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浙江省温州市浙南名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．设，则（　　）
A．-1 B． C． D．
3．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
5．“”的一个充分条件可以是（　　）
A． B． C． D．
6．已知命题为假命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在区间上单调递减的是（　　）
A． B．
C． D．
10．根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（　　）
A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时
B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时
C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值
D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时
11．设函数的定义域为，若对任意，存在唯一的实数满足，则可以是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．lg－lg25＝　 　.
13．设是定义在上的奇函数，若在上是减函数，且，则不等式的解集为　 　．
14．已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足．
（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）的函数关系式；
（2）求该商场日收益的最小值．
16．已知．
（1）若，求图中阴影部分表示的集合；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，解关于的不等式．
18．已知函数是定义在上的偶函数．
（1）请写出满足的关系式；
（2）若，请判断的单调性，并用定义法证明；
（3）在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围．
19．对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”．
（1）判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由；
（2）求证：集合一定不是“2-强可分集合”；
（3）若集合是“1-强可分集合”．
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】讲解：，，
，解得，，
则．
故答案为：C．
【分析】解二次不等式求得集合N，根据集合的特征求得集合M，再根据集合交集的定义和运算法则求解即可．
2．【答案】C
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据解析式直接代值求解即可.
3．【答案】B
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由于，则.
故答案为：B.
【分析】根据根式、有理数指数幂运算性质化简即可.
4．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，即，，则函数的定义域为，
由题意知，，即，则函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据抽象函数定义域的求法求解即可.
5．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、单调递增，，，即，不能推出，故A错误；
B、，若，则，即；
若，则，即，不能推出，故B错误；
C、，，，，
当时满足，且，不能推出，故C错误；
D、，，，即，能推出，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据指数函数单调性，结合不等式的基本性质以及充分条件定义即可判断A；利用不等式的基本性质即可判断BD；利用赋值法即可判断C．
6．【答案】C
【知识点】命题的否定；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为命题为假命题，
所以命题为真命题，
由得恒成立，
所以，
设，，，
因为，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】先求命题的否定，由题意可得命题的否定为真命题，即为真命题，分离参数得到恒成立，设，根据函数单调性的定义证明函数在上的单调性，求最小值，即可得到的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，
所以函数关于点对称，
又在上单调递增，且，所以在上单调递减，
则在上单调递增，
由，则这个区间关于点对称，所以最值关于点对称，
那么最值和为，即
故答案为：D.
【分析】先化简函数，求得函数关于点对称，再判断函数的单调性，求函数的最大值和最小值的关系即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数，恒成立，
恒成立，
或恒成立，
对于不等式恒成立，即恒成立，此时或，
则只需在上恒成立即可，
当时，恒成立；
当时，，即，令，则在上单调递增，最大值为，，解得；
当时，，即，令，则在上单调递增，最小值为，，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：B．
【分析】问题转化为或恒成立，利用已知条件构造不等式并求解，再分和讨论，结合函数单调性求出的取值范围即可．
9．【答案】A,B
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、因为，所以函数在上单调递减，故A正确；
B、显然双勾函数在上单调递减上单调递增，故B正确；
C、显然在单调递减，在上单调递减，但，所以该分段函数整体在上不单调递减，故C错误；
D、是复合函数，外函数单调递增，内函数在上单调递增，在上单调递减，所以该函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】分离常数判断函数的单调性即可判断A；根据对勾函数的性质即可判断B；根据对数函数、指数函数的单调性即可判断C；根据复合函数的单调性即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，当时，；
当时，设，
由题意可得， 解得，则；
当时，，故A正确；
由上可得，
时，，故B正确；
①当时，为增函数，
∴当时，取得最大值，且最大值为 ，
②当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为，
所以的最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用待定系数法求出函数的关系式，将代入求解即可判断A；得到的解析式，代值求解即可判断B；根据函数的单调性，结合二次函数的性质分段求最值，比较即可判断CD．
11．【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、若，定义域为，则，即，
因为，且单调递增，
所以对任意，存在唯一的实数满足，故A正确；
B、若，定义域为，则，
即，当时，，而，无解，不符合，故B错误；
C、若，定义域为，则，即，
取，得，而，不符合题意，故C错误；
D、若，定义域为，则，即，
的值域为，的值域为，且单调递增，
所以对任意，存在唯一的实数满足，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】分别求函数的定义域，结合题意逐项求解判断即可.
12．【答案】－2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：.
