可得抛物线的解析式，令可得点A的坐标；
（2）设（），求出直线，与抛物线联立，求出，同理可求，再由求解即可；
（3）求出直线，，的解析式，设直线与直线的交点坐标为，可得，即可解答．
【详解】（1）解：对于，令，则，
，
，
点，
，
，
即该函数表达式为，
令，则，
解得，，
点A坐标为；
（2）解：如图，
设（）
设直线，
则，
解得，
∴直线，
与抛物线联立得
整理得
∴
∴
∴
同理可求直线，
与抛物线联立得
整理得，
∴
∴
∴
∴，
∴是定值，为．
（3）略
【变式2】（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线与轴只有一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线．抛物线与轴交于、两点（其中点在左侧，点在右侧），与轴交于点，连接．为第一象限内拋物线上的一个动点．
①若的面积是面积的倍，求的坐标；
②抛物线的对称轴交轴于点，过作交于，交轴于．当点在线段上时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据根的判别式，求出a的值，即可求解；
（2）①根据平移的性质可得抛物线的解析式，然后过点D作轴交于点M，再直线的解析式为，设点，则点，可得，然后根据的面积是面积的倍，得到关于m的方程，即可求解；②根据题意可得：F点从点O向点G 的移动过程中，的值逐渐增大，此时的值逐渐增大，然后分别求出过点O和G时，的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，即，
解得：或0（舍去），
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①根据题意得：抛物线的解析式为:，
如图，过点D作轴交于点M，
对于抛物线为，
令，则，
解得：，
∴点，
令，，
∴点，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∵的面积是面积的倍，
∴，
解得：或2，
∴的坐标为或；
②如图，
根据题意得：，
∵，
∴F点从点O向点G 的移动过程中，的值逐渐增大，此时的值逐渐增大，
若过点O，如图，
由（2）得：，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
此时；
若过点G，如图，
∵，抛物线的对称轴交轴于点，
∴点，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）抛物线交x轴于、B两点，交y轴负半轴于点C，且抛物线对称轴为直线，．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线的第四象限上的一点，交于T，当最小时，求点P的坐标；
(3)如图2，直线垂直于y轴交抛物线于E、F两点（点E在第二象限），M、N为抛物线上两点，直线、的交点K在直线上，若，求E点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，，再待定系数法求解析式，即可求解．
（2）过点A作y轴的平行线交于点E，过点P作y轴的平行线交于点D，证明得出，进而求得的解析式为，表示出，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）设,分别到的距离为，进而表示出面积比，设，则过点的直线为，进而联立抛物线解析式，设方程的两根为和，根据根与系数的关系得出，求得，即可得出，同理可得，代入，结合关于对称，得出，进而解绝对值方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和B，对称轴为，
∴，
∴，
∵，
∴，
将点A，B，C分别代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点A作y轴的平行线交于点E，过点P作y轴的平行线交于点D，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，
∴
设点B到的距离为h，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值即为求的最大值，
设，，
∴，
当时，有最大值，
∴．
（3）解：设,分别到的距离为
∴
依题意，
如图，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点
∴
∴
∴
同理可得
设，则过点的直线为
代入.
∴
∴
设方程的两根为和
∴，
∴
∴①
∵在
∴
∴，代入①得，
∴
同理可得
∴
即
∴
∵关于对称，
∴
∴
解得：或
又∵
∴
▌题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积
【典例5】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A．
(1)若抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)若抛物线的顶点在直线上．
①求的最小值；
②若，点在抛物线上，点P与点Q关于原点对称．连接，求以为边，为对角线的平行四边形的面积．
【答案】(1)
(2)①3；②42
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①将抛物线的表达式化为顶点式，得到顶点坐标为，再代入，整理得，求出的最小值，即可解答；
②代入点到抛物线的表达式，整理得，根据非负数的性质得到，再结合，确定，，进而求出点A，P，Q的坐标，再利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
将代入，得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
将代入，得，
∴，
∴当时，c取得最小值，最小值为3，
当时，，
∴，
∵c的最小值为3，
∴的最小值为3；
②∵点在抛物线上，
∴，
代入，得，
整理，得．
∵，
∴，解得，
又∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
当时，，解得，
∴．
∵点P与点Q关于原点对称，
∴，
∴．
【变式1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意，先求出点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）根据（1）中的二次函数表达式，求出点的坐标，结合、两点利用待定系数法求解即可；
（3）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，易得，根据的长度表达式计算出的最大值，由此即可得出四边形面积的最大值．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵，点在轴下方，
∴点的坐标为，
将点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为．
将点代入，
得，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：过点作轴，交于点，如下图所示：
由（2）知，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴的最大值为，
∴四边形面积的最大值为．
【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值；
(3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值是
