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考点02 与二次函数的增减性相关的最值问题
考点一：基础解析式与对称轴
标准式：
对称轴公式：
顶点纵坐标（全域最值）：
考点二：增减性规律
a>0，抛物线开口向上
对称轴左侧：，y随x增大减小
对称轴右侧：，y随x增大增大
图像有最小值，无最大值
a<0，抛物线开口向下
对称轴左侧：，y随x增大增大
对称轴右侧：，y随x增大减小
图像有最大值，无最小值
考点三：区间最值判断三步法
① 求对称轴；② 判断开口方向；③ 看对称轴是否在自变量取值区间内
对称轴在区间内：一个最值在顶点，另一个最值在离对称轴远的端点
对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点
对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点
题型一：根据自变量的取值范围求函数的最值
易错：开口方向与增减性颠倒 误区：左增右增 / 左减右减 正解：上开口（）：左降右升；下开口（）：左升右降
【例1】求二次函数 的最值
解：，开口向上，有最小值无最大值
对称轴：
最小值：，无最大值
【变式1-1】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接．
(1)求证：；
(2)当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由．
【详解】（1）证明：∵线段绕点顺时针旋转至的位置，
∴，．
∵正方形，
∴，，
∴，即，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：∵正方形，为对角线，边长为
∴，，，
∵在中，，，
∴，
∵由（1）知，
∴，，
∴，
∵设，，
∴
∵，
∴当时，有最大值，
∴，即，
∴在中点时，的面积最大．
【变式1-2】（2026·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)当的面积等于3时，求的值；
(3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由．
【答案】(1)，点的坐标为
(2)或3
(3)存在，
【详解】（1）解：将点和点代入中，
得，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为．
（2）解：设直线的解析式为，
把和代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
过Q点作轴于D点，交于E点，
∵Q点在抛物线上，且的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵的面积等于3，
∴，
∴，
解得，．
（3）解：由（2）知，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4．
【变式1-3】（2026·山东临沂·一模）已知抛物线的顶点为P，点，是抛物线上的任意两点．
(1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式；
(2)当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值；
(3)若对于，当时，总有，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【详解】（1）解：将代入抛物线解析式可得：，
解得：，
当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为；
（2）解：抛物线，
其顶点为，
当点位于轴下方时，，
点到轴的距离为，
，
当时，取得最小值，
即点到轴距离的最小值为；
（3）解：当时，，
当时，，
∵，
∴，
整理得：，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
【变式1-4】（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．

(1)点的坐标________，点的坐标________
(2)求抛物线的解析式及点，的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为；顶点的坐标为．
(3)能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，
解得，
所以点的坐标为；
当时，，
所以点的坐标为
故答案为：；
（2）解：将，代入，得，
解得，
所以抛物线解析式为．
令，则，
即，
解得，，
因为点在轴正半轴上，
所以点的坐标为．
，
所以顶点的坐标为．
（3）解：能截出面积最大的矩形．
设矩形中，、在上，在上，在上，矩形的高为，
直线的解析式：设为，
将，代入，得，解得，
所以；
直线的解析式为．
当时，在中，，在中，，
所以矩形的长为，
矩形面积，
，
当时，有最大值，．
答：能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为
题型二：闭区间内最值（高频必考）
易错1：忽略自变量取值范围 误区：不管x范围，一律用顶点求最值 正解：顶点最值只适用于全体实数；有范围必须结合区间判断 举例：，，不能取最小值，只能按区间增减求解 易错2：区间端点远近判断失误 误区：对称轴在区间内，随便取端点定最值 正解：离对称轴越远，函数值差值越大，最值出在远端点
情况1：对称轴在取值区间中间
【例2-1】已知 ，求 时最值
解：，开口向上，对称轴，在内
顶点处取最小值：
比较两端点：；
最大值为
综上：最小值，最大值
情况2：对称轴在区间左侧（区间单调递增）
【例2-2】，求 时最值
对称轴在区间左边，区间内随增大而增大
最小值，最大值
情况3：对称轴在区间右侧（区间单调递减）
【例2-3】，时最值
对称轴在区间右侧，区间内随增大而减小
最小值，最大值
【变式2-1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求y的最大值与最小值的差；
(3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)4
(3)5或
【详解】（1）解：把，代入得，
解得：，
抛物线的表达式．
（2）解：抛物线的表达式，
顶点坐标为，对称轴为直线，
，
当时，y有最小值，此时，
，
当时，y有最大值，此时，
y的最大值与最小值的差为．
（3）解：过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点，
设，，则是方程的两根，
整理得，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当 时， ，
此时由 得 ，即 ，
∵ ，解得 ，这与 矛盾，故舍去；
t的值为5或．
【变式2-2】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当时,,求k的最大值．
(3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)2．
(3)．
【详解】（1）解：把代入,得,解得,
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵,,对称轴为直线,
∴当时,；而当或2时,,
∴由图象可得,当时,,
∴k的最大值为2．
（3）解：∵点和点关于对称轴为直线对称，
∴，即,
∵ ,
即,
∴．
∵,且当时，y随x的增大而减小,
∴当时,；时,．
∴t的取值范围是．
【变式2-3】（2026·江苏南京·一模）已知抛物线（为常数，）．
(1)若该抛物线经过点，求抛物线的表达式；
(2)若，求出当时该函数的最大值与最小值的差；
(3)已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________．
【答案】(1)（或）
(2)
(3)或
【详解】（1）解：已知抛物线经过点
将代入解析式得
得，
解得
因此抛物线的表达式为，展开可得
（2）解：当时，抛物线解析式为
抛物线开口向上，对称轴为直线
在范围内，当时，取得最小值，最小值为
当时，
当时，
因此在范围内的最大值为
最大值与最小值的差为
