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考点03 二次函数的图象与字母系数之间的关系
考点一：核心基础考点（必背）
1. 系数a：决定开口方向与开口大小
：抛物线开口向上，函数有最小值；
：抛物线开口向下，函数有最大值；
越大：开口越窄； 越小：开口越宽
隐含条件：a≠0，二次函数的核心判定条件
2. 系数a、b联合：决定对称轴位置
抛物线对称轴公式：，核心口诀：左同右异
对称轴在y轴左侧（）：同号（）
对称轴在y轴右侧（）：异号（）
对称轴为y轴（）：b=0
3. 系数c：决定抛物线与y轴交点
抛物线与y轴恒交于点
：交点在y轴正半轴
：抛物线过坐标原点
：交点在y轴负半轴
4. 判别式Δ：决定抛物线与x轴交点个数
：抛物线与x轴有2个不重合交点
：抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上）
：抛物线与x轴无交点
【例1】已知二次函数 的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与y轴负半轴相交，判断 的符号。
【答案】
【详细解析】
1. 开口向上，直接判定 ；
2. 对称轴在y轴左侧，根据口诀左同右异， 同号，故 ；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，故 ；
4. 为正， 为负，负因数个数为奇数，因此 。
【易错提醒】切勿记反“左同右异”，对称轴左为同号、右为异号，是系数b判断的核心依据。
考点二：高频特殊代数式符号判断（重难点）
，函数值
，函数值
，函数值
，函数值
，函数值
特殊推导式子：，通过对称轴 与 的大小关系推导符号。
【例2】已知抛物线 图象特征：开口向下，对称轴 ，抛物线过y轴正半轴，且 时图象对应点在x轴下方。判断 、 的符号。
【答案】，
【详细解析】
1. 对应 的函数值，题目明确 时点在x轴下方，纵坐标为负，故 ；
2. 由开口向下得 ，对称轴 得 异号，即 ，又 ；
3. 时，，结合图象对称性，该位置点在x轴上方，故 。
【解题技巧】特殊代数式无需繁琐计算，式找x、看高低，x对应横坐标，点在轴上为0、上正下负。
考点三：通用解题方法（万能思路）
1.定a、c符号：开口定 ，y轴交点定
2.定b符号：根据对称轴位置，用“左同右异”判定
3.判特殊式子：取 等特殊值，看图象对应点高低（纵坐标正负）
4.判Δ符号：根据抛物线与x轴交点个数判定
5.综合判断：结合对称轴范围、最值、函数增减性综合推导复杂代数式
考点四：常用二级结论（提速秒杀）
1. 符号：根据a、b、c三者正负判断，负因数个数为偶数则 ，奇数则 。
2.最值结论：若对称轴 ，则 为函数最值，大于或等于/小于或等于任意x对应的函数值。
3.韦达定理：抛物线与x轴两交点横坐标 ，满足 ，。
4.奇偶取值规律：与、与 的函数值可交叉验证系数关系。
题型一：单一系数符号判断
1.直接观察图象，开口判 、y轴交点判 、对称轴判 ，秒出答案，无复杂计算。 对称轴a、b符号混淆
纠错：牢记口诀“左同右异”，对称轴在y轴左，a、b同号；在y轴右，a、b异号，永不记错。
【例1】．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，故选项A不正确；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，故选项B正确，选项C不正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，故选项D不正确．
故选：B．
【变式1-1】（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图是二次函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由二次函数的图象开口向上，得
，
由二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，得
，
由二次函数的图象的对称轴在y轴的左边，得
，且，
∴．
∴．
故选B．
【变式1-2】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图为，则( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，与轴的交点在轴的上方，
，，
，
，
故选：A．
题型二：特殊代数式 a±b+c 符号判断
式子对应哪个x值，就看图象上该横坐标对应的点：点在x轴上方则式子为正，下方为负，在x轴上为0。 混淆顶点纵坐标与a+b+c
纠错：仅当对称轴 时，顶点纵坐标等于 ，其余情况不成立。
【例2】（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．阴影部分的面积为4
【答案】D
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
故A不正确；
∵抛物线与轴的交点在轴的下方，
∴，
故B不正确；
∵时，，
∴，
故C不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数的最小值是，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：，
故D正确．
故选：D．
【变式2-1】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A． ∵抛物线开口向上，
∴，
∴A成立，不符合题意；
B． ∵抛物线的对称轴，，，
∴，
∴B不成立，符合题意；
C． ∵抛物线交y轴负半轴，
∴，
∴C成立，不符合题意；
D． 由图象知：当时，，
∴D成立，不符合题意．
故选：B．
【变式2-2】（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图可知：，
，
A、B、C都错误，
当时，，
D正确；
故选：D．
【变式2-3】（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线过点和，
∴，，
即，
∵此抛物线的顶点在第二象限，经过点和，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，即．
【变式2-4】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由图象可知：，图象过点，点，
∴，，
∵对称轴，
∴点的对称点在点右侧，
∴当时，，
则，
将代入，
可得，
解得，
∴实数a的取值范围为．
又，
∴．
故选：C．
题型三：2a±b 式子判定（高频难点）
对比对称轴与 的大小，对对称轴公式变形推导： 若对称轴 ，即 ，结合 的正负，不等号变向推导 符号 若对称轴 ，同理推导 符号 2a+b、2a-b变形不等号变向错误
纠错：不等式两边乘除负数必须变号，a为负时，推导对称轴不等式务必注意变号。
【例3】已知二次函数开口向上，对称轴 ，判断 的符号。
【答案】
【详细解析】
1. 开口向上，得 ；
2. 已知对称轴不等式：；
3. 因为 ，不等式两边乘 ，不等号方向不变：；
4. 移项整理得：。
【易错提醒】若 ，不等式变形必须变号，这是90%学生的高频丢分点。
【变式3-1】（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：二次函数的图象经过点，
故即，
设，
则，
又
且图象的顶点在第四象限，
故，
若，则故即，
此时，顶点不能落在第四象限，不符合题意，舍去，
故，
故，，，
故，
故，
故，
故选：B．
【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵二次函数图象开口向下，
∴，
∵二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴，
