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考点04 二次函数图象与图形的交点问题
考点一：核心考点总览
1. 交点本质：二次函数与几何图形的交点问题，核心是联立两者解析式，方程实数解的个数即为有效交点个数。
2. 常考几何图形：直线、线段、坐标轴、三角形、矩形等多边形。
3. 核心判定依据：一元二次方程判别式Δ、自变量取值范围、图形边界临界位置、数形结合思想。
4. 命题核心：判断交点个数、求交点坐标、根据交点个数求参数取值范围。
考点二：通用标准解题步骤
步骤1：设二次函数解析式 ；
步骤2：联立几何图形解析式，消去一个变量，得到一元二次方程；
步骤3：利用判别式Δ判断方程实数根的总个数；
步骤4：结合图形自带的自变量取值范围，筛选有效根（有效交点）；
步骤5：针对含参数题型，结合图像临界位置，列不等式求解参数范围。
考点三：核心解题方法辨析
1. 代数法（精准计算）
适用场景：需要求解交点坐标、精准判断交点个数、参数计算。核心是联立方程、算根、判范围，结果精准无误差。
2. 几何数形结合法（快速解题）
适用场景：选择题、填空题快速判断，参数范围临界分析。通过画图观察抛物线平移、翻折后的位置，快速锁定临界状态。
3. 端点临界法（线段/多边形专属）
所有有限图形（线段、多边形），必须优先验证端点交点，临界值单独判断取舍，是解决易错题型的关键。
4. 分类讨论法
针对含参数题型，根据抛物线开口方向、参数正负、交点位置左右分类讨论，避免漏解。
考点四：考场速记结论
1. 无限直线交点：Δ定个数，无需考虑范围；
2. 有限线段交点：Δ判有根 + 区间筛有效，双重判定；
3. 坐标轴交点：x轴看根，y轴看常数项；
4. 二次函数与图形围成区域整点问题
① 先定区间，逐x筛查：优先锁定封闭区域的x整数取值，对每个整数x，计算区域上下边界的y值，夹在边界之间的整数y即为有效整点。
② 边界取舍口诀：图像实线可取等号（边界整点算），图像虚线不含等号（边界整点舍去）；开口向上看上下界，开口向下看上下限。
③ 无整点快速判定：同一整数x对应的上下边界y值之差小于1时，该x区间内一定无整点，无需逐个验证。
④ 参数类整点临界：整点个数固定求参数，只卡两个临界——刚好包住整点、刚好漏掉整点，临界位置代入端点验证等号取舍。
题型一：二次函数与直线交点问题（基础题型）
联立抛物线与直线解析式，消元得到一元二次方程，通过Δ直接判定交点个数： Δ＞0 → 2个不同交点；Δ＝0 → 1个相切交点；Δ＜0 → 无交点。
【例1】判断抛物线 与直线 的交点个数。
解：联立方程组：
整理得：
计算判别式：
结论：抛物线与直线有2个交点。
【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线的图象交轴于点．
(1)直接写出的值：_____；
(2)若直线与该抛物线有唯一公共点，求的值．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）解：将代入抛物线解析式得，
解得，
故答案为：1；
（2）解：由（1）知抛物线解析式为，
联立方程得：
，
整理得，
判别式，
解得．
【变式1-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)
【详解】（1）解：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为，；
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或．
（3）解：由得，，即，
∵直线与二次函数有两个公共点，
∴，
解得，
∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是．
【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知抛物线（m为常数）．
(1)若该抛物线与y轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知，在该抛物线上，若对于，都有，则t的取值范围为_____；
(2)若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长．
【答案】(1)①，②或
(2)
【详解】（1）解：①将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
②可知抛物线的解析式为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
即，解得或，
又，
或，
解得或．
（2）解：对于任意实数x，都有，
对于任意x都成立，
，即，
，
抛物线的解析式为，
令，得，解得，，
点M、N的横坐标分别为和，
．
【变式1-4】（25-26九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题：
(1)函数的自变量的取值范围是___________；
(2)小君写出该函数与的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 0 459 …
①的值为___________；
②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象；
(3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）；
(4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________．
【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是所有实数，
故答案为：所有实数；
（2）解：①当时，，
故答案为：；
②补图如下：
；
（3）解：令，如下图所示：
方程最小的解接近，
∵当时，；
当时，；
当时，，
∴由图象可知：方程最小的解的近似值，
故答案为：；
（4）解：
，
∴当，即时，有最小值为，
如图，
由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，
故答案为：或．
题型二：二次函数与线段交点问题（高频重难点）
解题核心 线段是有限范围的直线，不能只看Δ，必须双重判定：方程有实数根 + 根的横坐标落在线段横坐标区间内。 解题步骤 1. 求线段所在直线解析式，联立抛物线得方程； 2. 求解方程根，判断根是否在线段自变量取值范围内； 3. 验证线段端点临界情况，确定最终交点个数。
【例2】已知抛物线 ，线段CD端点为 、，判断两者交点个数。
解：联立方程组：
解得：
线段CD横坐标范围：，仅 在区间内。
结论：抛物线与线段有1个交点。
【变式2-1】（2025·云南玉溪·一模）已知抛物线，m为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求m的值；
(2)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：该抛物线经过点，
解得；
（2）解：当，，
当时，，
当交点在线段之间时，当时，，
解得；
当时，
解得；
综上，或．
【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，若且线段与该抛物线恰有一个交点，请直接写出的取值范围；
(3)当时，y有最小值为，求的值．
【答案】(1)直线
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：
∴抛物线的对称轴为直线
（2）解：∵当时，
∴
又∵
∴或，
当时，抛物线开口向下，
∵点，线段与该抛物线恰有一个交点，
∴或
（3）抛物线的对称轴为直线
∵，
∴当时，当时取得最小值，
代入得，
解得：
当时，抛物线开口向上，顶点坐标为
∴，
解得：．
综上所述，或．
【变式2-3】（25-26九年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B．