【分析】根据对数函数的运算性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数是定义在上的奇函数，则，
则不等式等价于，即，
又因在上是减函数，且，则，
当或时，；当或时，，
故等价于①或②，
由①可得；由②可得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据函数的奇偶性，化简不等式为，根据函数的单调性和推出和对应的的范围，再分情况求的解集即可.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：，，
，原不等式化简为，
，，，
，
，，，
，
令，
令，则，则，则，
当时，
，
当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，即，，
当且仅当，
即时等号成立，此时，
，，故最大值为．
故答案为：．
【分析】分离参数化简将不等式转化为恒成立，构造函数，再换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值．
15．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
则；
（2）解：当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，所以，
因为，所以该商场日收益的最小值为363千元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，分段求解表达式即可；
（2）由（1）的解析式，根据函数的单调性，分别函数在每段上函数的最小值，比较求解即可.
（1）当时，，
当时，，
所以
（2）当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，所以，
因为，所以该商场日收益的最小值为363千元．
16．【答案】（1）解：由，可得，
即，且，则集合，
又，
当时，或，则，
由图知，阴影部分表示；
（2）解：由题意可得是的真子集，由（1）可得，
①若，此时，满足是的真子集；
②若，则或，
要使是的真子集，只需故；
③若，则或，此时显然是的真子集，
综上，可得的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算；充分条件；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合M，当时，解一元二次不等式求得集合N，再根据图形表示阴影部分，结合集合补集、交集运算求解即可；
（2）由题意，易得是的真子集，由（1）可得，分，和讨论，根据参数分类考虑得到关于的不等式，求并集即得其取值范围.
（1）由可得，即，且
因此
又，
当时，或，则，
由图知，阴影部分表示.
（2）由题意可得是的真子集，由（1）可得，
①若，此时，满足是的真子集；
②若，则或，
要使是的真子集，只需故；
③若，则或，此时显然是的真子集.
综上，可得的取值范围为.
17．【答案】（1）解：当时，，则，
因函数是定义在上的奇函数，则，且，
故的函数解析式为；
（2）解：因为函数是奇函数，由，
得，即，
由（1）得时，函数是增函数，且函数是奇函数，，
为上的增函数，可得，即，也即，
因为，
则当或时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性求函数的解析式；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，将不等式化成，对分情况，求解即可.
（1）当时，，则，
因函数是定义在上的奇函数，则；
且.
故的函数解析式为.
（2）因为函数是奇函数，由
得，即.
由（1）得时，函数是增函数，且函数是奇函数，，
为上的增函数，可得，
即，也即，
因为，
则当或时，，原不等式的解集为或；.
当时，，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，所以，
，，
因为对上的均满足，而不恒为零，所以；
（2）解：若，由（1）知，此时，
因为是偶函数，不妨仅考虑在上的单调性，上的单调性与之相反，
任取，不妨令，
，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，所以，
则在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由题意可知，，
，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且，
所以对任意的，
①当时，，
此时只需满足，
若；
若，所以，
②当时，，
此时只需满足，
若；
若，此时无解.
综上所述：.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据是定义在上的偶函数得到，化简可得到；
（2）若，由（1）知，此时，因为是定义在上的偶函数，可以只考虑在上的单调性，利用函数单调性的定义证明即可；
（3）双变量问题，由题可知，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且，根据函数的单调性和奇偶性得到，分和两种情况讨论，在两种情况中分别令，，得到的取值范围.
（1）因为是偶函数，所以，所以，
，，
因为对上的均满足，而不恒为零，
所以.
（2）若，由（1）知，此时.
因为是偶函数，不妨仅考虑在上的单调性，上的单调性与之相反．
任取，不妨令，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，
因此，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（3）由题意可知，，
，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且，
所以对任意的.
①当时，，
此时只需满足，
若；
若；
所以.
②当时，，
此时只需满足，
若；
若；
此时无解.
综上所述：.
19．【答案】（1）解：因为，若去掉2和10，则剩余元素之和为，划分成的两个集合的元素之和应均为，但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数，
则不是“2-强可分集合”；
（2）证明：不妨设，若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或者；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则③，或者④，
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”；
（3）解：①、设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，
因此均为奇数或偶数，
如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数，
如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”，此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数，
综上所述，集合中元素个数为奇数；
②、当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”；
当时，设，不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则①，或者②；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则③，或者④，
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾，
因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”，
当时，集合，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22，
当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18，
则集合是“-强可分集合”，
所以集合A中元素个数的最小值是7．
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）先求元素的和，去掉2和10，求剩余元素的和，再划分为两个集合，根据强可分集合分析求解即可；
（2）不妨设，若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，根据强可分集合分析求解即可；
（3） ① 设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，分为奇数和偶数讨论，结合强可分集合分析证明即可；
②分、和，结合强可分集合分析求解即可.
（1）因为，若去掉2和10，
则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为，
但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数，
所以不是“2-强可分集合”
（2）不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或者；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”
（3）①设集合所有元素之和为．
由题可知，均为偶数，
因此均为奇数或偶数．
如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数．
如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数．
综上所述，集合中元素个数为奇数.
②当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”．
当时，设，不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④．
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”；.
