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专题05 二次函数图象与角度
（题型突破·举一反三）
▌题型01 等角构等腰
【典例1】
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)顶点坐标为，对称轴为直线；
(3)点的横坐标为．
【变式1】
【答案】(1)
(2)
【变式2】
【答案】(1)
(2)①；②时为锐角三角形
【变式3】
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为：．
(2)关系式为：，当时，的最大值为；
(3)存在，点的坐标为或．
▌题型02 等角构全等
【典例2】
【答案】(1)
(2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点
(3)
【变式1】
【答案】(1)，
(2)
(3)存在；，
【变式2】
【答案】(1)③
(2)
(3)
【变式3】
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)．
▌题型03 二次函数与倍角问题
【典例3】
【答案】(1)；
(2)①存在，；②．
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)或
【变式2】
【答案】(1)
(2)
（3）证明：∵点与点重合，则，
∵点为中点，，，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得，解得，
∴，
将代入，得，
解得，，
∵，
∴，
在中，当时，，
∴点在直线上，即，，三点共线．
【变式3】
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
▌题型04 二次函数与角的和差倍分
【典例4】
【答案】(1)
(2)点
(3)
【变式1】
【答案】(1)抛物线的解析式为：；直线的解析式为：
(2)见解析
(3)M的坐标为或
【变式2】
【答案】(1)，
(2)最小值为
(3)P的坐标为或
【变式3】
【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②
(2)或
▌题型05 二次函数与15°角
【典例5】
【答案】(1)，，抛物线解析式为
(2)15
(3)或
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)或
【变式2】
【答案】(1)
(2)当时，线段有最大值
(3)或
▌题型06 二次函数与45°角
【典例6】
【答案】
【变式1】（
【答案】或
【变式2】
【答案】
【变式3】
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为；
(2)点的坐标或；
(3)点的坐标．
【变式4】
【答案】(1)，
(2)
(3)或
▌题型07 二次函数与60°角
【典例7】
【答案】
【变式1】
【答案】(1)
(2)①；②，
【变式2】
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【变式3】
【答案】(1)；
(2)最大值为2，的坐标为；
(3)存在，或．
▌题型08 二次函数与90°角
【典例8】
【答案】
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或
【变式3】
【答案】(1)
(2)四边形的面积最大值为，
(3)或
▌题型09 二次函数与135°角
【典例9】
【答案】(1)；
(2)或
(3)或或或
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)或
【变式2】
【答案】(1)，；
(2)当时，的最大值为4，此时
(3)
【变式3】
【答案】(1)
(2)
(3)或专题05 二次函数图象与角度
（题型突破·举一反三）
/ 让教学更有效
题型01 等角构等腰
题型02 等角构全等
题型03 二次函数与倍角问题
题型04 二次函数与角的和差倍分
题型05 二次函数与15°角
题型06 二次函数与45°角
题型07 二次函数与60°角
题型08 二次函数与90°角
题型09 二次函数与135°角
▌题型01 等角构等腰
【典例1】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)顶点坐标为，对称轴为直线；
(3)点的横坐标为．
【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可．
（2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标．
（3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、，
设其解析式为，
抛物线与轴交于点，令得，
又此时，
，
解得：，
，
点的坐标为，
设直线解析式为，
把、，代入，得
解得，
直线的解析式为．
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
（3）解：、、，
，，，
在中，，
延长交x轴于点，
，
∴，
设点的坐标为，
，
解得，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
直线过点，
，
又直线过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
点在抛物线上，
，
解得：（为点，舍去）或，
点的横坐标为．
【变式1】（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为．
(1)求的值；
(2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入中，进一步可得答案．
（2）如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，此时，求解点坐标为，直线解析式为，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，
得 ．
解得；
（2）解：将代入中，得
∴，
解得，，
∴点坐标为，
将代入中，得
解得，
∴点坐标为．
如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，
此时，
∵关于轴对称点为．
∴点坐标为．
设直线解析式为，
将、代入，
得，
解得，
∴直线解析式为．
联立方程，
解得，，
∴点坐标为．
∴．
∴的长为．
【变式2】（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在轴上方的二次函数图象上有一动点．
①如图，作射线，当平分时，求点的坐标；
②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②时为锐角三角形
【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案；
（2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可；
②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：将、代入，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：①如图，连接，交于，
由（1）可知，，
∴当时，，
解得：或，
∴，
∵，，
∴，，
∴，是等腰三角形，
∵平分，
∴，即为的中点，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，，
解得：，（与点重合，舍去），
∴．
②设的中点为，连接，
∵，，
∴，
∵点C的横坐标为，
∴，
当时，，
∴，
解得：或，
∴时，为锐角三角形．
【变式3】（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，．
(1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值；
(3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为：．
(2)关系式为：，当时，的最大值为；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值；
（3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），
，，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为，
对称轴为直线：，
把代入函数解析式得到，
故顶点的坐标为：．
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴于点，交直线于点，