(1)若抛物线经过点，点B的坐标为_________；
(2)若点，在抛物线上，且，求m的取值范围；
(3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【详解】（1）解：①抛物线过点，
，
，
抛物线解析式为：，
抛物线与y轴交于点A坐标为，
当时，即，
解得：，，
点；
（2）解：点，在抛物线上，
，，
当时，即，
即：，
解得：；
（3）解：抛物线，
抛物线对称轴为，顶点为，
点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
①当抛物线的顶点在线段上时，即：，
解得：；
②当抛物线顶点落在上方时，当时，，
当时，，，对称轴为，
，
抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），
与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
．
解得：，
综上，a的取值范围是或．
【变式2-4】（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
(2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围；
(3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为
(2)或
(3)
【详解】（1）解：由题意，对于抛物线，
∴对称轴为直线；
（2）解： 令，即，
解得，，
又∵抛物线与线段有两个交点，，
∴或，
解得或，
∴b的取值范围是或；
（3）解：由题意，将代入抛物线，
∴，
又将代入抛物线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，，
∴．
题型三：二次函数与坐标轴交点问题（基础必考）
1. 与y轴交点：令 ，解得 ，交点为 ； 2. 与x轴交点：令 ，解一元二次方程 ，根即为交点横坐标。
【例3】求抛物线 与坐标轴的交点坐标。
解：① 与y轴交点：令 ，得 ，交点为 ；
② 与x轴交点：令 ，即 ，解得 ，交点为 。
综上，坐标轴交点为 。
【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值．
【详解】（1）解：∵
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简得：，
解得：或7．
【变式3-2】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）已知关于的二次函数（是常数）．
(1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点；
(2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值．
【详解】（1）证明：令，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴方程有2个不相等的根，
即二次函数的图象与轴总有两个交点；
（2）解：由题意得：和是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数．（为常数，且）．
(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；
(2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由．
【详解】（1）证明：令，得，
此时，
，
，
，
，
，
即一元二次方程有实数解，
二次函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：二次函数的对称轴，
，
，
，
，
即二次函数的对称轴，
又，即二次函数图象开口向上，
当时，随着的增大而增大，
当时，．
【变式3-4】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知函数（m是常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
(3)在（2）的条件下，若有，两点在抛物线上，且，求实数n的取值范围．
【详解】（1）证明：∵当时，，
∴不论为何值，函数图象都经过点
（2）解：函数与轴只有一个交点
当时，，与轴有一个交点
当时，，解得
∴的值为或
（3）解：由题意可知函数是二次函数，
∴，函数为，
∴抛物线对称轴为，
∵，有，两点在抛物线上，且，
∴，即
或，
故n的取值范围为或．
【变式3-5】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，．
(1)求二次函数的表达式：
(2)将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象与轴交点的坐标为___________．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设二次函数的表达式为，
则，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得，二次函数的表达式为，
∵将二次函数的图象向右平移2个单位长度，
∴所得图象的表达式为，
令，则，
∴所得图象与轴交点的坐标为．
故答案为：．
【变式3-6】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数．（m是常数）．
(1)当时，求该二次函数图象顶点的纵坐标．
(2)若该二次函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，求m的值．
【答案】(1)
(2)或4
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为：；
∴二次函数图象顶点的纵坐标为．
（2）解：∵该二次函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，
∴，
解得：或．
题型四：与围成的区域的整点问题（压轴高频）
1. 求二次函数与围成图形的交点，确定封闭区域x的取值范围； 2. 筛选范围内所有整数x； 3. 对每个整数x，求出区域内y的取值区间； 4. 统计区间内整数y的个数，汇总总整点数量。 1. 误将区域外、边界外的整数点计入； 2. 忽略上下y值之间无整数的情况； 3. 参数范围等号取舍错误导致整点个数偏差； 4. 漏算边界实线对应的整点。
【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（．为常数且）与轴交于点．
（1）若，则抛物线的顶点坐标为________；
（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于个且小于个，则的取值范围是________；
（3）若抛物线与直线交于、两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有个“完美点”，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
故答案为：．
（2）令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
故答案为：．
（3）根据，
得抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
故答案为：．
【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（为常数且）与轴交于点．若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】解：如图所示：
由抛物线（为常数且）与轴交于点，则令可得，，
即，
若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，