(3)，，，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数解决最值问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）利用点的坐标和对称轴求出的值即可；
（2）作轴，交于点，根据角平分线的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，则，然后根据图形面积列出二次函数解析式，根据顶点式求出最值即可；
（3）分两种情况进行讨论，根据一线三垂直的模型，证明三角形全等，得出相等边，根据坐标表示出线段的长度，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，
，
由对称轴为直线得，，
∴，
∴，
解得，
则，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图2，作轴，交于点，
假设，
∵平分，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：,
则直线 的解析式为：，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，有最大值是；
（3）解：如图3，过点作轴，交轴于点，交对称轴于点，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
则，
解得或，
∴点的坐标为或；
如图4，过点作轴于点，过点作于点，连接，
同理得，
∴，
则，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为，，，．
▌题型06 面积比问题
【典例6】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点．
①求的最大值；
②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)①的最大值为；②点的坐标为．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①设点坐标为，结合题意分别求出，进而可得，运用二次函数的性质求解即可；
②延长交轴于点，设点横坐标为，结合题意分别求出，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）①设点的横坐标为，则点坐标为，
∵是线段下方，
∴，
∵设直线表达式为，
把，代入得，解得，
直线表达式为，
∵过点作轴的平行线交直线于点，
∴，
∵将代入，解得，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为；
②延长交轴于点，设点横坐标为，则点坐标为，
∴点坐标为，由①得，
∵，
∴，
∵
∴，
整理得：，即：，
解得，（舍去）
当时，，
∴点的坐标为
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线（其中b，c为常数）经过点，，顶点为C．
(1)求四边形的面积；
(2)点P是x轴上位于A点左侧的一动点，若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，坐标与图形，分类讨论思想的运用是解答的关键．
（1）由题意易得抛物线解析式，求得顶点C的坐标；连接，四边形的面积等于面积的和；
（2）分点P在线段上及点P在原点左侧两种情况，的面积与四边形的面积之比为1：3，可得的面积，从而求得，即可得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
配方得：，
∴；
∵，，
∴；
如图，连接，
；
（2）解：当点P在线段上时，
∵的面积与四边形的面积之比为，
∴的面积与四边形的面积之比为，
∴，
即，
∴，
∴点P的坐标为；
当点P在原点左侧时，
∵的面积与四边形的面积之比为1：3，
∴的面积与四边形的面积之比为，
∴，
即，
∴，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【变式2】（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当的横坐标为，求与的面积比；
(3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由．
【答案】(1)
(2)25
(3)当时，S有最大值
【分析】（1），代入求出b，c的值，即得；
（2）求出，得，得，即得；
（3）写出，得，
得，，
得，即得当时，S有最大值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
代入，
得，
解得，
∴，
∵的横坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵直线的解析式为，二次函数解析式为，点横坐标为，
∴，
∴，
∵
∴，
，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，三角形面积比，三角形面积差，割补法求三角形面积，是解题的关键．
▌题型07 与面积有关的定值问题
【典例7】（2026·江苏苏州·一模）已知抛物线（为常数，且）与轴交于，两点，其中点的坐标是，与轴交于点，点的坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，连接，，．
①如图1，若，求的值．
②如图2，延长交轴于点，连接，若线段与轴交于点．记，，，的面积分别为，，，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）①先求出，设，与轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，得到，再用表示出，根据比值求即可；
②根据①，用表示，利用待定系数法求出直线的解析式，得到，再求出，然后化简求值即可．
【详解】（1）解：由题可知，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）①令，解得或，则
设，与轴交于点，
则，
设直线的解析式为，
，解得，
，则，，
，
，
解得；
②由①知，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
，则，
，
，
．
【变式1】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标；
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，，且，求证：D，E，F三点共线；
②若直线，交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
证明：点与点重合，则点的坐标为，
点为中点，，，
点的坐标是，
设直线的表达式为，代入，，
可得：，
解得：，
，
联立，
解得：或，
，
点在直线上，即，，三点共线；
②的面积为定值，面积为16
【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数的表达式；
(2)根据函数表达式求出点的坐标，可知是等腰直角三角形，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，设的坐标是，则点的坐标是，可得方程，解方程求出的值即可得到点的坐标；
(3)①利用待定系数法求出直线的解析式，解方程组求出点的坐标，即可知点，，三点共线；
②设点的坐标是，点的坐标是，设直线的解析式是，可得：，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可以求出点到轴的距离是，从而可知②的面积为定值，面积为16.