（3）解：抛物线的对称轴为直线
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为
当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大
∵，则
∵
解得：
∴
当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小
∴
解得：
综上所述，或
【变式2-4】（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）已知二次函数（m为常数）．
(1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________；
(2)当时，y的最大值是8，求m的值；
(3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标．
（2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值．
（3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
，
顶点坐标为．
（2）解：，对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
①当时，函数在时增大而减小，
当时，取得最大值，
，
令，解得，
，
符合题意，
②当时，函数在处取得最大值，
，
令，解得，
，
舍去，
，
符合题意，
③当时，函数在在时增大而增大，
当时，取得最大值，
，
令，解得，
，
舍去，
综上所述，或．
（3）解：，纵坐标相同，
点、关于对称轴对称，
点、到对称轴的距离均为，
，且抛物线开口向下，
点到对称轴的距离大于，
即，
或，
解得或．
【变式2-5】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)当时，求的取值范围；
(4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【详解】（1）解：将点A，点C坐标代入函数解析式，联立解方程组
解得，
．
（2）解：过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，点F与点D横坐标相同，如下图
，
，
设过点、点的直线为，
∴
解得，
，
点代入得，
的长度为点D与点F的纵坐标相减，
，
．
（3）解：函数图象开口向下，包含了对称轴，则在顶点取得最大值，
，
，
取得最小值，
，
．
（4）解：时，，
分两种情况讨论：
①
，
列方程，
解得，
如果，则，，不符合题意，舍去；
，符合题意；
②
，
，
解方程，
解得，
因为，不符合题意，舍去；符合题意，
综上所述，或．
题型三：含参数二次函数增减性与最值
易错：含参函数不分类讨论 误区：默认对称轴在区间中间直接代顶点 正解：参数变动对称轴移动，必须分左、中、右三种位置讨论
【例3】二次函数，在有最小值，求参数取值及最值
对称轴：
1.：区间递增，最小值在
2.：最小值在顶点
3.：区间递减，最小值在
【变式3-1】（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）．
(1)求该二次函数图象的对称轴．
(2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，．
①求的取值范围；
②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值．
【答案】(1)
(2)①，②的值为或．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线．
（2）解：①如图1，当时，
则二次函数的图象经过点，
∴，
∴当时，．
②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线，
∴点在二次函数的图象上，
∴，解得．
∴．
（Ⅰ）当时，，
∴当时，二次函数的最小值为2，
∴，解得（舍去）或．
（Ⅱ）当时，，
∴当时，二次函数的最小值为2，
∴，解得或（舍去）．
综上：的值为或．
【变式3-2】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）．
(1)求这个函数图象的最小值；
(2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标；
(3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)
(3)当时，函数解析式为，的取值范围；当时，函数解析式为，的取值范围．
【详解】（1）解：，
故函数的对称轴为直线，
当时，即时，
，
故在处取得最小值，；
当时，即时，
，
故在处取得最小值，；
当时，；当时，；
（2）解：令，则，
即，
无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，
，
解得，
故定点坐标为；
（3）解：在图像上，
将代入，得，
解得或，
当时，函数解析式为，对称轴为直线，
，当时， 随的增大而减小；
当时，函数解析式为，对称轴为直线，
，当时，随的增大而减小；
当时，函数解析式为，的取值范围；
当时，函数解析式为，的取值范围．
【变式3-3】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标；
(2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围；
(3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【详解】（1）解：当 ， 时，，
该函数图象的顶点坐标为 ，
（2）解：∵ 点 ，都在抛物线上，且纵坐标相同，
、关于对称轴对称，
抛物线 的对称轴为 ，
，即 ，
，
，
；
（3）解：，
，
对称轴为 ，开口向下，
，
对称轴在内，
当时，，
当 时，；
当 时，，
比较两端点：
，
，
，即 ，
（在 处取得），
由题意：，
，
，
，
或 （舍去，不满足 ），
．
【变式3-4】（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”．
(1)求直线上的“双倍点”的坐标；
(2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由；
(3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式；
(4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值．
【答案】(1)
(2)不存在“双倍点”，理由见解析
(3)或
(4)的值为或
【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标，
∴，
解得：，
∴，
∴直线上的“双倍点”的坐标．
（2）解：不存在“双倍点”，理由如下：
设在反比例函数图象上，
∴
∴，此方程无实数解，
∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”．
（3）解：∵二次函数解析式为，
∴当时，，
∴函数的图象与轴的交点坐标是，
∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”，
∴，
∴，
∴顶点坐标为，
∵该二次函数是“双倍二次函数”，
∴，
解得：或，
∴二次函数的解析式为或．
（4）解：设“双倍二次函数”，
∵为“双倍点”，
∴，
∴，
解得：或，
当时，顶点为，不合题意，舍去；
∴时，这个“双倍二次函数”为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，即，
解得：或（舍去）；
当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值；
当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或．
题型四：实际应用最值（应用题必考）
易错：实际应用题忘限定定义域 误区：列出函数直接求顶点最值 正解：利润、面积类题目，自变量受实际意义限制，优先圈定$x$取值范围再求最值