由图可知，，
解得，
故答案为：．
【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是______．
【答案】或
【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为，
过点， ，，
当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶
①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个，
的取值范围是；
Ⅱ抛物线的顶点坐标为，
过点， ，，，
当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶
①当拋物线经过时，，解得，此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个，
的取值范围是；
故答案为：或 ．
【变式4-3】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点，点的坐标；
(2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系；
(3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围．
【答案】(1)、
(2)
(3)
【详解】（1）解：令
∴，
则或，
∴点、；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点，则点，点，
∴，，
∵，
∴，则，
∴
；
（3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，
只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，
此时．
根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点，
此时是临界位置，，
所以．
【变式4-4】（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P．
(1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个；
(2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值；
(3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，15
(2)或
(3)
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
当时，，解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个，
故答案为：，15；
（2），
∴抛物线的顶点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
当时，，解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
则，，，
当时，，即，
解得：（正值舍去）；
当时，，即，
解得：（正值舍去）；
当时，，即，
此时方程无解；
综上，当或时，是直角三角形；
（3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，
∴在轴上方只有3个“整数点”，
当与轴得交点为“整数点”时，，即，此时顶点的坐标为，并非“整数点”，
可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意；
当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意；
当顶点的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点的坐标为，并非“整数点”，
可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意；
当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意；
综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个．
【变式4-5】（24-25九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（合边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
（2）令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为7个时，分别为，，，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）若二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则n的值为________
【答案】
【详解】解：当时，，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，，
如图，
∴抛物线与轴的交点之间的距离为，
∵二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴每相邻两点间的距离都为，
∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，如图，
∴平移后的抛物线解析式为，
即，
原抛物线为，
由题抛物线向下平移个单位所得的抛物线解析式为，
∴平移距离．
2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）若二次函数的图象与轴交于两点，，则______．
【答案】
【详解】解：由二次函数的图象与轴交于两点，，
所以，是方程，即的两个根，
根据根与系数的关系，可得，，且，，
对进行通分化简得，
将，代入上式得．
3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）．
（1）当时，该函数图象的顶点坐标为________；
（2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________．
【答案】
【详解】解：（1）当时，，
∴该函数图象的顶点坐标为；
故答案为：；
（2）∵，
∴将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的解析式为，
当时，，
解得：，
∴新函数与x轴的交点坐标为，
∵新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，
∴，
解得：．
故答案为：．
4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（）．
(1)若，求该函数图象的顶点坐标；
(2)若，求证：该函数图象与轴有两个公共点；
(3)该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？
【详解】（1）解：若，，顶点坐标为；
（2）解：当时，，
则．
，
，
，
该函数图象与轴有两个公共点；
（3）解：存在，
由题意，得，对称轴为直线，
．
是一个以为底边的等腰三角形，
，设存在点
．
有两个相等的实数根．
，
，．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值；
(3)若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：二次函数的图象关于直线对称，
，解得；
二次函数的图象与轴交于，
；