∴B选项正确，符合题意；
∴，
∴，故C选项错误；
当时，，
∴当时，，则，故A选项错误；
当时，，故D选项错误；
故选：B ．
【变式3-3】（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴交点在正半轴，
∴
∴，故A项正确，不符合题意．
∵对称轴，
∴，故B项正确，不符合题意．
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故C项错误，符合题意．
∵当时，函数图象在轴下方，
∴，故D项正确，不符合题意．
故选：C．
【变式3-4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线交y轴于负半轴，
∴当时，，故A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴，
又∵对称轴为直线，
∴，即，故B选项错误；
∵当时，；当时，，
又抛物线开口向上，其对称轴为直线，即当时，y取得最小值，
∴，故C选项正确；
∵，
∴，故D选项错误．
故选：C．
【变式3-5】（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵抛物线开口向下
∴
∵对称轴是，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵时，，故C不符合题意；
∵时，，
∵
∴，故D符合题意；
故选：D．
题型四：含Δ正误辨析
Δ=0的概念误解
纠错： 是一个交点，不是无交点，此时抛物线顶点落在x轴上。
【例4】已知二次函数 图象全部在x轴上方，试判断 的取值情况。
【答案】
【详细解析】
1. 图象全部在x轴上方，说明抛物线开口向上，故 ；
2. 图象与x轴无任何交点，根据判别式规则，无交点则 。
【核心结论】全上：；全下：。
【变式4-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
综上，，，．
故选：B．
【变式4-2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，
，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
【答案】C
【详解】解：∵开口向上，
∴，故A错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故B错误；
根据图象可得当时，，故C正确；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，故D错误；
故选：C．
【变式4-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，若a，b，c满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，
∴．
又∵，代入得 ，
∴．
∵二次函数在处有根（即），
∴判别式，
∴．
综上，且，
故选：D．
【变式4-5】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．此函数图象与直线有两个公共点
【答案】D
【详解】解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意；
B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意；
C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意；
D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意，
故选：D．
【变式4-6】（2025九年级上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号．
【答案】，
【详解】对于二次函数，开口向上则；顶点在第四象限，说明顶点的横坐标，纵坐标．
由且，可得，因此．
题型五：根据已知函数图象判断其他函数图象
【例5】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像不可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】解：根据二次函数图像得出、，该对称轴为，则，
则函数的图像开口向下，与轴交于正半轴，
因此函数的图像不可能是A，
故选：A．
【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下，
∴，
∵从图中可知对称轴在轴右侧，
∴根据对称轴公式，得，
∵，
∴ ，
分析一次函数的图像：
，说明直线从左上到右下；
，说明直线与轴交于正半轴；
故符合这两个特征的是选项C．
【变式5-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【详解】解：从一次函数的图象来看，
图象从左到右上升，
；
图象与轴交点在正半轴，即当时，，
．
对于二次函数：
，
二次函数图象开口向上，排除、选项；
对称轴为，
，，
，即对称轴在轴右侧；
当时，，即二次函数与轴交点在负半轴．
综上，符合条件的是选项．
故选： ．
【变式5-3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，且与轴交于正半轴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴在抛物线对称轴的左侧，图象开口向下，且与轴交于正半轴，排除选项A；
设抛物线与x轴有两个交点，，
由图象可知，，，
∴一次函数与二次函数两个交点的横坐标为，，且，，，
分别在选项B、C、D中画直线，只有选项D中的交点横坐标符合要求，
∴函数的图象可能是D，
故选D．
【变式5-4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：∵的图象开口向下，
∴，
∴的图象与轴交于负半轴；
∵的对称轴在轴左边，
∴，
∴，
∵的图象与轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴的图象开口向下，对称轴在轴左边，
∵的图象与轴没有交点，
∴，
∴的图象与轴没有交点，
综上所述，可得D选项符合题意．
故选：D．
【变式5-5】（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：抛物线开口向下得到，
对称轴在轴右侧，则，解得，
抛物线与轴交点在正半轴，则，
∴，
∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求．
题型六：函数图象的共存问题
【例6】（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
B、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
C、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
D、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故符合题意；
故选：D．
【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解∶A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知， ，， ，则，由直线可知， ，，故本选项符合题意；
C由抛物线可知，， ，，则，由直线可知，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，， ，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意．