点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：存在，
当点在点左侧时，是钝角，为锐角，此时得；
当点在点，点之间时，点与点关于直线对称，
点的坐标为，
当点在点右侧时，
如图，过点作直线，根据两直线平行内错角相等可知直线与抛物线在第一象限的交点为，此时有，
令，则，
解得或，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
点在点右侧，
点的横坐标大于，
舍去，
，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键．
▌题型02 等角构全等
【典例2】（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题．
（1）根据题意先求得，进而可得，根据对称性可得，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）当点M在x轴上方，设交轴于点，证明得出，待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式求得的坐标；当点M在x轴下方，同理可得的解析式为，再联立抛物线解析式求得的坐标，即可求解；
（3）过点作轴于点，根据得出，进而设，解方程得出，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，则
∴
∵
∴，
∵抛物线的对称轴为直线
∴
将，代入
∴
解得：
∴
（2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点，
∵
∴
∵，，
∴
∴，则
设直线的解析式为，代入，，
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴点
当点M在x轴下方，同理可得的解析式为
联立
解得：或
∴
（3）解：如图过点作轴于点，
∵
∴
又∵
∴
设，
∴
解得或（舍去）
当时，
∴
【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．
(1)求点和点的坐标；
(2)当时，抛物线的取值范围是_______；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)，
(2)
(3)存在；，
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化，涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系．
（1）联立抛物线方程与直线方程解出点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出点坐标；
（2）确定抛物线在的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围；
（3）当在直线上方时，构造，利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标；当在直线下方，构造全等三角形，，计算点坐标．
【详解】（1）解：求点和点的坐标
联立：解得或
故点．
抛物线化为顶点式：，
故点．
（2）抛物线开口向上，对称轴为，
当 取值范围内时，时，（最小值）；
当时，随增大而减小，时，；
当时，随增大而增大，时，
比较得：最小值为，最大值为，
故的取值范围为 ．
（3）解：分两种情况讨论：
①当在直线上方时，
过点作，
设，，
解得，则
令，，点
∵，直线与轴交于点，直线与轴交于点
∴可将直线是直线沿方向平移（即向左平移个单位）
则
联立：解得或（舍）
故点．
②当在直线下方， ，
过点作轴于点，延长与交于
∵
∴为等腰直角三角形
∴
又∵
∴
即
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴点
设，，则
联立：，解得或（舍）
故点．
综上所述，，．
【变式2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点（点A 在点 B 的左侧），交y轴于点C，．
(1)下列说法正确的是 ．（填序号）
①；②；③该抛物线可表示为．
(2)求抛物线的解析式．
(3)若D 为抛物线在第一象限内的点，且平分 ，求点 D 的坐标．
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）先求出，进而得到，，则可得到点A的坐标，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，从而求出点A和点B的坐标，进而求出的长，据此逐一判断即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）过点B作轴交延长线于E，过点C作于F，可证明四边形是正方形，得到；证明，得到，则；求出直线解析式为，联立，解得或，据此可得答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，故②错误
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去）或（舍去），
∴抛物线解析式为，即该抛物线可表示为，故③正确；
在中，当时，，解得或，
∴，
∴，
∵，
∴，故①错误；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为；
（3）解：如图所示，过点B作轴交延长线于E，过点C作于F，
∵，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴；
∵平分 ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴．
【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数的应用——角度问题，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）设与轴交于点，过点作于点，由角平分线性质可得，，证明，所以，在中，，则，从而求得，再求出直线解析式为，再根据当时，，从而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设与轴交于点，过点作于点，
∵平分， ，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
在中，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴．
▌题型03 二次函数与倍角问题
【典例3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点为直线上方抛物线上一动点；
①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)①存在，；②．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键．
（1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解．
②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解；
【详解】（1）解：，
，
，
，
在的正半轴，
，
，
将点坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴；
（2）解：①存在，
延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：
，
，
，
，
又，
，
，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入表达式得：，
，
直线的表达式为：，
联立直线和抛物线解析式得：，
解得：，，
．
②设直线的表达式为：，
将点坐标代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
的横坐标为，
，
令抛物线，得：，
解得：，，
，
设直线的表达式为：，
代入
∴，
∴，
∴直线的表达式为：，
将点坐标代入直线的表达式得：，
，
直线的表达式：，
联立直线和的表达式：
，
解得：，
∴点横坐标为，
∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等，
，
和等高，
．
【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接
(1)求此二次函数的解析式；
(2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值