则该二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知二次函数的表达式为，开口向上、对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
则当时，二次函数的最小值为；当时，二次函数的最大值为；
当时，二次函数的最大值与最小值的差为，
，
即，
，
解得或（由可知，此值不满足条件，舍去），
；
（3）解：由（1）知二次函数的表达式为，
令，则，
解得或，
二次函数的图象与轴的交点坐标为和，
是该函数图象上的两个点，且，
或，
解不等式组得或．
6．（25-26九年级上·吉林延边·月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象与x轴的另一个交点坐标；
(3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为．
把，分别代入解析式，得 ，
解得，
该二次函数的表达式为．
（2）解：设该图象与x轴的另一个交点坐标为，
根据题意，得，
解得．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值，
且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵，
∴在这个范围内，
∴二次函数的最大值为４,
∵，
∴当时，取得最小值，且最小值为，
故的取值范围为．
7．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点．
(1)当时，求的最小值．
(2)当时，
①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式．
②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围．
(3)①若，直接写出的最大值．
②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)①或；②
(3)①；②
【详解】（1）解：∵
∴，
∴顶点坐标为
∵，
∴的最小值为；
（2）解：①当时，
∴对称轴为直线，
设点的横坐标为，
∵，
∴
又∵关于直线对称，
∴
解得：或
∴或
②∵当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，对称轴为直线，
∴当时，，当时，
即
∴
（3）解：①∵图象的顶点为，
当时，
∴
即的最大值为
②∵图象的顶点为，对称轴为直线，则
点为抛物线上一点，当时，
∵，的最大值为，最小值为，
∴，
∴
8．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线．
(1)当抛物线经过原点时，直接写出的值；
(2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值；
(3)若抛物线经过．
①求抛物线的函数解析式和顶点坐标；
②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)①，顶点坐标为；②
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，
∴，
解得；
（2）解：∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线，
∴，
∵抛物线和有且只有一个公共点，
∴联立得，
整理得，
∴，
解得；
（3）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
∴，
∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线，
∴，
∴顶点坐标为；
②∵直线与交于点、，
∴，
整理得，
设两根为和，
∴，，
∴
，
∵直线与交于点、，
∴，整理得，
设两根为和，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴．
9．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．
(1)当，时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴；
(2)试判断二次函数图象与x轴的交点个数；
(3)若，当，时，总有，求a的取值范围．
【答案】(1)；对称轴为；
(2)当时， 二次函数图象与x轴有1个交点； 当不全为0时，二次函数图象与x轴有2个交点．
(3)或．
【详解】（1）解：当，时，
对称轴为直线；
（2）解：
，
当二次函数与x轴相交时，，
则
∴当且，即时，，二次函数图象与x轴有1个交点；
当a、b不全为0时，，二次函数图象与x轴有2个交点．
（3）解：∵，
∴，
对称轴为直线，
①当时，若点A、B都在对称轴右侧，
∵时，总有，
∴，解得，即；
②当时，若点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，
则，解得，不合题意，舍去；
③当时，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，
则，解得，
∴；
综上所述，a的取值范围是或．
10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点．
(1)求的值；
(2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围；
(3)若直线与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)当，函数开口向上，时，随的增大而减小；当，函数开口向下，时，随的增大而减小
(3)①；②
【详解】（1）解：将代入解析式，得，
解得．
（2）解：由（1）可知，则解析式为，
把点代入解析式，得，
化简得，
二次函数的对称轴为直线，
当，函数开口向上，时，随的增大而减小；
当，函数开口向下，时，随的增大而减小．
（3）解：①可知二次函数解析式为，
联立函数解析式，得 ，
∵，
∴，
直线与抛物线有且只有一个交点，
，
解得或（不合题意，舍去）．
②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为，
当时，，，
则，
，
当时，n有最大值，最大值为．
11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知抛物线（为常数，）．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），．
①求的值；
②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线
(2)①；②
【详解】（1）解：因为，
所以该抛物线的对称轴为直线；
（2）①解：令，则，
设该方程的两根为，
因为点在原点的左侧，，
所以，
由根与系数关系得：，
即，
所以，，
把代入，
得，
所以；
②解：因为，
所以该函数表达式为，
所以该抛物线的顶点坐标为，
因为该抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线和之间，且，
所以如图，上方的平行线不能在顶点下方，
因为直线和之间的距离为9，
所以要使最大，则直线经过顶点，
此时直线为，
所以当时，
解得，，
所以的最大值为．
12．（25-26九年级上·山东德州·期末）平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，且，则抛物线的顶点坐标为_____；
(2)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点；
(3)若，点在抛物线上，且．
①若的最小值是，求抛物线的解析式：
②若也在抛物线上，且．若对于，都有，求的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且，
，
，
函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）证明：当时，抛物线方程，化简为，