故选∶B．
【变式6-2】（25-26九年级上·黑龙江·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意；
B. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意；
C. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故符合题意；
D. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故不符合题意．
故选：C
【变式6-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数()和二次函数()在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交点在正半轴，
∴，，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故A不符合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与y轴交点在负半轴，
∴，，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故B不符合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与y轴交点在负半轴，
∴，，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故C符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，与y轴交点在正半轴，
∴，，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故D不符合题意．
故选：C．
题型七：多结论正误判断（压轴）
逐个结论套用基础规则，先判断简单式子，再攻克复杂推导，遇到矛盾结论直接排除，切忌凭感觉判断。 忽略a≠0隐含条件
纠错：只要是二次函数，a一定不为0，排除一次函数情况。 特殊x值与代数式对应混乱
纠错：代数式常数项数字即为x取值，如 无对应整数x，仅 有固定对应式子。
【例7】二次函数 图象特征：开口向下，对称轴 ，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点。现有以下结论：
① ② ③ ④
判断正确结论个数。
【答案】正确结论为③④，共2个
【详细解析】
1. 判系数：开口向下 ，对称轴 ，a、b异号则 ，y轴正半轴交点 ，故 ，①错误；
2. 对应 （顶点），开口向下顶点为最大值，结合图象趋势顶点在x轴上方，应为 ，本题条件下②错误；
3. 对称轴，化简得 ，即，③正确；
4. 抛物线与x轴有两个交点，故 ，④正确。
【解题思路】压轴多结论题：先定系数、再判特殊式、最后验二级结论，逐个排除，不主观臆断。
【变式7-1】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
【答案】D
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，故①正确；
∵对称轴在y轴的右侧，
∴，故②正确；
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴，故③错误；
∵当时，，
∴，故④正确．
故选D．
【变式7-2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（ ）
①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：由二次函数的图像与y轴的交点在负半轴，得，故①正确；
∵二次函数过点，
∴即，
由抛物线开口向上，得，
∴，故②正确，
∵抛物线对称轴为，
∴当时，
若点在函数图像上，则，故③正确；，
当时，的两个根，
方程变形为，
，
∵，
∴，
则，
∴，故④正确．
综上，①②③④正确．
故选D．
【变式7-3】（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（ ）
①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为，，
∴，即；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，即①错误；
∵对称轴，当时，，则
∴当时，，即可②正确；
∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，即③错误．
∵抛物线对称轴为，，
∴当时的函数值大于当时的函数值．
∵，
∴，
∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确．
综上，正确的结论是②④，共2个．
【变式7-4】（25-26九年级上·四川成都·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】解：根据图像可知，，
对称轴为，
，
，
，故（1）错误；
对称轴为，
，
，故（2）正确；
据图可知，当，，
则，即，故（3）错误；
对称轴为直线，
对称轴与点的距离为，
对称轴与点的距离为，
对称轴与点的距离为，
当二次函数图像开口向下，距离对称轴越远函数值越小，
，故（4）错误．
综上，正确的结论有（2），共个．
【变式7-5】（2026·宁夏银川·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图像上，则；⑥若为任意实数，则有．其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由图像可知，该函数图像开口向上，交轴于负半轴，
∴，
∵该函数图像与轴交于点、，
∴其对称轴为，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
∵
∴，故结论②正确；
由图像可知，当时，，
∴，故结论③错误；
对于方程，整理可得，
由图像可知，该函数图像开口向上，与直线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数，故结论④错误；
∵该函数图像的对称轴为，且开口向上，
∴函数图像上的点距离直线越远，函数值越大，
∵，，且，
∴，故结论⑤错误；
由该函数图像的对称轴为，且开口向上，
可知当时，取最小值，
∴若为任意实数，则有，
则有，故结论⑥正确．
综上所述，错误的结论有③④⑤，共计3个．
【变式7-6】（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤
【答案】B
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点，
∴，，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∴，
故结论②错误；
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴；
故结论③正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，
∵，
∴，即，
故结论④错误；
∵，，，
∴点，在二次函数的图象上，，
故结论⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤．
【变式7-7】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则，
，
又 ∵抛物线与轴交点坐标是，即，
，即，
∴，故①正确；
∴当时，，故②正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∵在抛物线的图象上，
，
又 ∵，
，
，即，
，即，
