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等差数列与等比数列专项训练-2027届高考数学一轮复习
一、单选题
1．已知等差数列的前3项分别为，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．9
2．已知公差不为0的等差数列中，且，则（ ）
A．30 B． C． D．40
3．已知等差数列，，，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
4．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 ……
改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 ……
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁
5．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则前n项和为 B．
C．数列的前n项和为 D．数列最大项为第10项
10．在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（ ）
A．若是等方差数列，则是等差数列
B．数列是等方差数列
C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列
D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列
11．如图，在四边形中，为边上的一列点，连接交于点，且满足，其中数列是首项为1的正项数列，则（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的前项和为
C．数列为递增数列
D．
三、填空题
12．设等差数列的前项和为，．若，则的值为 ．
13．已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则 ．
14．已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．在等差数列中，，且，，构成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
17．已知在数列中，，记，，，若对于任意，，，构成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18．已知数列是递增的等比数列，并且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是数列的前n项和，证明：．
19．已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”．
(1)若，且为“2数列”，求．
(2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式．
(3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C B A B A ACD ABCD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】利用等差中项求解.
【详解】解：因为等差数列的前3项分别为，
所以，解得．
故选：B
2．C
【分析】假设首项和公差，列等式即可求解，再用前n项和公式求解即可.
【详解】假设等差数列的首项为，公差为，
由且得，
因为公差解，所以解得，
所以，
故选：C.
3．D
【分析】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和.
【详解】设等差数列公差为，由，得，则，
所以，，
则数列的前n项和为
.
故选：D.
4．C
【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可.
【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁，
所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列，
1974年5月出生的男职工退休年龄为.
故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.
故选：C.
5．B
【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可.
【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，
由，得，则，所以，所以，
所以.
故选：B
6．A
【分析】根据等比数列的性质，求得数列的公比，再结合等比数列前项和公式，即可求得.
【详解】设等比数列的公比为，由题可知：；
又，也即，故.
故选：A.
7．B
【分析】由等比数列的下标性质和前项和公式求解即可；
【详解】当时，由题意得解得；
当时，，不满足，不符合题意；
所以符合条件的数列的个数是，
故选：B.
8．A
【分析】先根据前项和公式得到通项公式，再根据裂项相消法求得最终结果.
【详解】当时，，则，
当时，，
则，所以，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
根据等比数列的通项公式可得，即，
因为，所以，
根据裂项相消法，
则，
故选：A.
9．ACD
【分析】由，可得是首项为1公差为2的等差数列，求等比数列前n项和判断A选项；由等差数列的性质判断B选项；并项求和法判断C选项；列不等式求数列最大项判断D选项.
【详解】由，可得，又，
所以是首项为1公差为2的等差数列，，
对于A，，
则前n项和为，
A选项正确；
对于B，由等差数列性质可得，
B选项错误；
对于C，，数列的前n项和为，
为奇数时，；
为偶数时，，
所以数列的前n项和为，C选项正确；
对于D，设，则，，
当时，即，解得，
由，则有，即数列最大项为第10项，D选项正确.
故选：ACD.
10．ABCD
【分析】根据等定义可知选项A正确；根据可得选项B正确；根据条件表示，利用p为常数可得选项C正确；利用可得，选项D正确.
【详解】根据等方差数列的定义可知A正确.
因为，所以数列是等方差数列，B正确.
若数列既是等方差数列，又是等差数列，
设公差为d，则．
又p为常数，所以，C正确.
若数列是等方差数列，则，
故为常数，D正确．
故选：ABCD.
11．ABD
【分析】A选项，根据向量共线定理得到，从而，A正确；B选项，在A选项基础上得到，由分组求和和等比数列求和公式得到B正确；C选项，举出反例即可；D选项，在B选项基础上得到D正确.
【详解】A选项，因为为边上的一列点，设，
即，所以
，
即，所以，
即，所以数列为公比为2的等比数列，A正确；
B选项，因为，所以，
故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，，
的前项和为
，B正确；
CD选项，，故，显然，
则数列不是递增数列，C错误，D正确.
故选：ABD
12．12
【分析】写出，由二次函数的对称性得到，求出答案.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以可看成二次函数，
由二次函数图象的对称性及，
可得，解得．
故答案为：12
13．
【分析】由已知可得，可求得，可求的值.
【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，
由，，可得，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
14． 1
【分析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即，
结合对恒成立求的范围即可.
【详解】由等比数列的前n项和知，，
所以，所以，
而，，
∴，即，
由上知：，则，
∴，
即，
当时，的最小值为，
所以.
故答案为：1；
15．(1).
(2)
【分析】（1）设出公差和公比，利用等差数列和等比数列的性质得到方程组，求出公差和公比，得到公差和公比，得到通项公式；
（2）由等差数列求和公式，变形得到，分组求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由，，，，
可得，，
所以，.则，.
（2）由（1）可得，
故.
则数列的前项和
.
故数列的前2n项和为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得所求；
（2）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的单调性，可得所求最小值．
【详解】（1）在等差数列中，，设公差为，
由，，构成等比数列，可得，
即有，解得
因为当时，，不满足题意，舍去，
所以，.
（2）由（1）得，则，递增，
，
由，，
可得时，正整数的最小值为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，代入已知即可求解，即公差，由等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，结合的范围及等差数列的求和公式，即可求解数列的前项和．
【详解】（1）根据题意成等差数列，∴；
整理得，
∴数列是首项为，公差为2的等差数列．
∴．
（2）由（1）知，
则，记数列的前项和为，
当时，；
当时，，
所以，
综上：.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设数列的公比为，由基本量表示，然后由等比数列的通项公式求解即可；
（2）由，所以，由等差数列的前n项和公式求解出，然后由裂项相消法求解数列的前n项和证明即可.
【详解】（1）设数列的公比为，
由，，得，两式相除，
得，即，
解得或（舍去），
所以，所以．
（2）证明：，
所以，
所以，
所以．
因为，所以，所以．
19．(1)
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可；
（2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可；
（3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可.
【详解】（1）由，且为“2数列”，得，即，
则，
，
，
．
（2）设数列的公比为，
由，得，
即，
则．
两式相减得，
即．
因为是首项为2的“数列”，所以，
即，
所以，
即对任意的恒成立．
因为，，
则，即，
解得，．
又由，即，得，所以．
检验可知符合要求，故数列的通项公式为．
（3）因为为“数列”，所以，
即对任意的恒成立，
因为，，所以．
再结合，，，反复利用，
可得对任意的，．
设函数，则．
由，得．
当时，，所以在上单调递减．
所以当时，，即．
又，所以．
可得，，，，
累加可得，
即，即，
所以．
【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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