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第十三章《三角形》单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3，3，6 C．3，4，8 D．3，4，5
2．如图，的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部
B．三角形的外角等于两个内角之和
C．在中，， 则为钝角三角形
D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心
6．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
7．如图，在中，是中线，点是中点，F在上，且．若的面积是1，则的面积为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
8．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（ ）
A．2 B．3 C．9 D．12
10．如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________．
12．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________．
13．若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________．
14．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______．
15．如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________．
16．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（6分）一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形．
18．（6分）如图，在中，，，，，，求和的长．
19．（6分）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：， ___________． 即．
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程．
20．（6分）将一副三角板如图叠放在一起．已知，，．
(1)如图①，___________°，___________°
(2)如图②，若，求的度数．
21．（8分）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)试说明：；
(2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数．
22．（8分）阅读理解
三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ．
任务：
(1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____；
(2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程；
(3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____．
23．（8分）在中，，点在射线上（不与重合），点在射线上，连接，若．
(1)如图1，若，求度数；
(2)当点在边上时，试说明；
(3)若的角平分线交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
24．（12分）综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）；
(2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值；
(4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积．
25．（12分）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线上，，，平分交直线于点D，且．
(1)求的度数；
(2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（）．
①若三角板保持不动，作的平分线，当时，求t的值；
②若三角板同时绕点B以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A选项：最长边为5，，不满足三边关系，不能构成三角形，A选项错误；
B选项：最长边为6，，不满足三边关系，不能构成三角形；
C选项：最长边为8，，不满足三边关系，不能构成三角形；
D选项：最长边为5，，满足三边关系，能构成三角形．
2．C
解：∵，
∴．
3．D
解：的边上的高是经过点C与垂直的线段，
A、是边上的高，故此选项不符合题意；
B、不是边上的高，故此选项不符合题意；
C、是边上的高，故此选项不符合题意；
D、是边上的高，故此选项符合题意．
4．D
解：∵是边上的中线．
∴，故A正确，
∵是的角平分线，
∴，故B正确，
∵是边上的高，
∴，故C正确，
没有条件判断，故D错误，
故选：D．
5．D
A项：因为钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，所以不是所有三角形高线交点都在三角形内部，A错误；
B项：因为三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以选项缺少限制条件，B错误；
C项：因为三角形内角和为，，所以最大角为，是直角三角形，不是钝角三角形，C错误；
D项：由三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，D正确．
6．D
解：起吊物体前：
，为的平分线，
，
，
物体被吊起后：
，，
，
减少了，
又减小了，
减少了．
7．C
解：∵的面积是1，且，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴，
∵在中，是中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴的面积为．
8．A
解：根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
9．B
解：设三角形第三条边的长为，
根据三角形三边关系，得，
，
根据“倍长三角形”定义分情况讨论：
①若，则，不满足，舍去；
②若，则，满足，符合条件；
③若，则，满足，符合条件；
④若，则，不满足，舍去；
综上所述，符合条件的第三边长为或，对照选项，只有符合．
10．A
解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
，故②正确；
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
过点F作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，故④错误；
综上，正确的有①②③．
二、填空题
11．
解：根据三角形三边关系，可得，即．
12．20
解：∵是的中线，
∴，
∵的周长为18，，
∴，即，
∴，
∵，
∴的周长为．
13．7
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意；
当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去；
∴等腰三角形的周长为：．
14．36
解：如图，连接并延长，交于点，
∵分别为边上中点，
∴为的中线，
∴，，，为的中线，
∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴．
15．
解：∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
16．
解：过点A作于点E，
连接，根据题意，得，
当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，
故当点P与点E重合时，最小，
在中，，
，
，
∴的最小值是．
三、解答题
17．解：三角形的第三边长：，
三边长：5，6，7，三边都不相等，
则不是等腰三角形．
18．解：∵，，，
∴，
又∵，
∴．
19．（1）解： ，
即．
（2）解：∵，
，，
∵，
．
20．（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：135，30；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴．
21．（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：以M为交点“8字型”中，有，
以N为交点“8字型”中，有,
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴．
22．（1）解：∵点是边上的中点，
∴．
（2）．
证明：如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：∵是的中线，
∴，
∵是的高线，
∴，
又∵，
∴．
23．（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由题意设：，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）解：当在线段上时，；当在线段的延长线上时，；
理由如下：如图，当在线段上时，
由题意设：，，
∴，
，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
当在线段的延长线上时，如图，
同理由题意设：，，
∴，
，
∴
∴，
∴，
∵，
∴.
24．（1）解：是三角形的中线，
，
和的底边分别是和，它们共用同一个顶点，
它们的高相等，设为，
．
（2）解：，，理由如下：
点是的重心，
，
和同高，设高为，
，
同理得，
∴，
，
∴；
（3）解：点是的重心，
，
和同高，设高为，
，
，
∴，
同理：等底同高，等底同高，
，，
∴，
∴．
（4）解：如图，连接交于点，
是的重心，
由（3）可得出，，，，
设，，
∴，
同理得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
同高，
设它们的高为，
，，且，
，
、和同高，设高为，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得，，
∴．
25．（1）解：中，，，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：①依题意有以下两种情况：
（ⅰ）当在的右边时，如图1所示：
由旋转得，
由（1）得，，
，
平分，
，
∵∠FAK=∠BAF+∠BAC+∠CAK,∠CAK=9 ，
，
解得；
（ⅱ）当在的左边时，如图2所示：
同理可得，
，，
，
解得，
综上所述，t的值为2或8；
②当时，有两种情况：
（a）如图3所示，延长交于点K，
，
，
由旋转得，，
，
，
，
解得；
（b）如图4所示，延长交于点W，
同理得：，，
，
，
，
，
，
解得；
当时，也有两种情况：
（a）如图5所示，延长交于点R，
同理得：，，，
，
，
，
，
，
解得；
（b）如图6所示，延长交于点T，
同理得：，，，，
，
，
，
，
，
解得；
综上所述，当边与三角板的一条直角边平行时，t的值为或或或．

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