(3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：把和代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：如图，连接，设，
当，则，
解得，，
∴，
∴．
∵，
∴．
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，的面积取得最大值；
（3）解：∵，
∴对称轴为直线
设直线解析式为，
则，
∴，
∴，
当时，，
∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，
∵A、C关于直线对称，
∴，即，
同理可求出直线解析式为，
联立方程组，
解得或，
∴，
作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，
则，，即，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
解得或，
∴，
综上，当时，点P的坐标为或．
【变式2】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；
(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设则，，可得，，进而得到，解方程即可求解；
（3）根据题意可知，，设直线的解析式为，代入，得到解析式，将代入中，求得点，可得到点在直线上，即可证明，，三点共线．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴求二次函数的解析式；
（2）解：对于，令，得，
解得，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，，
∴，
解得，（舍去），或，
∴当时，，
∴；
（3）证明：∵点与点重合，则，
∵点为中点，，，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得，解得，
∴，
将代入，得，
解得，，
∵，
∴，
在中，当时，，
∴点在直线上，即，，三点共线．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式3】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）点代入，解方程即可得抛物线解析式．
（2）设抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，求出，直线的解析式，求出，由计算即得；
（3）假设存在符合题意的点，过点P作轴于点M，求出直线的解析式，得，根据，可得，得，得，解方程，即可求得P点坐标．
【详解】（1）解：（1）∵抛物线与轴交于点，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵．
∴顶点．
（2）解：如图，由（1）知，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，
点在抛物线上，且横坐标为，
∴代入中，得，
，，
设直线的解析式为，∵，
∴，
解得：，∴直线，
令，得，∴．
，
，
即的面积为；
（3）假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点．
设直线的解析式为,把，代入，得
,
∴，
∴（舍去），，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
轴，
，
∴，
又，
，
．
，
化简，得，
解得或0（舍）
由（2）知当时，，
．
即在第一象限内的抛物线上存在点，使．
【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，与三角形面积问题综合，等腰三角形的判定和性质，与角度问题综合，是解题的关键．
▌题型04 二次函数与角的和差倍分
【典例4】．（25-26九年级上·湖北鄂州·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于，其对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点为抛物线上第三象限内一动点，且，求点坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点、点，若两点的纵坐标分别为，试探究与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)点
(3)
【分析】（1）利用待定系数法，即可求解；
（2）由（1）点，点，点，得出，得到，进而得到；作点关于轴的对称点，连接，得到，求出直线的解析式为，从而得到直线的表达式为，联立方程组：，即可求解；
（3）设点，，则的解析式为：，，同理，得到，然后联立：，得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，其对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
点，
令，则，
点，
，，，
，
，
，
，
，
，
如图，作点关于轴的对称点，连接，则，，
，
，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴可设直线的表达式为：，
将代入得：，
直线的表达式为：，
联立方程组：，
解得：或，
点在第三象限内，
点；
（3）解：点、在抛物线上，
设点，，
点，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
的解析式为：，
∴点，
同理，，
联立：，
整理得：，
，，
，
，与之间的数量关系为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要涉及二次函数的图像与性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点；综合运用上述知识、数形结合是解题的关键．
【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点．
(1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式．
(2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值．
(3)当时，求点M的坐标
【答案】(1)抛物线的解析式为：；直线的解析式为：
(2)见解析
(3)M的坐标为或
【分析】（1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线的解析式；
（2）先用表示出，再利用配方法求出最值；
（3）分M在直线下方，M在直线上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
则，
则，解得，
∴抛物线的解析式为：，
直线的解析式为：；
（2）
∵，
∴当时取得最大值2；
（3）①当M在直线下方时，
作点A关于y轴的对称点D，
由对称可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点M在直线上，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
将、代入得：解得：，
∴直线的解析式为：，
联立方程得：，
解得： (舍去），，
将代入，得，
∴；
②当M在直线上方时，
作点D关于直线的对称点，
∴，
∴，
，(由①得)，，
∴，
∴点M在直线上，
设直线的解析式为：，
将、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立方程得：，
解得： (舍去），，
将代入，解得，
∴，
综上所述M的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，的最值，角度问题(二次函数综合)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
【变式2】（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)最小值为
(3)P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可；
（2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可；
（3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可．
【详解】（1）∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴，
，
，
，
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
，
