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第十章数的开方
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ，（n为正整数）．请你用计算器计算当时，P，Q间的大小系为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
2．如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（　　）
A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根
3．下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．2 B． C． D．
4．估算的结果在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．在实数，，，，，，…中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．估算的值是在（ ）之间
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
7．下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A． B． C．2 D．
8．兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
9．下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
12．下列语句中，正确的是 （ ）
A．无限小数都是无理数
B．无理数分为正无理数、0和负无理数
C．实数与数轴上的点是一一对应的
D．无理数的平方一定是有理数
二、填空题
13．计算：___________．
14．师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是_____．
15．若x、y满足，则的值为________．
16．立方根等于本身的非负数是____．
17．比较大小：______．（填“”“”或“”）
三、解答题
18．求式子中的值：．
19．求下列各数的算术平方根：
(1)121；
(2)1.44；
(3)；
(4)．
20．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）．
．
21．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______；
(2)请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
22．项目式学习
设计合适的盒子
素材 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为．
素材 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装．
任务 （）根据素材，该圆形团扇的半径为 cm； （）根据素材，求出该长方体盒子的长； （）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由．
根据以下素材，探索完成任务．
23．阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题； 命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明； 设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除． 证明：∵两位数能被3整除， ∴设（k为正整数）．．． ．为整数．可以被3整除． 由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍．
任务1：证明命题
（1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除．
任务2：写逆命题
（2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题；
任务3：应用结论
（3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______．
（4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？
24．比较下列各组数的大小：
（1）与2.5；
（2）与．
《第十章数的开方》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C C C A C B C
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】本题考查了算术平方根的估算，会用计算器进行计算．并根据结果归纳规律．根据题意计算即可解答．
【详解】解： 根据题意，计算可得当时，；
当时，；
当时，．
由此可得时，P，Q间的大小关系为．
故选：A．
2．A
【分析】根据立方根的定义推导即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，
∴﹣a3＝b，
∴a3＝﹣b，
∴a是﹣b的立方根，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，列出式子并变形是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握负数没有平方根，分别判断各个选项的正负，即可解答．
【详解】解：A、有平方根，不符合题意；
B、有平方根，不符合题意；
C、没有平方根，符合题意；
D、有平方根，不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得，继而得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴的结果在3和4之间，
故选：C．
5．C
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：，是整数，是有限小数，是分数，它们都不是无理数，
，，…是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：C．
6．C
【分析】根据题意可知判断的值在5、6、7、8、9哪个数之间，即的值在2、3、4、5、6哪个数之间，2、3、4、5、6可表示为，显然，即，故．
【详解】∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根估计范围，将先看作进行比较，再加上3是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，正确求出绝对值是解题的关键．先分别求每个数的绝对值，再比较实数的大小即可．
【详解】解：，，，，
，
绝对值最大的是，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解．
【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地，
∴这块菜地的边长为，
∵，
∴，即，
∴估计这块菜地的边长在之间，
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
即一个非负数的平方根为，据此即可判断．
【详解】解：“9的平方根是”可表示为：，
故选：B．
10．C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，利用无理数的定义判断即可．
【详解】解：在，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，
