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第25章《一元二次方程》单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ）．
A．， B．， C．， D．，
2．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根
3．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
6．设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
7．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（ ）
A．1 B． C．5 D．
9．对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
10．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（ ）
A． B．，2 C．，4 D．，0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____．
12．若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________．
13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．
14．某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m．
15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________．
16．如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：移项，得第一步 二次项系数化为1，得第二步 配方，得．第三步 第四步 由此可得．第五步 ，第六
(1)任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ；
②上述解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
(2)任务二：请写出该方程正确的求解过程．
19．已知，是两个不相等的实数，且满足，．
(1)求式子的值；
(2)若与两数异号，求实数k的取值范围．
20.如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米．
(1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示）
(2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长．
21．已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；
(3)若的值为负整数，求实数的整数值．
22．阅读下面的例题：
求代数式的最小值．
解：．
，，
的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值．
23．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数．
24．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”．
(1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）．
①；②；③．
(2)若是“好根方程”，求的值．
(3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值．
25．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发．
(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．
①经过几秒，的面积等于？
②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
(2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？
参考答案
一、选择题
1．C
原方程为，
将方程移项整理为一般形式得或，
整理后可得，二次项系数和一次项系数为或．
2．D
∵对于一元二次方程，，，，
∴根的判别式，
∵，
∴，方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根为，，由根与系数的关系得，
∴方程的两根异号，
∴方程有两个不相等的异号实数根．
3．A
解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，且，
解得，，
解得，，
综上所述：．
4．C
解：∵方程有两个实数根，
∴，，
∴的取值范围是且．
5．A
解：当时，代入方程左边得：
，
，
满足方程，因此方程必有一根为．
6．A
解：∵、是方程的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，，
又∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
7．A
解：解方程，
因式分解得，
解得，，
∵三角形边长为正数，
∴舍去负根，得第三边长为，
∵，符合三角形三边关系，
∴三角形周长为．
8．D
解：∵一元二次方程的两根为，，
∴根据根与系数的关系可得，，
∵一元二次方程的两根为，，
∴两根之积满足，
∴．
9．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
故方程根为．
故选：C．
10．C
解：∵与是“同构二次方程”，
故方程与方程为同一个方程，
，
，
，
解得：．
二、填空题
11．12
解：方程，两边加上，得
，
即.
12．
解：设另一个根为，由根与系数的关系得，
其中，，，代入得：，
即，
解得：．
故答案为：．
13．
解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得，，
∴
．
14．1
解：设小路的宽度为，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为，
则可列方程：，
解得或（舍去），
∴小路的宽度为．
15．
解：原方程为一元二次方程的一般形式，其中，，常数项为，
因为方程有两个相等的实数根， 所以判别式，
解得
16．2或6或
解：当点在线段上时，
∵，，
∴，，，
∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴∠MCB=∠NCB=90 ，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
解得：，
∴或；
如图2，当点在线段延长线上时，
同理可得，，
设，则，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
解得：，
∵
∴；
综上所述，的长为2或6或．
三、解答题
17．（1）解：，
因式分解，得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
移项，等式两边同时除以，得：，
配方，得：，
即：，
∴，
解得：，．
18．（1）解：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式；
②上述解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上；
故答案为：①配方法，完全平方公式；②三，等式的右边没有加上；
（2）解：，
移项得：，
二次项系数化为1得：，
配方得：，
即，
由此可得：，
∴，．
19．（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根，
由根与系数的关系得：；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
判别式,
解得,
与两数异号,
,
解得,
综上所述，的取值范围是．
20．（1）解：修建的长方形运动员候场区的长为：
米；
（2）解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米，
由题意得：，
整理，得，
解得，，
当时，，不合题意，应舍去；
当时，，符合题意．
答：长方形候场区的边为15米，为20米．
21．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：且，
∴的取值范围为且；
（2）解：不存在，理由如下：
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
又∵且，
∴不符合题意，舍去，
∴不存在实数，使成立；
（3）解：，
∵的值为负整数，且为整数，
∴或或或，
解得：或或或，
∴实数的整数值为或或或．
22．（1）解：．
，
，
的最小值是2．
（2）．
，
，
有最大值，最大值为．
23．（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得，
解得，(不符合题意，舍去)，
答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为．
（2）解∶(元)，
购买的健身器材套数大于100套，
设购买的健身器材套数为套，
根据题意，每套售价为，
列方程得，
整理得，
解得，
当时，每套售价为元，，符合题意，
当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去，
若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在，
综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套，
答∶购买的这种健身器材的套数为200套．
24．（1）解：①③是“好根方程”
解方程得，
，，
因为，
所以方程①是“好根方程”．
解方程得，
，
因为，
所以方程②不是“好根方程”．
解方程得，
，，
因为，
所以方程③是“好根方程”．
（2）解方程得，
，．
因为此方程是“好根方程”，
所以或，
解得或，
所以的值为或．
（3）解方程（为常数）得，
，
因为此方程是“好根方程”，
所以，
整理得，
所以．
25．（1）解：①设运动时间为x秒，则，，
又，
∴，
根据题意，得，
解得，．
∴经过2秒或4秒后，的面积等于；
②设运动时间为x秒，的面积等于，
根据题意，得，
整理得，
∴，
∴方程无解，
∴的面积不能等于；
（2）解：设运动的时间为t秒，
①当时，，
由题意，得，
解得：，；
②当时，，
由题意，得，
解得：，（舍去），
综上所述，当为秒或秒时，的面积等于．

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