，
，即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，
即，
∵，
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又 ∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
结论正确的个数有4个．
【变式7-8】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________．
【答案】①④⑤
【详解】解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为，
令得，
故③错误；
由图像可知，对称轴是，图像开口向下，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
不等式的解集是，
故④⑤正确；
由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点，
则、，
那么，
故②错误；
由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：，
则判别式，即，
故①正确；
综上所述，结论正确的有①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【变式7-9】（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论：
①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______．
【答案】①②④
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，故①正确；
②当时，，故，故②正确；
③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误；
④由对称知，当时，函数值小于，，且，
即，代入得，得，故④正确；
⑤当时，的值最大．此时，，
而当时， ，
所以，
故，即，故⑤错误．
故①②④正确．
故答案为：①②④．
1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，
∴，即；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴；，故A、B选项错误，不符合题意；
由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴，
∵，
∴，即，故C选项正确，符合题意；
由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故，
与y轴交于正半轴，故，
对称轴在轴右侧，故，
又∵，
∴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由题意得，当时，
，
∵点B在到之间，且在点B的左边，
∴，故B选项错误，不符合题意；
由题意得，当时，
，
∵是抛物线与x轴交点，
∴，故C选项错误，不符合题意；
∵点的横坐标在和0之间，
∴，
∵，
∴
，故D选项正确，符合题意．
故选D．
3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若且，则
【答案】D
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为，即，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以A不正确；
∵，
∴，所以B不正确；
∵抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于，
∴抛物线与轴的一个交点在点与之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点与之间，
∴时，，
∴，所以C错误；
当，则，
∴和所对应的函数值相等，
∴，
∴，所以D正确；
故选：D．
4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．（的实数）
【答案】D
【详解】解：由图象可知：，
，
，
∴，故A错误；
时，，
∴由对称知，当时，函数值大于 0 ，
即，故B错误；
由图象知，当时，，当时，，
，
，即
，故C错误；
∵当时，的值最大．此时，
而当时，，
所以，
故，即，故D正确；
故选：D．
5．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：对于A，由图知，则
又图像与轴交于负半轴，则，
∴，故A正确，不符合题意；
对于B，由图象可知：时，；
即，故B正确，不符合题意；
对于C，由图象可知，
，
又，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
对于D，由图象可知：时，，
又，
即，
∴，
∴故D错误，符合题意．
故选：D．
6．（25-26九年级上·江西新余·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④
【答案】A
【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，，
函数对称轴为直线，
，
则，，故①正确；
函数图象与轴交于，
由翻折性质可知，，故②正确；
，对称轴为直线，
，
，
，故③错误；
由图知，，
函数图象与轴交于，
过点，
即，
解得，
函数为，
即，
当时，，
即的顶点坐标为，
将图象向下平移1个单位长度后的顶点坐标为，
将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：A．
7．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴交x轴负半轴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
当时，，
∴，故②正确；
如图，
∵抛物线与x轴交于点，点两点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故③正确；
∵方程的两个根是，，即方程的两个根是，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号）
【答案】①②④
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴；
∵对称轴位于轴的左侧，
∴同号，
∴；
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴；
∴，
故①正确；
②图象关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③∵图象关于直线对称，
∴点与关于对称轴对称，
当时，，
故③错误；
④当时，值最大，
当时，，
∴，
∴，
故④正确；
综上，正确选项为①②④，
故答案为：①②④．
9．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤若、是抛物线上两点，则．其中正确的结论有______．
【答案】①②⑤
【详解】解：①：由抛物线开口向上，可知，
对称轴，可得，
图象与y轴交点在y轴负半轴，可知，
∴，故①正确；
②：∵抛物线过点，将，代入中，可得，
又∵，
把代入，得到，即，故②正确；
③：∵对称轴是直线，且过点，
根据二次函数图象的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，对应的点在x轴上方，即，故③错误；
④：由抛物线与x轴有两个交点和，可知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误；