，， ，（相邻两个1之间依次增加一个2）是无理数，共4个，
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了无理数的定义；根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、，是无理数，符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选C．
12．C
【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．熟知实数的相关知识是关键．
【详解】解：A、无限小数中，无限循环小数就是有理，所以选项说法错误；
B、无理数分为正无理数、负无理数，0是有理数；选项说法错误；
C、实数与数轴上的点是一一对应的，选项正确；
D、无理数的平方一定是有理数说法错误．比如是无理数，的平方不是有理数，选项错误．
故选：C．
13．
【分析】本题考查实数的运算，先运用乘方、算术平方根和立方根计算，然后运算加减是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了立方根的实际应用，先求出长方体铁块的体积，即得正方体铁块的体积，再根据立方根的定义即可求出立方体铁块的棱长，理解题意是解题的关键．
【详解】解：长方体铁块的体积为，
∵长方体铁块锻造成一个立方体铁块，
∴正方体铁块的体积为，
∴立方体铁块的棱长是，
故答案为：．
15．
【分析】先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出x、y的值，然后再代入运用乘方计算即可．
【详解】解:∵，
∴，，
∴．
故填-1．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，当几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．0和1
【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可．
【详解】解：立方根等于本身的非负数是0和1，
故答案为：0和1
17．
【分析】本题考查实数大小比较，利用平方法比较实数大小即可，熟练掌握平方法比较实数的大小是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．或
【分析】本题考查利用平方根求未知数的值，理解直接开方法是解答关键．
将方程变形为，利用直接开方法来求解．
【详解】解：整理，得，
∴或，
解得或．
19．(1)11；
(2)1.2；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
根据算术平方根的定义逐题求解即可．
【详解】（1），
∴121的算术平方根是11；
（2），
∴1.44的算术平方根是1.2；
（3），
的算术平方根是；
（4），
的算术平方根是．
20．
用数轴表示如下：
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”符号连接起来即可．
【详解】解：，
用“<”连接：．
21．(1)，
(2)①，画图见解析；②画图见解析
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数．
（2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N．
【详解】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是，
∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，
（2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
22．（） ；（） ；
（）能，理由：由（）知该团扇的半径为，
∴团扇的直径为，
∵，
∴，
∴，即，
∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，算术平方根的应用，无理数的估算，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设圆形团扇的半径为，根据题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解；
（）设长方体盒子的长为，宽为，由题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解；
（）求出团扇的直径为，然后通过无理数的估算，实数比较大小即可求解．
【详解】（）解：设圆形团扇的半径为，
根据题意得，
∴，
故答案为：；
（）解：设长方体盒子的长为，宽为，
由题意得，，
，
，
由边长的实际意义，得，
所以长方体盒子的长为 ；
（）略
23．
（1）证明：∵可以被3整除，
∴设（k为正整数）
∴，
∵为整数，
∴可以被3整除．
（2）假命题，逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除；
（3）1203；
（4）15或39
【分析】本题主要考查了新定义，判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正确理解题意是解题的关键．
（1）设（k为正整数），则，根据为整数，即可得可以被3整除，
（2）根据能被3整除，但是可判断命题真假；把原命题的结论与条件互换写出对应的逆命题即可；
（3）根据题意可得能被3整除，则可推出能被3整除；设（k为正整数），则可得到，要使这个四位数最小，首先要满足a最小，其次要保证b最小，再要保证c最小，据此求解即可；
（4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为，设（k为正整数），根据可以被3整除得到可以被3整除；可求出汽车的速度为，则可推出，则一定是大于等于0的偶数，当时，，则，当时，，则，据此讨论求解即可．
【详解】解：（1）略
（2）命题2是假命题，理由如下：
例如能被3整除，但是；
逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除；
（3）∵四位数能被3整除，
∴能被3整除，
∴能被3整除，
∵能被3整除，
∴能被3整除；
设（k为正整数），
∵，
∴，
∴，
∵要使这个四位数最小，
∴首先要满足a最小，
当的同时，要满足b最小，则此时，
∴，
∴当，时，这个四位数最小，最小为1203；
（4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为
∵可以被3整除，
∴设（k为正整数）
∵可以被3整除
∴可以被3整除，
∵后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置，
∴汽车的速度为，
∵再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，
∴，
∴，
∵m为整数且，
∴一定是大于等于0的偶数，
当时，，则，
∵，
∴，
∴a一定是3的倍数，
∴，
∴，
∴；
当时，，则，
∵，
∴，
∴一定是3的倍数，
∴，
∴，
∴；
综上所述，第一次看到的里程碑上的两位数是15或39．
24．（1）；（2）
【分析】（1）先求出，再比较即可；
（2）先求出，再比较即可．
【详解】解：（1），9＜15.625，
，
，
（2），，
，
．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能灵活运用立方根的定义进行变形是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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