【例4-1】（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象．
(1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；
(2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值．
【答案】(1)
(2)48000元
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
由题意得：，
解得：，
与的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，最大，元
【例4-2】（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：
信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人．
信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元．
信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆．
问题解决：
(1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数；
(2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用）
(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．
【答案】(1)型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人
(2) （，且为整数）．
(3)租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少．
【详解】（1）解：设型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人．
根据题意得
解得
答：型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人．
（2）解：设租用型客车辆，则租用型客车 辆．
根据总载客量不小于人，得
解得
∵A型客车不少于9辆
∴ ，解得
∵为正整数，
∴，且为整数
根据租车总费用规则，得
整理得
即与的函数关系式为 （，且为整数）．
（3）解：
∵，
∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小
∵
∴时，取得最小值 此时A型客车数量为 （辆），满足 的要求
答：租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少．
【变式4-1】（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？
【答案】(1)当时，；
(2)甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元．
【分析】（1）设，把，代入，可得、，即可求解；
（2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元，根据二次函数的图象和性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，设，
把，代入，
得，
解得，
∴当时，．
（2）解：设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元．
∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍，
∴，
解得．
当时，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，最小为（元），
当时，，
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，且，
∴时，取最小值，最小为（元），
∵，
∴当时，取最小值，最小为元，
此时，．
答：甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元．
【变式4-2】（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：
销售价格x（元/升） 4 5 10
市场需求量n（升） 120 110 60
经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升．
(1)求n与x的函数关系式；
(2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
(3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)①315（元）；②400（元）
(3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元
【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为，
由题意得，，解得，
∴；
（2）解：①当时，，，
∵，∴基底原液可全部卖完，
奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）；
②当时，，，
∵，∴基底原液无法卖完．
奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）．
（3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元，
①当每天的产量不大于市场需求量时，即，
即，解得，∴；
则，
∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，（元）；
②当每天的产量大于市场需求量时，即，
即，解得，∴；
则
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，（元），
∵
∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元．
【变式4-3】（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
门票单价（元）
游客人数（人）
景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．
(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；
(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？
(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．
【答案】(1)
(2) ；单价为元时利润最大，最大利润为元
(3)；的值为
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得
，
解得，
∴游客人数与门票单价的函数表达式为；
（2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得
，
解得
∴，
∴
，
∵，
∴二次函数开口向下，函数有最大值，
∵对称轴，满足，
∴当时，，
即单价为元时利润最大，最大利润为元；
（3）解：运营成本每人降低元后，
，
∵，
∴二次函数开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，随增大而减小，
∵，
∴，
∴，
∵，即，，
∴当时，，
当时，，
解得，
∴当利润最大值为元时的值为．
【变式4-4】（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题：
(1)求缆索所在抛物线的解析式；
(2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客．
①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？