∴所在直线垂直于y轴，
关于的对称点，
∴点的坐标为，
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键．
【变式3】（2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点．
(1)若，
①求该抛物线的顶点和点，的坐标；
②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标．
(2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标．
【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②
(2)或
【分析】（1）①把代入求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令求出与坐标轴的交点；
②过点作，轴，交于点，得到是等腰直角三角形，那么将的最大值转化为的最大值求解即可；
（2）同①可得，，，，直线的解析式为，可求点，作点关于轴的对称点，有．则，即点，，在一条直线上时，取得最小值，将点代入求出，求出抛物线解析式，取点，连接，然后证明．
当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，可得，则，再求出直线的不等式与抛物线的表达式联立求解即可．
【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为．
由，知抛物线的顶点坐标为．
当时，．
解得，．
∴点的坐标为．
当时，．
∴点的坐标为．
②过点作，轴，交于点．
，，
．
，
．
轴，
．
．
在中，有．
．
∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值．
设直线
由，得，
解得
∴直线的解析式为．
．
∵点在抛物线上，
．
．
∵，
∴当时，取得最大值．此时点的坐标是．
（2）解：同①可得，，，，直线的解析式为．
由可知，点．
作点关于轴的对称点，有．
，即点，，在一条直线上时，取得最小值，
∴将点代入得，．
解得（舍去），．
∴抛物线解析式为．
∴点，．
．
取点，连接，
由，可知垂直平分．
．
．即．
．
当点在直线下方时，可知．
由点，，同理可求直线的解析式为．
∴设直线的解析式为．
把点代入可解得．
∴直线的解析式为．
当时，
解得（与点重合，不合题意舍去），．
∴点的坐标为．
当点在直线上方时，设与轴相交于点．
由，，可知．
又，，
∴．
∴．
．
∴同理可求直线的解析式为．
当时，
解得（与点重合，不合题意舍去），．
∴点的坐标为．
综上，满足条件的点的坐标为或．
▌题型05 二次函数与15°角
【典例5】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点．
(1)求点、点的坐标及抛物线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上一点．且．求点坐标．
【答案】(1)，，抛物线解析式为
(2)15
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式：
（1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可；
（2）根据列式计算即可；
（3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
把代入中得，解得，
∴抛物线解析式为，
联立，解得或，
∴
（2）解：
；
（3）解：如图所示，过点C作轴于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
当点Q在点A上方时，∵，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标为；
当点Q在点A下方时，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【变式1】（2026·宁夏固原·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．
(3)点D为y轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点，点坐标代入解析式可求解；
（2）连接，，，设于抛物线对称轴交于 由于A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，即可得到，要使最小，即最小，故当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置，求出直线的解析式，即可得到答案；
（3）先求出点坐标，可得，可得，再分点在点 C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．
【详解】（1）解：抛物线交轴于点 ，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）解：令，即，解得或，
，
如图所示，连接，，，设于抛物线对称轴交于，
∵、分别是抛物线与x轴的两个交点，
∴A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，
∴，
∴，
∴要使最小，即最小，
∴当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴P点坐标为；
（3）解：抛物线与轴交于，两点，
，
，，
，
，
如图2，当点在点上方时，
，
，
，
，
；
若点在点下方时，
，
，
，
，
．
综上所述：线段CD的长度为或．
【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；
(3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式．
【答案】(1)
(2)当时，线段有最大值
(3)或
【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案；
（2）设点，根据题意，得到抛物线及直线解析式，求出点的坐标，由两点之间距离公式表示出，由抛物线图象与性质求出最值即可得到答案；
（3）根据题意，分两种情况，作出图形，由含的直角三角形性质求出长，由待定系数法求直线解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点，
设抛物线，
抛物线与轴交于点，
，
解得，
即，
抛物线的解析式为；
（2）解：设点，
由（1）知抛物线的解析式为，
当时，，
即；
设，
将、代入解析式得，
解得，
；
当时，，
即；
，
，
抛物线开口向上，当时，线段有最大值；
（3）解：、，
，
，
是等腰直角三角形，
则，
由可知，分两种情况，
当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示：
，
在中，，，则，
由勾股定理可得，即，
设，
将、代入解析式得，
解得，
；
当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示：
，
在中，，，则，
由勾股定理可得，即，
解得，则，
设，
将、代入解析式得
，
解得，
；
综上所述，直线的解析式为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、两点之间距离表示、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，数形结合，掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
▌题型06 二次函数与45°角
【典例6】（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______．
【答案】
【分析】已知抛物线过A、B两点，将两点坐标代入抛物线解析式，求出a、b的值，确定抛物线表达式．
已知点C横坐标，将其代入抛物线表达式，求出点C的纵坐标，确定点C坐标．
过点A作于点E，过点E作轴，过A、C作于点F，证明，得，设，则，解得，即，求出直线的解析式，联立抛物线解析式得，解得，即得．
【详解】解：∵抛物线过、，
∴用交点式得：，
对比常数项，得，
因此抛物线解析式为：．
∵点横坐标为，
∴代入抛物线得，
即．
过点A作于点E，过点E作轴，过A、C作于点F，于点G，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
解得,
∴
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
联立抛物线解析式得，
化简得，
解得 （对应点），，
代入解析式得 ，
∴．