⑤：点关于对称轴的对称点为，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论：
①；
②；
③ ；
④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根；
⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可）
【答案】①③④⑤
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点在抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
11．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号）
【答案】①②③
【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，
∵对称轴为直线，
，
∴，
∴，故结论①正确；
∵对称轴为直线，
，即，
∴，故结论②正确；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，即，故结论③正确；
∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线，
∴到对称轴的距离分别为，
∴，故结论④错误．
∵当时，取得最大值，
∴当时，，
∴，故⑤错误，
综上所述，正确的结论是①②③．
12．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号）
【答案】①②④
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线，
，
又，
，
，故结论①正确，符合题意．
由图可得抛物线顶点的纵坐标大于，
顶点纵坐标公式得，
又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变，
，故结论②正确，符合题意．
抛物线过点、
，，
即，
，故结论③错误，不符合题意．
抛物线经过点，
当时，，故结论④正确，符合题意．
故正确的结论是①②④．
13．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根；
②当时，的值随值的增大而增大；
③；
④；
⑤对于任意实数，总有．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③⑤
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为，
又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即，
① 关于的方程可变形为，
∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标，
，直线与抛物线有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，故①正确；
②∵抛物线开口向下，对称轴为，
当时，的值随值的增大而减小，故②错误；
③设抛物线的交点式为，展开得：
，
当时，，
即，
∵，
，
解得：，故③正确；
④是时的函数值，
∵，抛物线开口向下，且和处函数值为，
当时，，
时，，故④错误；
⑤ 由对称轴公式，可得，
将代入式子左边：
∵，，
，即对任意实数，总有，故⑤正确；
综上，正确结论的序号是①③⑤．
14．（25-26九年级上·北京西城·月考）如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：
①；②；③；
④若对于的任意值都有，则；
⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______．
【答案】①②
【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴的交于负半轴；
∴，，
∴；①正确；
∵该二次函数图像经过点，
∴该二次函数的对称轴为直线
∴
解得：；②正确
∵
∴
由图像可知：
∴
即：；③错误；
∵对于的任意值都有
∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大；
∵该二次函数的对称轴为直线
∴，即：
∵二次函数图像经过点
∴
∴该二次函数的表达式可化为：
将代入得：
解得：，此时最大，
∴；④错误；
∵当变大时，抛物线的开口变小
∴线段变短；⑤错误
综上，正确的有①②；
故答案为：①②．/ 让教学更有效
考点03 二次函数的图象与字母系数之间的关系
考点一：核心基础考点（必背）
1. 系数a：决定开口方向与开口大小
：抛物线开口向上，函数有最小值；
：抛物线开口向下，函数有最大值；
越大：开口越窄； 越小：开口越宽
隐含条件：a≠0，二次函数的核心判定条件
2. 系数a、b联合：决定对称轴位置
抛物线对称轴公式：，核心口诀：左同右异
对称轴在y轴左侧（）：同号（）
对称轴在y轴右侧（）：异号（）
对称轴为y轴（）：b=0
3. 系数c：决定抛物线与y轴交点
抛物线与y轴恒交于点
：交点在y轴正半轴
：抛物线过坐标原点
：交点在y轴负半轴
4. 判别式Δ：决定抛物线与x轴交点个数
：抛物线与x轴有2个不重合交点
：抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上）
：抛物线与x轴无交点
【例1】已知二次函数 的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与y轴负半轴相交，判断 的符号。
考点二：高频特殊代数式符号判断（重难点）
，函数值
，函数值
，函数值
，函数值
，函数值
特殊推导式子：，通过对称轴 与 的大小关系推导符号。
【例2】已知抛物线 图象特征：开口向下，对称轴 ，抛物线过y轴正半轴，且 时图象对应点在x轴下方。判断 、 的符号。
考点三：通用解题方法（万能思路）
1.定a、c符号：开口定 ，y轴交点定
2.定b符号：根据对称轴位置，用“左同右异”判定
3.判特殊式子：取 等特殊值，看图象对应点高低（纵坐标正负）
4.判Δ符号：根据抛物线与x轴交点个数判定
5.综合判断：结合对称轴范围、最值、函数增减性综合推导复杂代数式
考点四：常用二级结论（提速秒杀）
1. 符号：根据a、b、c三者正负判断，负因数个数为偶数则 ，奇数则 。
2.最值结论：若对称轴 ，则 为函数最值，大于或等于/小于或等于任意x对应的函数值。
3.韦达定理：抛物线与x轴两交点横坐标 ，满足 ，。
4.奇偶取值规律：与、与 的函数值可交叉验证系数关系。
题型一：单一系数符号判断
1.直接观察图象，开口判 、y轴交点判 、对称轴判 ，秒出答案，无复杂计算。 对称轴a、b符号混淆
纠错：牢记口诀“左同右异”，对称轴在y轴左，a、b同号；在y轴右，a、b异号，永不记错。
【例1】．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【变式1-1】（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图是二次函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图为，则( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
题型二：特殊代数式 a±b+c 符号判断
式子对应哪个x值，就看图象上该横坐标对应的点：点在x轴上方则式子为正，下方为负，在x轴上为0。 混淆顶点纵坐标与a+b+c
纠错：仅当对称轴 时，顶点纵坐标等于 ，其余情况不成立。
【例2】（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．阴影部分的面积为4
【变式2-1】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（）