②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)①更换工作需要准备灯管长约为46米；②缆索与该光线的最大竖直距离为米
【详解】（1）由题意可知，抛物线顶点 P 的坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线得：，解得，
∴ 抛物线解析式为；
（2）①当时，，
∴ 更换工作需要准备灯带长为（米）；
②设直线的解析式为，
把，代入解析式得：
，
∴解得，
∴ 直线的解析式为，
∴ 缆索与该光线的竖直距离：
∵，∴ 当时，d 有最大值，最大值为．
∴ 缆索与该光线的最大竖直距离为米．
1．（2026·山西忻州·一模）项目式学习
项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究．
数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示．
(1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ．
(2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？
(3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值．
【答案】(1)一次；
(2)当售价定为30元时，日利润最大，最大日利润为4000元，见详解
(3)2
【详解】（1）解：一次；．
提示：观察图象可知，售价每增加5元，销量就减少50瓶，所以每日销量是售价的一次函数．
设一次函数为，将，代入得
解得
所以关于的函数表达式为；
（2）解：设日利润为w元，根据题意得
．
因为，抛物线开口向下；对称轴为，且，
所以当时，取得最大值，最大值为4000元，即售价定为30元时，日利润最大，最大日利润是4000元；
（3）解：．
进价上涨元后，每瓶利润为元，则日利润为．
整理，得．
因为对称轴，，
所以对称轴仍满足在范围内，
所以当时，取得最大值．
把代入原式得，
解得，（不合题意，舍去）．
2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最值；
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，二次函数的最大值为，最小值为
(3)
【详解】（1）解：将点，点代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，取最大值为．
∵，
∴当时，．
当时，．
∴当时，二次函数的最大值为，最小值为．
（3）解：，
当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．
当时，即，，的长度随的增大而减小，
∴的取值范围为．
3．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．
(1)求b的值（用含a的式子表示）；
(2)已知二次函数的最大值为；
①求该二次函数的表达式；
②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【详解】（1）解：∵二次函数过点、，
∴，
∴．
（2）解：①把，点，代入得：
，
∴，
∴函数表达式为：，
∴其对称轴为直线，
∴将代入得：
，
解得：（舍去，此时函数开口向上，无最大值），
∴二次函数表达式为：．
②证明：由二次函数的对称性得，即，
∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴左边
因为题目已知，且点、是抛物线与x轴的交点，
所以且，分子分母可以约去：
左边右边．
4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数，其中、为两个不相等的实数．
(1)当，时，求该函数图象的对称轴；
(2)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点；
(3)若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)见解析
(3)的取值范围为，此时函数顶点纵坐标的最大值为
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴对称轴为直线．
（2）证明：∵，，，
∴，
∵，是不相等的实数，
∴，即，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点．
（3）解：∵二次函数解析式为，，
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵函数在时，随的增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴，
设顶点纵坐标为，
∴
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∴时，为，
的取值范围为，函数顶点纵坐标的最大值为．
5．（2026·广西钦州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；
(3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【详解】（1）解：当时，抛物线为．
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向上平移2个单位后为，
令，即，
，
，
解得或，
∴抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
∴对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向上，
，，
∴当时，取到最小值为，
当时，取到最大值，最大值为，
的最大值与最小值之差为5，
，
化简得：，即，
，
，
，
，
．
6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：
信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人．
信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆B型客车，B型客车租车单价减少50元．
信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车不少于9辆．
问题解决：
(1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数；
(2)设租用B型客车x（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是W（单位：元），求W与x的函数关系式；（租车总费用租用A型客车的费用租用B型客车的费用）
(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．
【答案】(1)A型客车每辆满员载客40人，B型客车每辆满员载客60人
(2) （，且为整数）
(3)租用A型客车12辆，B型客车8辆时，租车总费用最少
【详解】（1）解：设A型客车每辆满员载客人，B型客车每辆满员载客人．
根据题意得 ，
解得 ，
答：A型客车每辆满员载客人，B型客车每辆满员载客人．
（2）解：设租用B型客车辆，则租用A型客车 辆，
根据总载客量不小于人，得 ，
解得 ，
∵A型客车不少于9辆 ，
∴ ，解得 ，
∵为正整数，
∴，且为整数 ，
根据租车总费用规则，得
整理得
即与的函数关系式为 （，且为整数）．
（3）解：
∵，
∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小
∵
∴时，取得最小值 ,
此时A型客车数量为 （辆），满足 的要求 ,
答：租用A型客车辆，B型客车辆时，租车总费用最少．
7．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值．
【答案】(1)对称轴为
(2)解析式为
(3)或
【详解】（1）解：把，代入，
得：，
整理得：，
∴对称轴为．
（2）解：由（1）可得，，
，，
，
，
，
∴解析式为．
（3）解：由（2）可得：二次函数解析式为，