【变式1】（2026·贵州黔南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D是二次函数的顶点，连接直线，点E是直线上一动点，连接，，当时，点E的坐标为__________．
【答案】或
【分析】先求解，，，顶点，可得，可得重合时符合条件，如图，作的外接圆，连接，则，结合，且两个角在的同侧，可得在上，设，再进一步求解即可.
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
当时，则，
解得：，，
当时，，
∴，，，
∵，
∴顶点，
∴，
∴，
∴重合时符合条件，如图，
此时，
如图，作的外接圆，连接，则，
∵，且两个角在的同侧，
∴在上，
设，
∵，，，
∴ ，
解得：，
∴，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，
∴，
解得：或，
∴，
综上：的坐标为或.
【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作轴于，
在中，令，则，
解得：，，
∴，
∵点P是抛物线上一动点，
∴设，则，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
解得：或，
∵点P在第二象限，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3】（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上且，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为；
(2)点的坐标或；
(3)点的坐标．
【分析】1）先求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解；
（3）作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点的坐标为，
在线段上取点，使，此时，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
则，
∴，
∵，
∴，
当点在轴上方时，设交轴于点，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
当点在轴下方时，设交轴于点，
∴，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
综上，点的坐标或；
（3）解：如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，
∴是等腰直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，解直角三角形，一次函数，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，合理添加辅助线是解题的关键．
【变式4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点．
(1)求点坐标；
(2)若面积为8，求的值；
(3)若中有一个内角为，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数综合问题，求三角形的面积，等腰三角形的性质与判定．
（1）令，进而解方程，即可求解；
（2）令得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解；
（3）分两种情况讨论，，，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，建立方程解方程即可求解．
【详解】（1）解：当时，
∵
∴
解得：
∴，
（2）解：∵图象与轴负半轴交于点
当时，
∴，则
∵，
∴
∵面积为8，
∴
解得：
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为轴，
当时，则
∴
解得：
当时，如图，过点，作于点
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
又∵
∴,
∵
∴
解得：（负值舍去）
综上所述，或
▌题型07 二次函数与60°角
【典例7】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得的坐标是解题的关键．
根据平移的性质求得交点Q的坐标，得到解析式，代入C求得Q的坐标， 过作交于，利用为等边三角形，则，构建方程求解即可．
【详解】如图，过作交于，
根据题意，
抛物线，代入得，
若，由图易知为等边三角形，
，即，
则，解得或（舍去），
所以．
故答案为：．
【变式1】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点，
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接；
①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标；
②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②，
【分析】（1）将，两点代入抛物线的解析式，解方程即可；
（2）①设直线交x轴于E，可推出为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；
②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：①如图1，
设直线交x轴于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∴直线的解析式为：，
由得，
∴，（舍去），
即点P的横坐标为；
②如图2，
令，
解得，，
∴，
直线过、两点，
直线的解析式为：，
设点，
分以下两种情况：
点P在第三象限时，作轴于F，
∵点E与关于对称，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴为菱形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去），，
∴；
当点P在第二象限时，
同理可得：，
∴（舍去），，
∴；
综上所述：点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
【变式2】（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点．
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，若，求此时点的坐标；
(3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形：
（1）先求出，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可；
（2）点坐标为，则，求出，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案；
（3）设直线的表达式为，则，解得，则直线的表达式为，即可得到点坐标为，则，据此分别求出，再由建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线对称轴为直线，
∴；
（2）解：由题意得点坐标为，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
，
（舍去）或，
；
（3）解：由题意得点坐标为
设直线的表达式为，
则，解得
∴直线的表达式为，当时，，
∴点坐标为，
∴
，
，
，
∴或，
解得（舍去）或（负值舍去）
．
【变式3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)最大值为2，的坐标为；
(3)存在，或．
【分析】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用了三角形的面积得出关于n的方程，以防遗漏；
（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解；
（2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解；
（3）根据三角形的面积，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；
【详解】（1）点的坐标为
．
抛物线过点，对称轴是直线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为，
点的坐标为．
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为．
设点，
则点，
．
，
当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为；