令，得，
，
该方程有两个不相等的实数根，
抛物线与轴一定有两个交点．
（3）解：当时，抛物线方程，化简为，
抛物线的顶点为，开口向上，
①抛物线开口向上，对称轴为且，
当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标，
，
故函数解析式为；
②当时，，
抛物线开口向上，在内的最大值出现在范围端点离对称轴更远的点，
若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于，
当时，，
当时，，
，
，
化简得，
解得或，
的取值范围为或．
13．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交于点C，交x轴于点D．
(1)若点A为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段长度的最大值．
(2)若该二次函数与x轴的一交点为，且，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【详解】（1）解：（1）①∵为二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为；
②∵正比例函数经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数表达式为，
设，则，
∴，
∴当时，线段的长度取得最大值；
（2）解：∵二次函数经过点，
∴，即，
令，
解得，，
∵二次函数与轴的一个交点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴a的取值范围是．
14．（25-26九年级上·山东·期末）已知抛物线（m，n为常数）过点．
(1)若是该抛物线上的一点．
①求该抛物线的解析式；
②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长．
【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或；
(2)
【详解】（1）解：①∵抛物线过点和，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
∵对于，都有，
∴或，
解得或；
（2）解：∵抛物线过点，
，
则，
∵对于任意实数，都有，
∴对任意实数都成立，
，
∴，
，
∴抛物线解析式为，
联立抛物线与直线，
得，即，
解得，，
∴交点的横坐标分别为和，
．
15．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当时，求函数值y的取值范围；
(3)将抛物线在点右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：将代入中得，
∵对称轴，即，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，开口向下，对称轴直线，
又
∴时，取得最小值，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为；
（3）解：①当直线过点D时：
∵B，D两点关于对称轴直线对称，，
∴点D的坐标为，
将点代入直线中得，
∴；
②当直线与抛物线相切时，
令，即，
当，解得；
综上：或．
16．（24-25九年级上·云南昆明·期中）平面直角坐标系中，我们称横坐标，纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
(1)若．求抛物线的顶点坐标；
(2)若时，线段（含端点）上有多少个的“完美点”？请你写出这些“完美点”的坐标；
(3)若抛物线与直线交于M，N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)、、、
(3)
【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为，
配方可得，
故抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由解析式可得，当时，即，
故，根据“完美点”的定义可知线段上有4个“完美点”坐标，分别是：
、、、．
（3）解：抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，，
，故抛物线与轴无交点，
画出大致图象，如图1所示，
线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
这4个完美点必须且只包含、、、个“完美点”，
因此，必须同时满足以下条件：
当，；当时，；当时，，
即，
解得，
故解集为：．
即的取值范围为．
17．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点为线段（不含端点，）上一点，连接并延长交抛物线于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点时得到新抛物线，点为新抛物线与轴的另一个交点，点为新抛物线的顶点，连接，，过点作交新抛物线于点，连接．在新抛物线上确定一点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)，的面积有最大值
(3)N点坐标为或
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
将、、三点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，如图1，
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
；
（3）解：设抛物线沿轴正半轴方向平移个单位，则沿轴正方向平移个单位，
平移后的函数解析式为，
经过点，
，
解得（舍或，
平移后的函数解析式为，
当时，，
解得或，
，
是顶点，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
，
过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，如图2，
直线与轴的交点，，
，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点在点上方时，
，
，
，
，
，
设，
，
解得（舍或，
∴；
当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点，
∴，
，
，
，
，
，
设，
，
解得，
∴，
直线的解析式为，
设点关于直线的对称点为，
，
，
解得或（舍，
∴，
直线的解析式为，
当时，解得或（舍；
∴；
综上所述：点坐标为或．/ 让教学更有效
考点04 二次函数图象与图形的交点问题
考点一：核心考点总览
1. 交点本质：二次函数与几何图形的交点问题，核心是联立两者解析式，方程实数解的个数即为有效交点个数。
2. 常考几何图形：直线、线段、坐标轴、三角形、矩形等多边形。
3. 核心判定依据：一元二次方程判别式Δ、自变量取值范围、图形边界临界位置、数形结合思想。
4. 命题核心：判断交点个数、求交点坐标、根据交点个数求参数取值范围。
考点二：通用标准解题步骤
步骤1：设二次函数解析式 ；
步骤2：联立几何图形解析式，消去一个变量，得到一元二次方程；
步骤3：利用判别式Δ判断方程实数根的总个数；
步骤4：结合图形自带的自变量取值范围，筛选有效根（有效交点）；
步骤5：针对含参数题型，结合图像临界位置，列不等式求解参数范围。
考点三：核心解题方法辨析
1. 代数法（精准计算）
适用场景：需要求解交点坐标、精准判断交点个数、参数计算。核心是联立方程、算根、判范围，结果精准无误差。
2. 几何数形结合法（快速解题）
适用场景：选择题、填空题快速判断，参数范围临界分析。通过画图观察抛物线平移、翻折后的位置，快速锁定临界状态。
3. 端点临界法（线段/多边形专属）