当时，集合，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22，
当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18，
则集合是“-强可分集合”．
所以集合A中元素个数的最小值是7．
1 / 1浙江省温州市浙南名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】讲解：，，
，解得，，
则．
故答案为：C．
【分析】解二次不等式求得集合N，根据集合的特征求得集合M，再根据集合交集的定义和运算法则求解即可．
2．设，则（　　）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据解析式直接代值求解即可.
3．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由于，则.
故答案为：B.
【分析】根据根式、有理数指数幂运算性质化简即可.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，即，，则函数的定义域为，
由题意知，，即，则函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据抽象函数定义域的求法求解即可.
5．“”的一个充分条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、单调递增，，，即，不能推出，故A错误；
B、，若，则，即；
若，则，即，不能推出，故B错误；
C、，，，，
当时满足，且，不能推出，故C错误；
D、，，，即，能推出，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据指数函数单调性，结合不等式的基本性质以及充分条件定义即可判断A；利用不等式的基本性质即可判断BD；利用赋值法即可判断C．
6．已知命题为假命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为命题为假命题，
所以命题为真命题，
由得恒成立，
所以，
设，，，
因为，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】先求命题的否定，由题意可得命题的否定为真命题，即为真命题，分离参数得到恒成立，设，根据函数单调性的定义证明函数在上的单调性，求最小值，即可得到的取值范围.
7．已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，
所以函数关于点对称，
又在上单调递增，且，所以在上单调递减，
则在上单调递增，
由，则这个区间关于点对称，所以最值关于点对称，
那么最值和为，即
故答案为：D.
【分析】先化简函数，求得函数关于点对称，再判断函数的单调性，求函数的最大值和最小值的关系即可.
8．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数，恒成立，
恒成立，
或恒成立，
对于不等式恒成立，即恒成立，此时或，
则只需在上恒成立即可，
当时，恒成立；
当时，，即，令，则在上单调递增，最大值为，，解得；
当时，，即，令，则在上单调递增，最小值为，，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：B．
【分析】问题转化为或恒成立，利用已知条件构造不等式并求解，再分和讨论，结合函数单调性求出的取值范围即可．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在区间上单调递减的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、因为，所以函数在上单调递减，故A正确；
B、显然双勾函数在上单调递减上单调递增，故B正确；
C、显然在单调递减，在上单调递减，但，所以该分段函数整体在上不单调递减，故C错误；
D、是复合函数，外函数单调递增，内函数在上单调递增，在上单调递减，所以该函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】分离常数判断函数的单调性即可判断A；根据对勾函数的性质即可判断B；根据对数函数、指数函数的单调性即可判断C；根据复合函数的单调性即可判断D.
10．根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（　　）
A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时
B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时
C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值
D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时
【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，当时，；
当时，设，
由题意可得， 解得，则；
当时，，故A正确；
由上可得，
时，，故B正确；
①当时，为增函数，
∴当时，取得最大值，且最大值为 ，
②当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为，
所以的最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用待定系数法求出函数的关系式，将代入求解即可判断A；得到的解析式，代值求解即可判断B；根据函数的单调性，结合二次函数的性质分段求最值，比较即可判断CD．
11．设函数的定义域为，若对任意，存在唯一的实数满足，则可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、若，定义域为，则，即，
因为，且单调递增，
所以对任意，存在唯一的实数满足，故A正确；
B、若，定义域为，则，
即，当时，，而，无解，不符合，故B错误；
C、若，定义域为，则，即，
取，得，而，不符合题意，故C错误；
D、若，定义域为，则，即，
的值域为，的值域为，且单调递增，
所以对任意，存在唯一的实数满足，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】分别求函数的定义域，结合题意逐项求解判断即可.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．lg－lg25＝　 　.
【答案】－2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：.
【分析】根据对数函数的运算性质求解即可.
13．设是定义在上的奇函数，若在上是减函数，且，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数是定义在上的奇函数，则，
则不等式等价于，即，
又因在上是减函数，且，则，
当或时，；当或时，，
故等价于①或②，
由①可得；由②可得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据函数的奇偶性，化简不等式为，根据函数的单调性和推出和对应的的范围，再分情况求的解集即可.
14．已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：，，
，原不等式化简为，
，，，
，
，，，
，
令，
令，则，则，则，
当时，
，
当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，即，，
当且仅当，
即时等号成立，此时，
，，故最大值为．
故答案为：．
【分析】分离参数化简将不等式转化为恒成立，构造函数，再换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足．
（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）的函数关系式；
（2）求该商场日收益的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
则；
（2）解：当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，所以，
因为，所以该商场日收益的最小值为363千元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，分段求解表达式即可；
（2）由（1）的解析式，根据函数的单调性，分别函数在每段上函数的最小值，比较求解即可.