（3）存在．
设点，
如图，过点作于点，连接．
，
，
．
，
．
由的面积，得，
即化简，得，
解得（不符合题意，舍去），
．
设点与点关于原点对称，则，
．
综上所述，点的坐标为或．
▌题型08 二次函数与90°角
【典例8】（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________．
【答案】
【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解．
【详解】解：∵直线与抛物线交于两点
设两点坐标分别为：，且，
，
，
如图，过点 M 和点 N 作交于 G，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解．
【变式1】（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则____________．

【答案】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，勾股定理，锐角三角函数；根据二次函数，可以求得点、点，然后根据勾股定理即，过点C作于点F，根据三角函数计算,结合，利用正切计算即可；能熟练利用三角函数解题，结合数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【详解】∵，
∴点、点，

∴，，
过点C作于点F，
∵
∴,
∵，，
∴，
∴,
∴,
∴,
故答案为：．
【变式2】（2026·四川内江·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C，直线与抛物线交于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为腰，在右侧作等腰，，求点N的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点M作轴于点D，过点N作轴于点E，先求出，证明，得出，，即可得出答案；
（3）先求出点，根据点，求出，分两种情况：当点P在x轴上方时，当P在x轴下方时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：将，分别代入得：
，
解得：，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：过点M作轴于点D，过点N作轴于点E，如图所示：
∴
解方程组，
解得：，，
∴，
∵，，
∴
∴，
由等腰直角得，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：存在；
把代入得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点P在x轴上方时，过点P作轴于点H，如图所示：
则，
设
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴此时点P的坐标为；
当P在x轴下方时，过点P作轴于点G，如图所示：
则，
设
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴此时点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【变式3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点，的坐标分别为，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点，求四边形的面积最大值，及此时点的坐标；
(3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形的面积最大值为，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求直线的解析式，过点P作交于点D，设，则，，求解四边形的面积最大时的m值，进而可得的坐标；
（3）由题意知，分两种情况求解，作，可知直线与抛物线的交点即为点M，根据二次函数的对称性求解M的坐标即可；作直线使交于点F，可知直线与抛物线的交点即为点M，根据勾股定理求出F点的坐标，待定系数法求的解析式，联立求交点坐标即可
【详解】（1）解：将A、B点坐标代入抛物线解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
将B、C两点坐标代入，得
，
解得，
直线的解析式为，
如图，过点P作交于点D，连接，设，则，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为，
；
（3）由题意知，分两种情况求解，
如图，作，
，
即直线与抛物线的交点即为点M，
C、M关于抛物线的对称轴直线对称，
；
如图，作直线使交于点F，
又，
，
即直线与抛物线的交点即为点M，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
设直线的解析式为，
将C、F点坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合，解题的关键是对知识的灵活运用．
▌题型09 二次函数与135°角
【典例9】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，二次函数的图象交轴于点，其中点的坐标为，点的坐标为，过点、的直线交二次函数的图象于点．
(1)求二次函数和直线的函数表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点为直线上在第一象限内的动点，连接、，将沿翻折得到，连接，当为直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图2，作的平分线交于点，过点作于点，连接，作点关于x轴的对称点，先证明，设点，则，用角平分线性质和三角形面积即可求得答案；
（3）可分三种情况：或或，分别求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：将代入，得： ，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
令 ，得，
解得： ，
∴，
设直线的解析式为，把，代入，
得： ，解得： ，
∴直线的解析式为；
（2）解：轴上存在一点，使得．
如图2，作的平分线交于点，过点作于点G，连接，作点关于x轴的对称点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与，
，
∴，
∴，
∴，
设点，则，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
根据对称性可得：，
∴点的坐标为：或；
（3）①当，如图3；
则，
∵将沿翻折得到，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当时，如图4，连接交于点G，过点B作于点H，
设 ，
则，
∵将沿翻折得到，
∴，
∵，
∵直线与抛物线交于A，D两点
∴
解得：
∴
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∵点在第一象限，
∴，
∴，
∴；
当时，如图5，连接并延长交x轴于点G，过点B作于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
由翻折得：，
在中，，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
③当时，如图6，
由翻折得：，
∴，
∴B、E、D在同一条直线上，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，三角函数，勾股定理，直角三角形性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，有一定的难度，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
【变式1】（24-25九年级上·湖北黄石·期末）已知抛物线与直线相交于B、C两点，抛物线与x轴相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)当时，如图（1）过点A作直线垂直于x轴，把线段绕点C顺时针旋转，所在的直线交直线于点P，求点P的坐标；
(3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点．如等，如图（2）直线l与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为22个，求点a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将代入即可求出点A的坐标；