所有有限图形（线段、多边形），必须优先验证端点交点，临界值单独判断取舍，是解决易错题型的关键。
4. 分类讨论法
针对含参数题型，根据抛物线开口方向、参数正负、交点位置左右分类讨论，避免漏解。
考点四：考场速记结论
1. 无限直线交点：Δ定个数，无需考虑范围；
2. 有限线段交点：Δ判有根 + 区间筛有效，双重判定；
3. 坐标轴交点：x轴看根，y轴看常数项；
4. 二次函数与图形围成区域整点问题
① 先定区间，逐x筛查：优先锁定封闭区域的x整数取值，对每个整数x，计算区域上下边界的y值，夹在边界之间的整数y即为有效整点。
② 边界取舍口诀：图像实线可取等号（边界整点算），图像虚线不含等号（边界整点舍去）；开口向上看上下界，开口向下看上下限。
③ 无整点快速判定：同一整数x对应的上下边界y值之差小于1时，该x区间内一定无整点，无需逐个验证。
④ 参数类整点临界：整点个数固定求参数，只卡两个临界——刚好包住整点、刚好漏掉整点，临界位置代入端点验证等号取舍。
题型一：二次函数与直线交点问题（基础题型）
联立抛物线与直线解析式，消元得到一元二次方程，通过Δ直接判定交点个数： Δ＞0 → 2个不同交点；Δ＝0 → 1个相切交点；Δ＜0 → 无交点。
【例1】判断抛物线 与直线 的交点个数。
【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线的图象交轴于点．
(1)直接写出的值：_____；
(2)若直线与该抛物线有唯一公共点，求的值．
【变式1-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围．
【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知抛物线（m为常数）．
(1)若该抛物线与y轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知，在该抛物线上，若对于，都有，则t的取值范围为_____；
(2)若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长．
【变式1-4】（25-26九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题：
(1)函数的自变量的取值范围是___________；
(2)小君写出该函数与的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 0 459 …
①的值为___________；
②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象；
(3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）；
(4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________．
题型二：二次函数与线段交点问题（高频重难点）
解题核心 线段是有限范围的直线，不能只看Δ，必须双重判定：方程有实数根 + 根的横坐标落在线段横坐标区间内。 解题步骤 1. 求线段所在直线解析式，联立抛物线得方程； 2. 求解方程根，判断根是否在线段自变量取值范围内； 3. 验证线段端点临界情况，确定最终交点个数。
【例2】已知抛物线 ，线段CD端点为 、，判断两者交点个数。
【变式2-1】（2025·云南玉溪·一模）已知抛物线，m为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求m的值；
(2)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，若且线段与该抛物线恰有一个交点，请直接写出的取值范围；
(3)当时，y有最小值为，求的值．
【变式2-3】（25-26九年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B．
(1)若抛物线经过点，点B的坐标为_________；
(2)若点，在抛物线上，且，求m的取值范围；
(3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围．
【变式2-4】（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
(2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围；
(3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围．
题型三：二次函数与坐标轴交点问题（基础必考）
1. 与y轴交点：令 ，解得 ，交点为 ； 2. 与x轴交点：令 ，解一元二次方程 ，根即为交点横坐标。
【例3】求抛物线 与坐标轴的交点坐标。
【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值．
【变式3-2】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）已知关于的二次函数（是常数）．
(1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点；
(2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值．
【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数．（为常数，且）．
(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；
(2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由．
【变式3-4】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知函数（m是常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
(3)在（2）的条件下，若有，两点在抛物线上，且，求实数n的取值范围．
【变式3-5】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，．
(1)求二次函数的表达式：
(2)将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象与轴交点的坐标为___________．
【变式3-6】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数．（m是常数）．
(1)当时，求该二次函数图象顶点的纵坐标．
(2)若该二次函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，求m的值．
题型四：与围成的区域的整点问题（压轴高频）
1. 求二次函数与围成图形的交点，确定封闭区域x的取值范围； 2. 筛选范围内所有整数x； 3. 对每个整数x，求出区域内y的取值区间； 4. 统计区间内整数y的个数，汇总总整点数量。 1. 误将区域外、边界外的整数点计入； 2. 忽略上下y值之间无整数的情况； 3. 参数范围等号取舍错误导致整点个数偏差； 4. 漏算边界实线对应的整点。
【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（．为常数且）与轴交于点．
（1）若，则抛物线的顶点坐标为________；
（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于个且小于个，则的取值范围是________；
（3）若抛物线与直线交于、两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有个“完美点”，则的取值范围是________．