∴当时，y有最大值为6，
∵当时，y有最大值为3，
∴不成立，
∴或者：
①当时，y随x的增大而减小，
当时，y有最大值为3，
把，代入得：，
解得或2，
，
，
②当，即时，y随x的增大而增大，
当时，y有最大值为3，
把，代入得：，
解得或，
，
，
综上所述，或．
8．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点．
(1)求A点坐标；
(2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围；
(3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值．
【答案】(1)A点坐标为
(2)t的取值范围是或
(3)
【详解】（1）解：由题意可知，新抛物线解析式为，
令，代入可得，
解得，
又∵点A在点B的左边，
∴A点坐标为；
（2）解：令，可得，
解得，
∴点关于直线的对称点是，
当点在新抛物线对称轴右侧时，则；
当Q点在新抛物线对称轴左侧时，，
解得．
综上所述，t的取值范围是或；
（3）解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵新抛物线对称轴为直线，且，
∴当时，y取最小值，当时，y取最大值，
即，
∵，
∴，
∴
．
∵，
∴，
∵为整数，
∴或，
∴（舍去）或，
∴当，此时；
当，此时，但此时不满足题意，故舍去．
将，代入，
解得．
9．（2026·江西·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
(1)点的坐标为_____，点的坐标为_____；
(2)求，之间的关系式；
(3)若抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；
(4)若抛物线开口向下，且当时，二次函数的最大值为，请直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)抛物线的解析式为或；
(4)．
【详解】（1）解：由直线得，
令，则，解得，
∴，
令，则，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵抛物线经过点和，
∴，
∴；
（3）解：由的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
，
由（）得，，，
∴，整理得，
解得或，
当时，；当时，；
∴抛物线的解析式为或；
（4）解：∵抛物线开口向下，
∴，且，，
∴抛物线解析式为，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∴对称轴，
分两种情况讨论：
当，即时，
此时二次函数的最大值在顶点处，最大值为，
∴，
把，代入整理得，
解得或，
当时，对称轴，满足，符合条件；
当时，对称轴，不满足，舍去；
当，即对称轴在区间右侧，
∵开口向下，
∴随增大而增大，
∴当时有最大值，
把得，解得，不符合，舍去；
综上可得：．
10．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）．
(1)若抛物线经过，时，
①求该抛物线的顶点坐标．
②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围．
(2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式．
【答案】(1)①；②
(2)
【详解】（1）①解：将，代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为，
该抛物线的顶点坐标为．
②解：根据题意可知，向下平移个单位得到的新抛物线的解析式为，
将点代入，得，即，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，，
当时，，
的取值范围为．
（2）解：抛物线开口向上，对称轴为，
当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2，
，
即当时，；当时，，
代入抛物线得，
解得或（不合题意舍去），
该抛物线的解析式为．
11．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为或
(3)
【详解】（1）设交点式： ，
将代入得，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）存在，
设直线的解析式为，
把、代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∴，，
，
分三种情况讨论直角顶点：
若直角顶点为：代入，解得，此时与重合，舍去；
若直角顶点为：代入，解得，得；
若直角顶点为：代入，解得（舍去）或，得．
（3）设，
∵点，点，
∴同理可求得直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
将点代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，得的纵坐标．
∵和点，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，最大，
此时．
∴当S取得最大值时，．
12．（25-26九年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求的取值范围；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：当时，则抛物线为：，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴对称轴为：，
∵，
∴，是一组对称点，
∴，
∵当，，
∴，
∴，
∴
即
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
①当时，即时，
∵在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，有最小值为，
∴，
解得：；
②当时，即时，
当时，有最小值为，
∴，
解得：， （舍去）
③当时，即时，
∵在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，有最小值为，
即，
解得：，
综上所述，的值为．
13．（2026·山西朔州·一模）综合与实践
问题情境：为拓宽农产品销售渠道，助力乡村产业发展，某合作社决定开展助农直播带货，销售本地优质大米，该大米售价为9元/千克，生产成本为3元/千克．
调研数据：
信息1：每场直播销量y（千克）与每场直播时长x（小时）的部分数据如下表：
每场直播时长x/小时 1 1.5 2 2.5
每场直播销量y/千克 150 175 200 225
信息2：在直播6小时内，每千克运营成本z（元）与每场直播时长x（时）满足的函数关系如图所示．
信息3：每场直播的利润．
问题解决：
(1)y与x的函数关系满足 函数关系（“一次”“反比例”“二次”），z与x的函数表达式为 ．
(2)若该合作社希望一场直播利润达到700元，且直播时长要短，求该场直播的时长．
(3)合作社为了提升直播品质，吸引更多观众，决定增加运营投入，如：布置丰富的场景，增加互动礼品等，经统计数据发现：每千克的运营成本与直播时长的关系为，同时大米售价定为10元/千克，在其他条件不变的情况下，计算该场直播时长为多少时，利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)一次，
(2)该场直播时长为3小时
(3)该场直播的时长为4小时，利润最大，最大利润为900元
【详解】（1）解：观察表格中的数据，当增加0.5时，增加25，
每组数据的比值：；，所以，是一次函数，不是正比例函数；
每组数据的变化率：；，变化率相同，
∴y与x的函数关系满足一次函数关系；
由图象可得与是一次函数关系，且图象经过点和，
设与的函数关系式为，
把点和代入得，
解得
∴z与x的函数表达式为
（2）解：∴设y与x的函数表达式为．
将，代入得，
解得，
与x的函数表达式为．
由题意得，．
当时，．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该场直播时长为3小时．