（2）先求出点，点，过点A作的垂线，垂足为点G，过点G作x轴的垂线交x轴于点N，作交于点M，则等腰直角三角形，证明得，求出点，待定系数法求得直线的解析式为，进而可求出点P的坐标；
（3）先求出，设直线交直线交与点D，直线交直线与点F， 交 于点E，可得，设由抛物线 与直线围成的区域（不含边界）的格点为（m、n均为整数），则或，然后根据线段与各有11个格点求解即可．
【详解】（1）解：将代入，得到，
∴；
（2）解：当时，抛物线，直线为，
解得，，
∴点，点，
如图，若，则
过点A作的垂线，垂足为点G，过点G作x轴的垂线交x轴于点N，作交于点M，则等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，
∵，
解得．
∴点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点；
（3）解：解得，，
∴，
设直线交直线交与点D，直线交直线与点F，交 于点E，则，
∴，
∴，
设由抛物线 与直线围成的区域（不含边界）的格点为（m、n均为整数），
∴或，
∴格点必在线段与上，
又∵该区域共有22个格点，且，
∴线段与各有11个格点，
∴，
∴，
又∵线段上共有11个格点，
∴当时，，即，
∴，
当时，，此时线段上也恰好有11个格点，
综上所述，满足条件的a的取值范围为或者．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，数形结合是解答本题的关键．
【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．
(1)求a，b的值；
(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)，；
(2)当时，的最大值为4，此时
(3)
【分析】（1）将代入中得到二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过作，交移动后的抛物线于．当时，，即．
【详解】（1）解：将代入中，
，
，；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，
，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为4，此时；
（3）解：设抛物线向右平移个单位，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵抛物线平移后经过原点，
，
解得：或（舍），
∴平移后的抛物线解析式为，
，
，
，令，则或1，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，
过作，交移动后的抛物线于，
当时，，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键．
【变式3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值．
(3)将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据点在抛物线上且对称轴为直线建立方程组，求解即可；
（2）根据抛物线确定，，得，，
，，，如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接，推出，四边形是平行四边形，，，，证明得，求出，设，确定直线的解析式为，得，继而得到，，则当时，取得最大值，
此时，进一步确定，，求出，然后由可得答案；
（3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点，先确定，再由平移规律确定新抛物线的解析式，求出，得，证明得，求得，，确定直线的解析式为，由联立可求得点的坐标；再确定直线的解析式为，求得，根据垂直平分线的性质及对称的性质可得，继而得到直线的解析式为，再联立可得点的另一个坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，
当时，得：，
∴，
当时，得：，
解得：或，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接，
∴，四边形是平行四边形，，，，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴交于点，
∴，
∴，
∴，
当时，取得最大值，
此时，
∵抛物线的对称轴为直线，点为该抛物线的顶点，
当时，，
∴，
∵，即，点在点的左侧，
∴点在点的左侧，
设直线的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
解得：或，
经检验，或都是原方程的解但不符合题意，故舍去，
∴，
∴，
∵轴，，直线的解析式为，
∴轴，，点的横坐标为，此时对应的，
∴，
∴，
∵点、关于直线对称，
∴直线垂直平分，
∴，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
当点、、共线时取“”号，此时取得最小值，
即当线段最大时，的最小值为；
（3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点，
∴，，
∵，，点是线段的靠近点的三等分点，，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点为新抛物线与直线的另一交点，
又∵点和点都在上，
∴抛物线向下平移个单位再右平移个单位得到新抛物线，即，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的坐标为；
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∵，，，，
∴垂直平分，
∴点与点关于点对称，，
∴，
设，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，对称的性质，函数图象平移的规律，函数图象的交点坐标，两点之间线段最短等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质及图形的变换是解题的关键．专题05 二次函数图象与角度
（题型突破·举一反三）
/ 让教学更有效
题型01 等角构等腰
题型02 等角构全等
题型03 二次函数与倍角问题
题型04 二次函数与角的和差倍分
题型05 二次函数与15°角
题型06 二次函数与45°角
题型07 二次函数与60°角
题型08 二次函数与90°角
题型09 二次函数与135°角
▌题型01 等角构等腰
【典例1】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标．
【变式1】（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为．
(1)求的值；
(2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长．
【变式2】（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在轴上方的二次函数图象上有一动点．
①如图，作射线，当平分时，求点的坐标；
②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围．
【变式3】（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，．
(1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值；
(3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
▌题型02 等角构全等
【典例2】（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标．
【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．
(1)求点和点的坐标；
(2)当时，抛物线的取值范围是_______；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
【变式2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点（点A 在点 B 的左侧），交y轴于点C，．
(1)下列说法正确的是 ．（填序号）
①；②；③该抛物线可表示为．
(2)求抛物线的解析式．
(3)若D 为抛物线在第一象限内的点，且平分 ，求点 D 的坐标．
【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标．
▌题型03 二次函数与倍角问题
【典例3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点为直线上方抛物线上一动点；
