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备战2027届高考数学一轮复习专题：直线与圆的方程（知识梳理、典型例题、跟踪训练）
一、单选题
1．直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
2．方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集，则的非空真子集个数为（ ）
A．13个 B．14个 C．15个 D．16个
4．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线：垂直
C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为
10．已知是定义在R上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则（ ）
A．圆O的方程是
B．直线与圆相离
C．过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值是
D．已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是2
三、填空题
12．写出圆：与圆：的一条公切线方程 ．
13．已知点在圆的外部，则的取值范围是 ．
14．已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为 .
四、解答题
15．已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若的面积为2，求．
16．已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程.
17．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.

(1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标；
(2)求线段中点的轨迹方程；
(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值.
18．已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于.
(1)求实数的取值范围;
(2)若，用含的式子表示四边形的面积;
(3)当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程.
19．已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．
(1)求公共弦AB的长度；
(2)求圆E的方程；
(3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B C A A C BC ABC
题号 11
答案 ABC
1．C
【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.
【详解】依题设，圆的圆心为，且半径，
而，即点在圆内，且圆心到该点的距离，
当直线与、的连线垂直时，弦长最短为，
而最长弦长为圆的直径为，因此所有弦的弦长范围为，
所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为，
根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条，
所以共有9条.
故选：C
2．B
【分析】由表示圆，则，求解的取值范围即可.
【详解】将方程，化成：，
要使方程表示一个圆，
则，即，
故选：B.
3．B
【分析】根据集合的含义，数形结合即可求解.
【详解】因为，
所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
又表示以为圆心，半径为2的圆，
图象如下：
根据图象可知，两图象有4个交点，
所以有4个元素，非空真子集个数为.
故选：B
4．B
【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.
【详解】设，，由中点坐标公式得，
所以，故，
因为A在圆上运动，
所以，
化简得，故B正确.
故选：B
5．C
【分析】把曲线方程整理后可知表示半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得．
【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）．
如图，、、，
当直线经过点时，，求得；
当直线经过点、点时，，求得；
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），
故要求的实数的范围为或，
故选：C．
6．A
【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可.
【详解】由圆得圆心,半径.
因为直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆与圆有交点，当长度最小时，两圆外切，
且两圆圆心所在直线与垂直，如图，

因为圆心到直线的距离，
所以，
故选：A
7．A
【分析】由题意求出点到圆心的距离为，进而可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】点到圆心的距离为，圆的半径为，
所以，于是．
故选：A．
8．C
【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.
【详解】圆：和：的圆心、半径分别为，
由可知圆内含于圆内，
设动圆半径为,
由题意，，,
两式相加可得,
故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，
所以椭圆方程为.
故选：C
9．BC
【分析】求出直线l所过定点坐标，结合点与圆位置关系的判定方法即可判断A、C；求出使得直线l与直线：垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】对于A、C，由l：，得，
令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，故在圆O：内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时满足直线l与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，故圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
10．ABC
【分析】根据给定条件推得的周期为4，将方程根的和为6的问题转化为直线与的图象有3个公共点，再在同一坐标系内作出函数的图象与直线，借助直线与圆的位置关系求出的范围即可.
【详解】由函数为奇函数，得，
由的图象关于点对称，得，
则，即，函数是以为周期的周期函数，
当时，令，即，整理得，
因此函数的图象是圆心为，半径为的下半圆，
当时，函数的图象是圆心为，半径为的上半圆，
由方程的所有根的和为6，得函数的图象与直线的交点横坐标和为，
而函数的图象与直线有交点，因此其它交点的横坐标和为，
显然函数的图象与直线都关于点对称，
则它们的交点关于点对称，这样对称的两个交点的横坐标和为，
于是函数的图象与直线有且仅有个交点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图：