A． B．
C． D．
题型三：2a±b 式子判定（高频难点）
对比对称轴与 的大小，对对称轴公式变形推导： 若对称轴 ，即 ，结合 的正负，不等号变向推导 符号 若对称轴 ，同理推导 符号 2a+b、2a-b变形不等号变向错误
纠错：不等式两边乘除负数必须变号，a为负时，推导对称轴不等式务必注意变号。
【例3】已知二次函数开口向上，对称轴 ，判断 的符号。
【变式3-1】（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-5】（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：含Δ正误辨析
Δ=0的概念误解
纠错： 是一个交点，不是无交点，此时抛物线顶点落在x轴上。
【例4】已知二次函数 图象全部在x轴上方，试判断 的取值情况。
【变式4-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式4-2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）

A． B． C． D．
【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
【变式4-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，若a，b，c满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-5】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．此函数图象与直线有两个公共点
【变式4-6】（2025九年级上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号．
题型五：根据已知函数图象判断其他函数图象
【例5】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像不可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【变式5-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【变式5-3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式5-4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
【变式5-5】（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型六：函数图象的共存问题
【例6】（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（25-26九年级上·黑龙江·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数()和二次函数()在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：多结论正误判断（压轴）
逐个结论套用基础规则，先判断简单式子，再攻克复杂推导，遇到矛盾结论直接排除，切忌凭感觉判断。 忽略a≠0隐含条件
纠错：只要是二次函数，a一定不为0，排除一次函数情况。 特殊x值与代数式对应混乱
纠错：代数式常数项数字即为x取值，如 无对应整数x，仅 有固定对应式子。
【例7】二次函数 图象特征：开口向下，对称轴 ，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点。现有以下结论：
① ② ③ ④
判断正确结论个数。
【变式7-1】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
【变式7-2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（ ）
①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【变式7-3】（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（ ）
①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-4】（25-26九年级上·四川成都·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式7-5】（2026·宁夏银川·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图像上，则；⑥若为任意实数，则有．其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-6】（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤
【变式7-7】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-8】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________．
【变式7-9】（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论：
①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______．
1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若且，则
4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．（的实数）
5．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江西新余·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④
7．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号）
9．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤若、是抛物线上两点，则．其中正确的结论有______．
10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论：
①；
②；
③ ；
④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根；
⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可）
11．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号）
12．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号）
13．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根；
②当时，的值随值的增大而增大；
③；
④；
⑤对于任意实数，总有．
其中所有正确结论的序号是______．
14．（25-26九年级上·北京西城·月考）如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：
①；②；③；
④若对于的任意值都有，则；
⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______．

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