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10.2实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴上点M表示的数可能是（　　）
A． B．3 C．2 D．
3．在0，，－4.3，，3.14，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．在0，，，这四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
5．在实数中，正实数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列各数中，最大的数是（　　　）
A．2 B． C． D．
7．估算的值是在（ ）
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，7就是一个智慧数，，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）．
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
9．下列说法正确的是（ ）
A．0不是有理数 B．正数和负数统称实数
C．存在最大的负有理数 D．实数与数轴上的点一一对应
10．在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
11．对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
二、填空题
13．用“<”连接下列各数，，，的结果是____________．
14．观察下列各等式及验证过程：
，验证；
，验证；
，验证．
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．
15．的平方根是______；的相反数是______；的倒数是_____．
16．在整数a和a+1之间，则a=_____．
17．实数，，，，，中，是无理数的有______．
三、解答题
18．计算：．
19．阅读下列材料，解决相关任务：
2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率），同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a、b、c、d为正整数），则是x的更为精确的近似值．
例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：；
由于，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．
任务：
(1)请判断：约率是（ ）
A．无限不循环小数 B．有限小数 C． 整数 D．有理数
(2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数．
20．请看参考图，在下面数轴上准确找到表示下列各数的点，并标明序号：①、② 、③9的算术平方根，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接：_____＜_____＜_____．（填序号）
21．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）．
．
22．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，请解答下列问题：
(1)比较大小：_______（填“”“”或“”）；
(2)若的整数部分为，是的算术平方根，求的立方根．
23．定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以．
(1)根据上述规定，填空：_____ ，_____．
(2)小亮通过探究发现：．
证明如下：设，则．
因为，所以．
又因为，，所以．所以．
所以．
请你类比这种方法证明等式成立．
24．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求：
(1)的值．
(2)的长．
《10.2实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A A C A B B D A
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可．
【详解】解：
故选B．
2．A
【分析】本题主要考查了实数比较大小，实数与数轴，根据数轴上点的位置得到，再推出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴数轴上点M表示的数可能是，
故选A．
．
3．A
【分析】根据无理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数）．
【详解】解：在0，，－4.3，，3.14，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）这2个数，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．
4．A
【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，判断各数是否属于无限不循环小数或不能表示为整数之比．
【详解】解：A、是无限不循环小数，无法表示为分数，属于无理数．
B、是分数，属于有理数．
C、0是整数，属于有理数．
D、，是整数，属于有理数．
故选：A
5．C
【分析】有理数和无理数统称为实数，符号为“+”的实数为正实数，根据定义解答．
【详解】解：正实数有：共3个，
故选：C．
【点睛】此题考查实数的定义，熟记定义是解题的关键．
6．A
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
【详解】解：根据题意，∵，
∴，
∴最大的数是2；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的法则．
7．B
【分析】本题考查无理数估算，涉及算术平方根性质，由算术平方根性质估算出即可得到答案，熟练掌握无理数估算的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，即，
故选：B．
8．B
【分析】根据智慧数的定义，运用平方差公式计算判断．
【详解】由题意可得：，
故A是智慧数；
，
故C是智慧数；
，
故D是智慧数．
故选B．
【点睛】本题考查了新定义问题，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的分类，有理数的相关定义，有理数包含正有理数，负有理数和0，实数包含正数，负数和0，没有最大的有理数，实数与数轴上的点一一对应，据此可得答案．
【详解】解：A、0是有理数，原说法错误，不符合题意；
B、正数，负数和0统称实数，原说法错误，不符合题意；
C、不存在最大的负有理数，原说法错误，不符合题意；
D、实数与数轴上的点一一对应，原说法正确，符合题意；
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了无理数，算术平方根以及立方根，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．
实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数，无限不循环小数为无理数，分为正无理数和负无理数．根据无理数的意义即可解答．
【详解】解：，
在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有，，共2个．
故选：A．
11．C
【分析】根据题目对“*”的定义把m、n的值代入计算即可．
【详解】解：由已知可得：
∴m*n=
=
=7，
故选C．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，在观察和理解新定义的基础上把公式中字母的值代入计算即可．
12．B
【分析】应先找到在哪两个和它接近的相邻整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】∵22＝4，32＝9，
∴2＜＜3，
∴在3到4之间．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
13．
【分析】先利用两个负数，绝对值大的反而小，比较，的大小，再比较与的大小，可得＜ 结合负数小于正数，从而可得答案.
【详解】解： 而＞
＜
＜
而负数是小于正数的，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟悉平方根与立方根的含义是解题的关键.
14．
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．
【详解】解：观察下列各等式及验证过程：
，验证；
，验证；
，验证．
..．
用n（n为正整数）表示的等式为：，
验证等式左边＝，
右边＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
15． ±2； ； ．
【分析】先化简，再求其平方根；数值相同符号相反的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此作答即可．
【详解】∵，4的平方根为±2，
∴的平方根为±2；
的相反数是；
的倒数是．
故答案为：±2，，．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根、相反数以及倒数的知识．掌握平方根、相反数以及倒数的定义是解题的关键．
16．2
【分析】先估算出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∵在整数a和a+1之间，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
17．
【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，正确把握定义是解题关键．直接利用无理数的定义分析得出答案．
【详解】解：实数，，，，，中，是无理数的有，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根化简，再计算即可．
【详解】解：
．
19．(1)D
(2)
【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可．
【详解】（1）分数是有理数，故选D．
（2）∵，
∴首次利用“调日法”后得的一个更为精确的近似分数为：，
∵且，
∴，
∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：．
【点睛】本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是关键．
20．②；①；③
【分析】本题考查了实数的相关概念以及实数的大小比较，同时涉及到在数轴上表示实数，体现了对实数基本概念和大小比较方法的综合运用．
首先，分别求出的算术平方根的值，然后在数轴上找到对应的点，最后比较它们的大小并排序．
【详解】解：因为，，且，
所以,
因为，
所以．
因为，
所以9的算术平方根是3．
因为，
所以的算术平方根，即．
21．
用数轴表示如下：
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”符号连接起来即可．
【详解】解：，
用“<”连接：．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的应用，平方根、算术平方根、立方根的意义，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据材料的思路求出的取值范围，进而得到，即可求解；
（2）根据材料的思路求出的取值范围，进而得到值，再根据算术平方根的定义求出，最后把、代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
的整数部分为，
是的算术平方根，
，
，
的立方根为．
23．(1)，；
(2)
证明：∵，，
∴，，
∴
，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了实数的运算，同底数幂乘法的逆用，解题关键是理解已知条件中的新运算．
（）根据已知条件中的新运算进行计算即可；
（）按照已知条件中的方法，先设，，然后根据新运算进行解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故答案为：，；
（2）略
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的特点是解题的关键．
（1）根据数轴表示实数，数轴上点的移动计算即可；
（2）根据两点之间距离的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：点表示的数为，向右爬个单位长度到达点，
∴点表示的数为，
∴；
（2）解：∵点所表示的数为，点表示的数为，
∴．
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