当时，直线与上半圆相离，即，解得，
当时，直线与下半圆相切，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：ABC
11．ABC
【分析】对于A，结合弦长，半径和弦心距的关系计算即可求；对于B，计算弦心距，与半径比较即可；对于C，根据垂径定理得弦的最小值是，计算即可；对于D，数形结合即可知四边形的面积，计算即可.
【详解】对于A，设圆的方程为，
因为直线与圆相交所得的弦长为2，
且圆心到直线的距离
所以
所以圆的方程为故A正确；
对于B，圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故B正确；
对于C，因为圆的圆心是，半径，且，
可知点在圆内，
过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点，
根据垂径定理得弦的最小值是，故C正确；
对于D，因为四边形的面积，
如图，由数形分析可知：当时，取到最小值，
所以四边形面积的最小值为故D错误.
故选：ABC
12．（或之一也可以）
【分析】找到两圆圆心与半径，得到两圆位置关系，再由公切线垂直于两圆心连线和平行于两圆心连线结合两直线垂直斜率关系和点到直线的距离公式求解即可；
【详解】圆心，半径为；圆心，半径为；
等于半圆半径之和，所以两圆相外切，
又两点关于原点对称，所以公切线有三条，
由，所以过原点的公切线与两圆心连线垂直可得斜率为，
此时公切线方程为，
另外两条公切线平行于过两圆圆心的直线，设方程为，
由圆心到切线的距离等于半径可得
，
此时公切线方程为或，
故答案为：（或之一也可以）
13．
【分析】化简圆的方程为，得到，求得，再由点在的外部，得出，求得或，即可求解.
【详解】由圆，可得，
则，即，解得，
又由点在的外部，
可得，即，解得或，
综上可得，，即实数的取值范围为.
故答案为：.
14．/
【分析】由直线系方程求出定点，再由题意得出B点轨迹为圆，利用圆的几何性质可得圆上点到轴距离的最小值.
【详解】由可得，
由解得，
即直线过定点，连接，则中点，
因为，所以B在以为圆心，半径为的圆上，如图，
圆的方程为，则圆心到轴的距离，
所以点B到x轴的距离的最小值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，求出圆心坐标，利用的数量积为零求出轨迹方程即可；
（2）设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式求出，再利用弦长公式求解即可；
【详解】（1）

由可得点为线段的中点，设，
圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径，
所以，
因为，所以，
整理可得，
所以点的轨迹方程为，
（2）设圆心到直线的距离为，
因为为的中点，且，的面积为2，，
所以，即，解得，
由弦长公式可得.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解.
【详解】（1）因为圆心在轴的负半轴上，所以设圆：
又圆与轴相切，所以，即.
圆心到直线的距离为,
所以，解得，则.
故圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆心为，
因为，所以点在圆外，过圆外一点作圆的切线，其切线有2条.
①当的斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心M到的距离，解得，
此时的方程为.
②当的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为2，
所以直线与圆M相切.
综上，的方程为或.
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；
（2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可；
（3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.
【详解】（1）圆即，则，半径，
所以，，则，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
所以直线的方程为，即，
令，解得，所以直线过定点；
（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为点，直线过的定点为点，
易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，
又，，故该圆圆心，半径为，且不经过.
点的轨迹方程为，即线段中点的轨迹方程为；

（3）设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为．
18．(1)
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围；
（2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则；
（3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以实数的取值范围为；
（2）当时，设，，则，，
由，消元整理得，
所以，，，
所以，
因为四边形为直角梯形，
所以四边形的面积
；
（3）由，，则，，且直线、的斜率存在，
当时，由（2）知，，，，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
因为、相交，所以，即，，
所以，解得，
联立、的方程得，
，
，
所以，
所以点在定直线上运动.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．(1)
(2)
(3)最大值17，最小值
【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程；
（3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．
【详解】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，，即，到的距离，
所以的半径，
所以圆的方程：；
（3）
当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，
设直线为：，
则直线为：，
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，
，，
设，
当或1时，正好是轴及垂直轴，
面积，
当时，最大且，或1时，最小，
四边形面积的最大值17，最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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