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3.2从有理数到实数
基础提质
知识点1 无理数的概念
1.情境教学文化中国传统数学对无理数的最早记载是在《九章算术》一书中，书中记载：将开方开不尽的数叫作“面”.下面符合“面”的描述的数是( )
A.4 B.5 C.9 D.16
2.「2025杭州临平三模」下列数中，属于无理数的是( )
A. B.0.4 C.0 D.-1
3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，画出两个边长为无理数的正方形，且使它们的每个顶点都在小正方形的顶点上，并求出所画正方形的边长.
知识点 2 实数的概念及分类
4.「2026温州鹿城期中」实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，请将以下成员分到各自对应的车厢： ②2.1; ④0; ⑥0.121221222 1…(相邻两个1 之间依次多一个2);⑦2π;⑧-0.3.
(1)整数车厢: .(填序号)
(2)负分数车厢： .(填序号)
(3)无理数车厢： .(填序号)
知识点 3 实数的绝对值与相反数
5.填空：
的相反数是 ，绝对值是 .
(3)若一个数的绝对值等于 则这个数是
知识点 4 实数与数轴上点的关系及实数的大小比较
6.「2026杭州西湖文理中学期中」已知整数a满足 5，则整数a不可能是 ( )
A.16 B.17 C.18 D.19
7.如图，正方形ABCD 的面积为7，顶点A 在数轴上表示的数为1，若点 E 在数轴上(点E在点A 的左侧),且AD=AE,则点 E 表示的数为 ( )
A. B.
C. D.
8.请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到大的顺序排列，用“<”连接.
,- ,0,-2.5,-3.,
能力提升
9.有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一 一对应；③在 1 和3 之间的无理数有且只有 , , , ,这6个；④是分数，它是有理数.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 比较大小： (填“>”或“<”).
11.「2026宁波江北期中, 若 的整数部分是a， 的小数部分是b，则a-b的值为 .
12.如图1，有一张由五个边长为1 的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形.
(1)图 1 中拼成的正方形 ABCD 的面积为 ,边长为 .
(2)将从图1中剪得的△OBC按如图2所示的方式放置在数轴中，使点 C 与表示-1的点重合，点O 与原点重合，以数轴上表示-1的点为圆心，CB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 G，那么点 G 表示的数是 .
(3)如图3，网格中每个小正方形的边长均为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长(要求写出简单的推理过程).
素养提优
13.定义：若无理数√T的被开方数(T为正整数)满足 1) (其中n为正整数)，则称无理数的“共同体区间”为(n,n+1).例如:因为 所以 的“共同体区间”为(1，2).请回答下列问题：
的“共同体区间”为 .
(2)若无理数 的“共同体区间”为(2，3)，求 的“共同体区间”.
(3)若整数x，y满足关系式： 求 的“共同体区间”.
3.2从有理数到实数
基础提质
1. B因为 所以4,9,16均为开方开得尽的数，故A，C，D不符合题意；5为开方开不尽的数，是“面”，故 B符合题意.故选 B.
2. A 0.4是有限小数,0,-1是整数,它们都不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数.故选 A.
3.解析 如图.(答案不唯一)
4.答案 (1)④⑤ (2)①⑧ (3)③⑥⑦
5.答案 (2)2-
解析(1)根据相反数和绝对值的定义得 的相反数是 绝对值是
(2)因为 所以
所以
(3)一个数的绝对值为 则这个数为
6. A因为 所以16所以整数a不可能是16.故选 A.
7. D由条件可知正方形ABCD的边长为 ,所以AE= 所以点 E 表示的数为 故选 D.
8.解析 把各数与它们在数轴上的对应点连起来如下：
能力提升
9. A任何无理数都是无限小数，故①正确；实数与数轴上的点一一对应，故②错误；在1和3之间的无理数有无数个，故③错误；π/2是无理数，故④错误.故说法正确的有1个，故选 A.
10.答案>
解析 因为 9.89<10,所以
题型解读本题考查了无理数与有理数的大小比较，除了直接计算外，常用的实数比较大小的方法还有平方法、作差法、作商法、倒数法等.
11.答案
解析因为9<13<16,所以 所以a=3,因为4<7<9,所以 所以 所以a-b
12.解析(1)正方形ABCD的面积为5×1×1=5,所以正方形ABCD的边长为 .故答案为5；
(2)结合(1)可知 所以点 G 表示的数是-1+即 故答案为
所以新正方形的边长是
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13.解析(1)(5,6).
(2)因为无理数 的“共同体区间”为(2，3)，所以 即4(3)因为 所以 或 所以x=4,y=4或x=3,y=5或x=3,y=3.
当x=4,y=4时,x(y+1)=20,
因为
所以 的“共同体区间”为(4,5);
当x=3,y=5时,x(y+1)=18,
因为
所以 的“共同体区间”为(4,5);
当x=3,y=3时,x(y+1)=12,
因为
所以 的“共同体区间”为(3,4).
综上， 的“共同体区间”为(4,5)或(3,4).

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