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第十三章《三角形》章节自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．7
2．下列各组线段中，不能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．三条线段之比为
3．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，平分于E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
7．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
8．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．或
9．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在中，已知，，则________．
12．如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________．
13．如图，是的外角，若，，则_______
14．如图，在中，，点在射线上，和的角平分线相交于点，若，则的度数为______．
15．如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为1，则的面积为__________．
16．折叠纸片，使点，均与点重合，折痕交直线于点，．若，则______．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若，，且c是奇数，试判断的形状；
(2)化简：．
18．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若的面积为，，求的长；
(2)若平分，，，求的度数．
19．如图，是的角平分线，点E在上，交于点F，．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的度数．
20．如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点．
(1)若，，则 ， ；
(2)在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
21．在中，，是边上的高，是的平分线．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，与交于点，
(1)求证：；
(2)如图，，，平分，，求证：；
(3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论．
23．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）；
(2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数；
(3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______．
24．数学探究
在中，已知．
(1)如图1，，的平分线相交于点．
①当时，________；（直接写出结果）
②的度数为________；（用含的代数式表示）
(2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示）
(3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示）
25．综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）；
(2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值；
(4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积．
参考答案
一、选择题
1．D
解：设第三边的边长为，
∵三角形已知两边长为5和7，
∴，即，
观察选项，只有选项D的7满足，故选D．
2．D
解：选项A：，较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意．
选项B：较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意．
选项C：三边均为，较小两边和为，，满足三边关系，能组成等边三角形，不符合题意．
选项D：设三条线段长分别为，较小两边和为，等于最长边，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意．
3．C
解：作，如图，
，
，
．
4．D
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
5．A
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
6．C
解：∵为的中线，
∴
∵的面积为24，
∴，
∵为的中点，
∴
∴．
7．D
解：起吊物体前：
，为的平分线，
，
，
物体被吊起后：
，，
，
减少了，
又减小了，
减少了．
8．D
解：，，是三角形的三边长，
，，
，，
等式右侧为：，
可得：，
整理得：，
，，
，，
解得：，，
①当腰长为，底边长为时，
，符合三角形三边关系，
三角形的周长为，
②当腰长为，底边长为时，
，符合三角形三边关系，
三角形的周长为，
综上，等腰三角形的周长为或．
9．D
解：∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
10．B
解：∵，，
设
∴
又∵
∵的平分线与的平分线交于点，
∴，
∴
∴
即．
二、填空题
11．
解：在中，，
，
又，
．
12．稳定性
解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性．
13．
解：∵是的外角，，，
∴，
∴.
14．
解：∵平分，
∴,
∵，
∴,
∵平分，
∴．
由三角形外角性质可知，，,
∴,
∴,
∵，
∴,
又∵,
∴，即,
∵，
∴,
在 中，∵，
∴，
∴．
15．
解：设的面积为，连接，
∵，，
∴，
∵为边上的中点，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得，
即的面积为．
16．或或
设．
分三种情况讨论：
当为锐角时，
若点，在边上，
根据折叠的性质，可得，，
∴，
∵，
∴，
由三角形内角和定理得，
∴，
解得；
若点在边的延长线上，
根据折叠的性质，可得，，
∴，，
∴，
解得；
当为钝角时，
根据折叠的性质，可得，，
∴，
∵，
∴，
解得．
综上所述，的度数为或或．
三、解答题
17．（1）解：∵a，b，c是的三边长
且，，
∴，即，
∵c是奇数，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（2）解：∵a，b，c是的三边长
∴，，，
∴，
∴原式
．
18．（1）解：是的中线，，
，
的面积为20，是的高，
，
．
（2）解：，且，．
，
是的角平分线，
，
，
是的高，
，
，
．
平分，
，
．
19．（1）解：是的平分线，
．
，则．
在中，，
；
（2）解：∵是的平分线，
．
∵，
∴，
，
．
20．（1）解：，，
；
，
，
，
（2）是定值，定值为．
是的外角，
；
，
，
，
，
．
，
即是定值，定值为．
21．（1）解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
(2)，理由如下：
∵是边上的高，
∴， ，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
22．(1)∵，，
又，
∴；
(2)设，设与交于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
(3)，理由如下：
设，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
由（1）的结论得，即，
∴，
在中，，
∵，，
由四边形内角和定理知，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴是“梦想三角形”；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“梦想三角形”；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是“梦想三角形”，
当，即，解得，
此时中，，满足条件；
当，即，解得，
此时中，，满足条件；
综上，的度数为或；
（3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为，
设该“梦想三角形”的另外两个内角为，
则有，
当时，解得，
此时，故最小内角的度数为；
当时，解得，不满足题意；
当时，则有，解得，
此时，故最小内角的度数为；
综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或．
24．（1）解：①平分，平分，
，，
，
当时，；
②由①可知，．
（2）解：，，
．
点是的外角，的角平分线的交点，
，，
，
．
（3）解：，
．
，，
，
．
由（2）可知，．
，，
，
．
25．（1）解：是三角形的中线，
，
和的底边分别是和，它们共用同一个顶点，
它们的高相等，设为，
．
(2)，理由如下：
点是的重心，
，
和同高，设高为，
，
同理得，
∴，
，
∴；
（3）解：点是的重心，
，
和同高，设高为，
，
，
∴，
同理：等底同高，等底同高，
，，
∴，
∴．
（4）解：如图，连接交于点，
是的重心，
由（3）可得出，，，，
设，，
∴，
同理得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
同高，
设它们的高为，
，，且，
，
、和同高，设高为，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得，，
∴．

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