【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（为常数且）与轴交于点．若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，则的取值范围是___________．
【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是______．
【变式4-3】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点，点的坐标；
(2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系；
(3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围．
【变式4-4】（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P．
(1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个；
(2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值；
(3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围．
【变式4-5】（24-25九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（合边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）若二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则n的值为________
2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）若二次函数的图象与轴交于两点，，则______．
3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）．
（1）当时，该函数图象的顶点坐标为________；
（2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________．
4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（）．
(1)若，求该函数图象的顶点坐标；
(2)若，求证：该函数图象与轴有两个公共点；
(3)该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值；
(3)若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围．
6．（25-26九年级上·吉林延边·月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象与x轴的另一个交点坐标；
(3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围．
7．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点．
(1)当时，求的最小值．
(2)当时，
①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式．
②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围．
(3)①若，直接写出的最大值．
②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值．
8．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线．
(1)当抛物线经过原点时，直接写出的值；
(2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值；
(3)若抛物线经过．
①求抛物线的函数解析式和顶点坐标；
②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值．
9．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．
(1)当，时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴；
(2)试判断二次函数图象与x轴的交点个数；
(3)若，当，时，总有，求a的取值范围．
10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点．
(1)求的值；
(2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围；
(3)若直线与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值．
11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知抛物线（为常数，）．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），．
①求的值；
②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值．
12．（25-26九年级上·山东德州·期末）平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，且，则抛物线的顶点坐标为_____；
(2)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点；
(3)若，点在抛物线上，且．
①若的最小值是，求抛物线的解析式：
②若也在抛物线上，且．若对于，都有，求的取值范围．
13．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交于点C，交x轴于点D．
(1)若点A为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段长度的最大值．
(2)若该二次函数与x轴的一交点为，且，求a的取值范围．
14．（25-26九年级上·山东·期末）已知抛物线（m，n为常数）过点．
(1)若是该抛物线上的一点．
①求该抛物线的解析式；
②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长．
15．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当时，求函数值y的取值范围；
(3)将抛物线在点右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值．
16．（24-25九年级上·云南昆明·期中）平面直角坐标系中，我们称横坐标，纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
(1)若．求抛物线的顶点坐标；
(2)若时，线段（含端点）上有多少个的“完美点”？请你写出这些“完美点”的坐标；
(3)若抛物线与直线交于M，N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
17．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点为线段（不含端点，）上一点，连接并延长交抛物线于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点时得到新抛物线，点为新抛物线与轴的另一个交点，点为新抛物线的顶点，连接，，过点作交新抛物线于点，连接．在新抛物线上确定一点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标．

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