（1）当时，，
当时，，
所以
（2）当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，所以，
因为，所以该商场日收益的最小值为363千元．
16．已知．
（1）若，求图中阴影部分表示的集合；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，可得，
即，且，则集合，
又，
当时，或，则，
由图知，阴影部分表示；
（2）解：由题意可得是的真子集，由（1）可得，
①若，此时，满足是的真子集；
②若，则或，
要使是的真子集，只需故；
③若，则或，此时显然是的真子集，
综上，可得的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算；充分条件；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合M，当时，解一元二次不等式求得集合N，再根据图形表示阴影部分，结合集合补集、交集运算求解即可；
（2）由题意，易得是的真子集，由（1）可得，分，和讨论，根据参数分类考虑得到关于的不等式，求并集即得其取值范围.
（1）由可得，即，且
因此
又，
当时，或，则，
由图知，阴影部分表示.
（2）由题意可得是的真子集，由（1）可得，
①若，此时，满足是的真子集；
②若，则或，
要使是的真子集，只需故；
③若，则或，此时显然是的真子集.
综上，可得的取值范围为.
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，解关于的不等式．
【答案】（1）解：当时，，则，
因函数是定义在上的奇函数，则，且，
故的函数解析式为；
（2）解：因为函数是奇函数，由，
得，即，
由（1）得时，函数是增函数，且函数是奇函数，，
为上的增函数，可得，即，也即，
因为，
则当或时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性求函数的解析式；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，将不等式化成，对分情况，求解即可.
（1）当时，，则，
因函数是定义在上的奇函数，则；
且.
故的函数解析式为.
（2）因为函数是奇函数，由
得，即.
由（1）得时，函数是增函数，且函数是奇函数，，
为上的增函数，可得，
即，也即，
因为，
则当或时，，原不等式的解集为或；.
当时，，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．已知函数是定义在上的偶函数．
（1）请写出满足的关系式；
（2）若，请判断的单调性，并用定义法证明；
（3）在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，所以，
，，
因为对上的均满足，而不恒为零，所以；
（2）解：若，由（1）知，此时，
因为是偶函数，不妨仅考虑在上的单调性，上的单调性与之相反，
任取，不妨令，
，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，所以，
则在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由题意可知，，
，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且，
所以对任意的，
①当时，，
此时只需满足，
若；
若，所以，
②当时，，
此时只需满足，
若；
若，此时无解.
综上所述：.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据是定义在上的偶函数得到，化简可得到；
（2）若，由（1）知，此时，因为是定义在上的偶函数，可以只考虑在上的单调性，利用函数单调性的定义证明即可；
（3）双变量问题，由题可知，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且，根据函数的单调性和奇偶性得到，分和两种情况讨论，在两种情况中分别令，，得到的取值范围.
（1）因为是偶函数，所以，所以，
，，
因为对上的均满足，而不恒为零，
所以.
（2）若，由（1）知，此时.
因为是偶函数，不妨仅考虑在上的单调性，上的单调性与之相反．
任取，不妨令，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，
因此，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（3）由题意可知，，
，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且，
所以对任意的.
①当时，，
此时只需满足，
若；
若；
所以.
②当时，，
此时只需满足，
若；
若；
此时无解.
综上所述：.
19．对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”．
（1）判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由；
（2）求证：集合一定不是“2-强可分集合”；
（3）若集合是“1-强可分集合”．
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值．
【答案】（1）解：因为，若去掉2和10，则剩余元素之和为，划分成的两个集合的元素之和应均为，但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数，
则不是“2-强可分集合”；
（2）证明：不妨设，若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或者；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则③，或者④，
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”；
（3）解：①、设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，
因此均为奇数或偶数，
如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数，
如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”，此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数，
综上所述，集合中元素个数为奇数；
②、当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”；
当时，设，不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则①，或者②；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则③，或者④，
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾，
因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”，
当时，集合，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22，
当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18，
则集合是“-强可分集合”，
所以集合A中元素个数的最小值是7．
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）先求元素的和，去掉2和10，求剩余元素的和，再划分为两个集合，根据强可分集合分析求解即可；
（2）不妨设，若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，根据强可分集合分析求解即可；
（3） ① 设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，分为奇数和偶数讨论，结合强可分集合分析证明即可；
②分、和，结合强可分集合分析求解即可.
（1）因为，若去掉2和10，
则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为，
但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数，
所以不是“2-强可分集合”
（2）不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或者；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”
（3）①设集合所有元素之和为．
由题可知，均为偶数，
因此均为奇数或偶数．
如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数．
如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数．
综上所述，集合中元素个数为奇数.
②当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”．
当时，设，不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④．
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”；.
当时，集合，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22，
当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19，
当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18，
则集合是“-强可分集合”．
所以集合A中元素个数的最小值是7．
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