（3）解：设增加运营成本后直播的利润为P元．
则．
当时，该场直播利润最大．
（元）．
答：该场直播的时长为4小时，利润最大，最大利润为900元．/ 让教学更有效
考点02 与二次函数的增减性相关的最值问题
考点一：基础解析式与对称轴
标准式：
对称轴公式：
顶点纵坐标（全域最值）：
考点二：增减性规律
a>0，抛物线开口向上
对称轴左侧：，y随x增大减小
对称轴右侧：，y随x增大增大
图像有最小值，无最大值
a<0，抛物线开口向下
对称轴左侧：，y随x增大增大
对称轴右侧：，y随x增大减小
图像有最大值，无最小值
考点三：区间最值判断三步法
① 求对称轴；② 判断开口方向；③ 看对称轴是否在自变量取值区间内
对称轴在区间内：一个最值在顶点，另一个最值在离对称轴远的端点
对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点
对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点
题型一：根据自变量的取值范围求函数的最值
易错：开口方向与增减性颠倒 误区：左增右增 / 左减右减 正解：上开口（）：左降右升；下开口（）：左升右降
【例1】求二次函数 的最值
【变式1-1】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接．
(1)求证：；
(2)当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由．
【变式1-2】（2026·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)当的面积等于3时，求的值；
(3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由．
【变式1-3】（2026·山东临沂·一模）已知抛物线的顶点为P，点，是抛物线上的任意两点．
(1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式；
(2)当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值；
(3)若对于，当时，总有，请直接写出m的取值范围．
【变式1-4】（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．

(1)点的坐标________，点的坐标________
(2)求抛物线的解析式及点，的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由．
题型二：闭区间内最值（高频必考）
易错1：忽略自变量取值范围 误区：不管x范围，一律用顶点求最值 正解：顶点最值只适用于全体实数；有范围必须结合区间判断 举例：，，不能取最小值，只能按区间增减求解 易错2：区间端点远近判断失误 误区：对称轴在区间内，随便取端点定最值 正解：离对称轴越远，函数值差值越大，最值出在远端点
情况1：对称轴在取值区间中间
【例2-1】已知 ，求 时最值
情况2：对称轴在区间左侧（区间单调递增）
【例2-2】，求 时最值
情况3：对称轴在区间右侧（区间单调递减）
【例2-3】，时最值
【变式2-1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求y的最大值与最小值的差；
(3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值．
【变式2-2】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当时,,求k的最大值．
(3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围．
【变式2-3】（2026·江苏南京·一模）已知抛物线（为常数，）．
(1)若该抛物线经过点，求抛物线的表达式；
(2)若，求出当时该函数的最大值与最小值的差；
(3)已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________．
【变式2-4】（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）已知二次函数（m为常数）．
(1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________；
(2)当时，y的最大值是8，求m的值；
(3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围．
【变式2-5】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)当时，求的取值范围；
(4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值．
题型三：含参数二次函数增减性与最值
易错：含参函数不分类讨论 误区：默认对称轴在区间中间直接代顶点 正解：参数变动对称轴移动，必须分左、中、右三种位置讨论
【例3】二次函数，在有最小值，求参数取值及最值
【变式3-1】（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）．
(1)求该二次函数图象的对称轴．
(2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，．
①求的取值范围；
②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值．
【变式3-2】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）．
(1)求这个函数图象的最小值；
(2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标；
(3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围．
【变式3-3】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标；
(2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围；
(3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值．
【变式3-4】（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”．
(1)求直线上的“双倍点”的坐标；
(2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由；
(3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式；
(4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值．
题型四：实际应用最值（应用题必考）
易错：实际应用题忘限定定义域 误区：列出函数直接求顶点最值 正解：利润、面积类题目，自变量受实际意义限制，优先圈定$x$取值范围再求最值
【例4-1】（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象．
(1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；
(2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值．
【例4-2】（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：
信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人．
信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元．
信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆．
问题解决：
(1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数；