①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）．
【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接
(1)求此二次函数的解析式；
(2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值
(3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【变式2】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；
(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线．
【变式3】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
▌题型04 二次函数与角的和差倍分
【典例4】．（25-26九年级上·湖北鄂州·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于，其对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点为抛物线上第三象限内一动点，且，求点坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点、点，若两点的纵坐标分别为，试探究与之间的数量关系．
【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点．
(1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式．
(2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值．
(3)当时，求点M的坐标
【变式2】（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
【变式3】（2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点．
(1)若，
①求该抛物线的顶点和点，的坐标；
②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标．
(2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标．
▌题型05 二次函数与15°角
【典例5】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点．
(1)求点、点的坐标及抛物线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上一点．且．求点坐标．
【变式1】（2026·宁夏固原·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．
(3)点D为y轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度．
【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；
(3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式．
▌题型06 二次函数与45°角
【典例6】（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______．
【变式1】（2026·贵州黔南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D是二次函数的顶点，连接直线，点E是直线上一动点，连接，，当时，点E的坐标为__________．
【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______．
【变式3】（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上且，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标．
【变式4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点．
(1)求点坐标；
(2)若面积为8，求的值；
(3)若中有一个内角为，求的值．
▌题型07 二次函数与60°角
【典例7】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________．
【变式1】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点，
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接；
①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标；
②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标．
【变式2】（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点．
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，若，求此时点的坐标；
(3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标．
【变式3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
▌题型08 二次函数与90°角
【典例8】（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________．
【变式1】（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则____________．

【变式2】（2026·四川内江·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C，直线与抛物线交于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为腰，在右侧作等腰，，求点N的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【变式3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点，的坐标分别为，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点，求四边形的面积最大值，及此时点的坐标；
(3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标．
▌题型09 二次函数与135°角
【典例9】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，二次函数的图象交轴于点，其中点的坐标为，点的坐标为，过点、的直线交二次函数的图象于点．
(1)求二次函数和直线的函数表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点为直线上在第一象限内的动点，连接、，将沿翻折得到，连接，当为直角三角形时，直接写出点的坐标．
【变式1】（24-25九年级上·湖北黄石·期末）已知抛物线与直线相交于B、C两点，抛物线与x轴相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)当时，如图（1）过点A作直线垂直于x轴，把线段绕点C顺时针旋转，所在的直线交直线于点P，求点P的坐标；
(3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点．如等，如图（2）直线l与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为22个，求点a的取值范围．
【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．
(1)求a，b的值；
(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【变式3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值．
(3)将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程．

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