【详解】（1）解：将，的坐标代入，
可得：，
解得：，
二次函数的表达式为；
（2）解：对于，令，
可得：，
解得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
，
．
如下图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
设的坐标是，则点的坐标是，
，，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）①略
②解：设点的坐标是，点的坐标是，
点、、三点共线，点的坐标是，
设直线的解析式是，
解方程组：，
整理得：，
，，
点的坐标是，点的坐标是，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
解方程组，
解得：，
点的坐标是，
，，
，，
，
点在直线上运动，
点到轴的距离为定值，
直线、交于点，
，点、、三点共线，
点到的距离为定值，
的面积为定值，
．
的面积为定值，面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标；
(3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)
(3)
解：的面积为定值，定值为3．
证明：将点代入直线，得，，
直线的表达式为：．
点既在抛物线上又在直线上，
，
整理得，，
解得，，；
点．
作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于，
，
，，
，
，
，．
设，则，
点，
又点在抛物线上，
，
，
，得，，即，
点．
．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可；
（3）用三角形全等求出点．根据即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点，
设抛物线的表达式为．
将，代入，得：
，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，作，垂足为，
设与轴的交点为．
平分，，
，，
，
．
，轴，
，
，
，，
设，则，，
在中，，
解得，．
．
设直线的表达式为：，
代入，，
得，
解得，
可得直线的表达式为：，
联立，得：，
解得，或；
点．
（3）略
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【变式3】（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②的值为定值，且该定值为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①首先求出一次函数的解析式为，然后和抛物线联立求出点横坐标为，得到，进而求解即可；
②设，，则，，将代入，得，求出，，然后表示出，得到，，进而求解即可．
【详解】（1）依题意，，
解得
二次函数的解析式为．
（2）①依题意，即该一次函数的解析式为．
将代入，得，
即点的坐标为，
代入，得，
即一次函数的解析式为，
由，
解得点横坐标为
依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同，
所以，
由图像可知不等式解为．
②设，，则，．
将代入，得，
则，
解得，
，，
依题意得，
，
，
．
而
．
，，
，．
故
所以，，
即的值为定值，且该定值为．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数和三角形面积综合运用，解一元二次方程以及根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式4】（2024·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点．
(1)求的值．
(2)点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究：
①当为何值时，四边形是平行四边形．
②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②与的面积之和为定值2
【分析】本题考查了二次函数的性质，画出图形，正确表示相关线段长度是解题的关键．
（１）把代入抛物线，即可解答；
（２）①求得直线的解析式为，求出点的坐标，利用平行四边形的性质，列方程即可解答；
②把两个三角形的面积表示出来相加，即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）①解：如图，设直线的解析式为，
把代入可解得，
直线的解析式为，
，
把代入，可得，
把代入，可得，
，，
若四边形是平行四边形，则，可得，
解得，
当时，四边形是平行四边形；
②解：，，
，
与的面积之和为定值2．
▌题型08 与面积有关的存在性问题
【典例8】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标．
（3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为，
∴当时，，
∴，
，
∴，
将点，代入解析式，得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：存在，，理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，，
解得：，．
，，
如图，连接，交直线于点，连接，
∵点关于直线的对称点是点，
．
∴，，三点共线时，最小，最小值为的长，
设直线的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
∴．
（3）解：存在点，使得，理由如下：
∵点，，
，
设点，
．
，
，即，
当时，整理得，
，方程无实数根．
当时，整理得，
解得：或，
∴点的坐标为或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【变式1】（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，D的坐标为，面积最大值为8
(3)存在，点Q的坐标为：，
【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出；
（2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值；
（3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标．
【详解】（1）解：已知抛物线过，
，解得，
所以抛物线表达式：；
（2）解：令，得，
则可设直线的解析式：，
代入，得，解得，即，
设点，，
过D作轴交于，
则，，
，
这是开口向下的二次函数，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为8，
此时D的坐标为；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为，
∴，
过作轴交于，
设，则，
，
又与面积相等，
，即，
，解得（与点P重合，舍去）或，此时，
或，解得或，
对应Q的坐标为：，
综上，点Q的坐标为，．
【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由；
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案；
（3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
把代入中得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为，
则，解得：，
∴，
∴当点在直线上时，满足题意，
联立，
解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：存在，理由如下：①连接，
∵函数的解析式为：，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
过点作垂直于，且，连接，
∵，
，
过点作轴于点，则，
∴，
在和中，
，
∴，
则，
此时与抛物线的交点就是满足条件的点，
设直线的解析式为：，
则，
解得：．
∴直线解析式为：，
，
解得：（不合题意舍去），，
，
∴点坐标为：；
②设直线解析式为，代入坐标，得，
解得：，
∴直线为，
只要，则有，
设直线为，代入点坐标：
则，
直线解析式为，
联立：，
，
解得：（舍去 ），，
把代入解析式可得，，
，
综上所述：点坐标为：或．
【变式3】．（2026·湖南郴州·二模）已知抛物线与抛物线交于，两点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：；
(3)如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
证明：由（1）可知，抛物线为，
当时，，即，
∴，
抛物线，当时，，即，
∴，
∴，即．
(3)存在；或
【分析】（1）把，代入即可求解；
（2）由与抛物线相交可得，，可得，，即可证明结论；
（3）由条件可得，再由，可得，可得当时，四边形的面积最大值是，再分在对称轴的左边和右边两种情况即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
解得．
（2）略
（3）解：存在．
∵直线与两条抛物线分别相交于点M，N，
∴，，
∴，
如图，过点作于点，设交轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大值是，
∵，
∴四边形的面积存在最大值为，
当时，在对称轴的左边，
