资源简介

第二十五章《 一元二次方程》单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2，
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
6．（25-26八年级下·广西崇左·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．2 B．8 C．4 D．16
7．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9.为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程的解为_________．
12．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________．
13．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________．
14．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________．
15．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________．
16．在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．解一元二次方程：
(1)； (2)．
18．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率．
19．小明与小颖两位同学解方程的过程如图：
小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得．
(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求值．
21．已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．
(1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由．
(2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根．
22．已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，，解此方程；
(2)若，求证：此方程至少有一个实数根．
23．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解．
(1)若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解；
(2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处．
24．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
问题解决：
(1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
(2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
(3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？
25．【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求．
B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求．
C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求．
D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求．
2．D
解：将原方程移项整理为一般形式，
移项可得，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
3．A
解：原方程为，
移项得，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，
由完全平方公式整理得．
4．B
解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意；
B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
5．D
解：∵是方程的一个根，
∴将代入原方程，得，
整理得，
移项得，
两边同除以，得．
6．C
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，
解得．
7．B
解：∵ 是关于的方程的一个根，
，即，
．
8．B
解：、是一元二次方程的两根，
∴，．
∴
．
9．A
解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛，
又∵ 两队之间进行一场比赛，
∴ 实际总比赛场数为，
已知总比赛为36场，
因此列方程得，符合题意的为选项A.
10．D
解：由题意，关于x的一元二次方程有解，
解方程得，
∵一元二次方程（）的解是，，
∴，，
∴，
将，代入原方程得，
对于方程，
整理得：，
代入得
，
解得，．
二、填空题
11．，
解：，
因式分解得：，
可得或，
解得：，．
12．
解：已知方程为 得 或 ，
解得，，
方程的一个根是，
，
因此方程的另一个根为2．
13．
解：是一元二次方程的一个根，
，
整理，得，
解得或，
一元二次方程，
，
解得，
故
14．
解：对于方程可得 ，
∴．
15．且
解：由题意，该方程为一元二次方程，得，
∵方程有实数根，
∴根的判别式满足，
解得，
因此的取值范围是且．
16．或
解：由方程，可整理得，
解得，，
∴当为这个直角三角形的最短边时，这个直角三角形的面积是；
当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是；
∴这个直角三角形的面积是或．
三、解答题
17．（1）解：，
或，
，；
（2）解：，其中，，，
则，
原方程有两个不相等的实数根，
，
，．
18．解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得，（舍去），
∴．
答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
19．(1)小明和小颖的解法都不正确．
正确的解答过程：整理得：，
∴，即，
∴，
或，
．
(2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
20．(1)证明：
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得，
，
，
解得，
的值为．
21．(1)
是，理由如下：
解：
解得，
两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义
一元二次方程是“逆根方程”；
（2）解：设方程的两个根为
该方程是“逆根方程”
由一元二次方程根与系数的关系得
，
解得
将代入原方程得：
整理得
由求根公式得
方程的两个根为和．
22．（1）解：
原方程为
配方得
开方得
解得；
(2)对于一元二次方程，
根的判别式为
将代入得
任意实数的平方是非负数
，即
此方程至少有一个实数根
23．(1)解：∵ ，
，
，
当时，
，
∴线段的长是方程的一个解；
(2)解：∵，
，
，
用求根公式求得，
正确性：的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
24．（1）解：根据题意得，
整理得，
解得，
当时，（不符合题意，舍去），
故
，
路面设置的宽度符合要求；
（2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，
根据题意得，
整理得，
解得，，
又 要让利于顾客，
．
答：每平方米草莓平均利润下调元．
（3）解：根据题意得，
整理得
则
∴方程在实数范围内无解
该合作社不能实现每月60万元的预期目标．
25．（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”．
(2)证明：由题意可知：，
，
，
∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）解：把代入中得：，即，
∵四边形的周长是，
，
∴，
，解之得：，
，
，
，即，
，
，
．

展开更多......

收起↑