(2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用）
(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．
【变式4-1】（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？
【变式4-2】（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：
销售价格x（元/升） 4 5 10
市场需求量n（升） 120 110 60
经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升．
(1)求n与x的函数关系式；
(2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
(3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
【变式4-3】（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
门票单价（元）
游客人数（人）
景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．
(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；
(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？
(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．
【变式4-4】（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题：
(1)求缆索所在抛物线的解析式；
(2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客．
①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？
②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离．
1．（2026·山西忻州·一模）项目式学习
项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究．
数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示．
(1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ．
(2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？
(3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值．
2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最值；
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．
3．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．
(1)求b的值（用含a的式子表示）；
(2)已知二次函数的最大值为；
①求该二次函数的表达式；
②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数，其中、为两个不相等的实数．
(1)当，时，求该函数图象的对称轴；
(2)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点；
(3)若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值．
5．（2026·广西钦州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；
(3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．
6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：
信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人．
信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆B型客车，B型客车租车单价减少50元．
信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车不少于9辆．
问题解决：
(1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数；
(2)设租用B型客车x（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是W（单位：元），求W与x的函数关系式；（租车总费用租用A型客车的费用租用B型客车的费用）
(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．
7．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值．
8．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点．
(1)求A点坐标；
(2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围；
(3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值．
9．（2026·江西·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
(1)点的坐标为_____，点的坐标为_____；
(2)求，之间的关系式；
(3)若抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；
(4)若抛物线开口向下，且当时，二次函数的最大值为，请直接写出的值．
10．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）．
(1)若抛物线经过，时，
①求该抛物线的顶点坐标．
②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围．
(2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式．
11．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．
12．（25-26九年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求的取值范围；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
13．（2026·山西朔州·一模）综合与实践
问题情境：为拓宽农产品销售渠道，助力乡村产业发展，某合作社决定开展助农直播带货，销售本地优质大米，该大米售价为9元/千克，生产成本为3元/千克．
调研数据：
信息1：每场直播销量y（千克）与每场直播时长x（小时）的部分数据如下表：
每场直播时长x/小时 1 1.5 2 2.5
每场直播销量y/千克 150 175 200 225
信息2：在直播6小时内，每千克运营成本z（元）与每场直播时长x（时）满足的函数关系如图所示．
信息3：每场直播的利润．
问题解决：
(1)y与x的函数关系满足 函数关系（“一次”“反比例”“二次”），z与x的函数表达式为 ．
(2)若该合作社希望一场直播利润达到700元，且直播时长要短，求该场直播的时长．
(3)合作社为了提升直播品质，吸引更多观众，决定增加运营投入，如：布置丰富的场景，增加互动礼品等，经统计数据发现：每千克的运营成本与直播时长的关系为，同时大米售价定为10元/千克，在其他条件不变的情况下，计算该场直播时长为多少时，利润最大？最大利润为多少元？

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