∴时，，即，
解得，，
∵，
∴；
当，即时，在对称轴的右边，
∴时，，即，
解得，，
∵，
∴；
综上所述，a的值为或．/ 让教学更有效
专题04 二次函数图象与面积
（题型突破·举一反三）
题型01 割补法求面积
题型02 铅锤法求面积
题型03 平行线转化法求面积
题型04 面积转化技巧
题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积
题型06 面积比问题
题型07 与面积有关的定值问题
题型08 与面积有关的存在性问题
▌题型01 割补法求面积
【典例1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），与y轴交于点C，点是抛物线上位于第一象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若和的面积相等，则点的坐标是______．
【变式1】（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为______
【变式2】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有___________个．
【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若点在该抛物线上，求t的值．
(3)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使的面积等于面积的2倍．
▌题型02 铅锤法求面积
【典例2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为___________．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________．
【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴．
(2)是直线下方抛物线上的一点．
①当时，求面积的最大值；
②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围．
【变式2】（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
【变式3】（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是轴下方抛物线上一点，连接、、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，在（2）的条件下，连接、、，当的面积最大时，求的最小值．
▌题型03 平行线转化法求面积
同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等
【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是______．
【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________．
【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线，且与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点P在抛物线上运动（P点异于点A）．
①当的面积等于的面积时，求点P的坐标；
②当时，求直线的解析式．
【变式3】（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1．
(1)点，________，点；
(2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、．
①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值；
②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值．
▌题型04 面积转化技巧
1）三角形底相同时，面积比等于高之比；
2)三角形高相同时，面积比等于底之比.
【典例4】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式．
【变式1】（2026·江苏南通·三模）已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由；
(3)如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
【变式2】（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线与轴只有一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线．抛物线与轴交于、两点（其中点在左侧，点在右侧），与轴交于点，连接．为第一象限内拋物线上的一个动点．
①若的面积是面积的倍，求的坐标；
②抛物线的对称轴交轴于点，过作交于，交轴于．当点在线段上时，求的取值范围．
【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）抛物线交x轴于、B两点，交y轴负半轴于点C，且抛物线对称轴为直线，．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线的第四象限上的一点，交于T，当最小时，求点P的坐标；
(3)如图2，直线垂直于y轴交抛物线于E、F两点（点E在第二象限），M、N为抛物线上两点，直线、的交点K在直线上，若，求E点的横坐标．
▌题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积
【典例5】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A．
(1)若抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)若抛物线的顶点在直线上．
①求的最小值；
②若，点在抛物线上，点P与点Q关于原点对称．连接，求以为边，为对角线的平行四边形的面积．
【变式1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值；
(3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
▌题型06 面积比问题
【典例6】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点．
①求的最大值；
②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标．
【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线（其中b，c为常数）经过点，，顶点为C．
(1)求四边形的面积；
(2)点P是x轴上位于A点左侧的一动点，若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标．
【变式2】（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当的横坐标为，求与的面积比；
(3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由．
▌题型07 与面积有关的定值问题
【典例7】（2026·江苏苏州·一模）已知抛物线（为常数，且）与轴交于，两点，其中点的坐标是，与轴交于点，点的坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，连接，，．
①如图1，若，求的值．
②如图2，延长交轴于点，连接，若线段与轴交于点．记，，，的面积分别为，，，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式1】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标；
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，，且，求证：D，E，F三点共线；
②若直线，交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标；
(3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值．
【变式3】（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【变式4】（2024·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点．
(1)求的值．
(2)点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究：
①当为何值时，四边形是平行四边形．
②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
▌题型08 与面积有关的存在性问题
【典例8】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由；
【变式3】．（2026·湖南郴州·二模）已知抛物线与抛物线交于，两点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：；
(3)如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．

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