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浙江省嘉兴市海宁市高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则命题的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知非零实数，且，则下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．“a=1”是“函数在区间[1， +∞)上为增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数在上的最大值为，最小值为，则为（　　）
A． B． C． D．
6．函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数，若在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的为（　　）
A． B． C． D．
10．已知正数满足，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为16
C．的最大值为 D．的最小值为
11．函数的定义域为，区间，若在上的值域是，则称为的“-跟随区间”，下列结论正确的是（　　）
A．函数的一个“跟随区间”是
B．函数一定存在“跟随区间”
C．函数存在“3-跟随区间”
D．若函数存在“跟随区间”，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知幂函数的图象过点，则　 　.
13．已知函数，若为偶函数，则实数的值为　 　．
14．对于实数和定义运算“”：，设，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．计算下列各式：
（1）；
（2）已知，求的值.
16．已知集合．
（1）若时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
17．已知函数．
（1）若，且时，恒成立，求实数的最大值；
（2）若满足，当时，求的值域；
（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
18．已知．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若有3个实数根，且．
（i）求实数的取值范围；
（ii）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数．
（1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）；
（2）试解决以下问题：
（i）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（ii）已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，，则.
故答案为：D.
【分析】解指数不等式求得集合，再根据集合的并集运算求即可.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为“，”.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、令，则，故A不正确；
B、在上为单调递增函数，若，则，故B正确；
C、令，则，故C错误；
D、当时，若，则，故D错误.
故答案为：B.
【分析】取特殊值令，即可判断A；根据指数函数的单调性即可判断B；取特殊值令，即可判断C；当时，利用不等式的性质即可判断D.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数的单调增区间为，减区间为，
所以当时，增区间为，所以在上也单调递增，
当f(x)在区间上为增函数，则有，所以不一定成立，
则“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设函数，则，
函数在为奇函数，则，
即，
故答案为：C.
【分析】设函数，则，易知函数在为奇函数，根据求解即可．
6．【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：令，则，可得，
所以，
因为二次函数在上为增函数，
当时，，故函数的值域为.
故答案为：D.
【分析】令，换元可得函数，利用二次函数的单调性，求的值域即可.
7．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，
若在上单调递增，则，且当时，，
故，得.
故答案为：C.
【分析】化简分段函数，根据分段函数的单调性，结合反比例函数的性质列不等式求解即可．
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：令，则为偶函数，，
则在上单调递增，在上单调递减，对于，易得，
若，
，结合，可得；
若，
，结合，可得.
综上可得：不等式的解集是.
故答案为：D.
【分析】构造函数，则为偶函数，由题意可得函数在上单调递增，在上单调递减，再分和讨论，求解不等式即可.
9．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、是非奇非偶函数，在上单调递增，故A错误；
B、既是偶函数又在上单调递减，故B正确；
C、既是偶函数又在上单调递减，故C正确；
D、是奇函数，在上单调递增，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项分析判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、正数满足，则，，当且仅当时，取得最小值，故A错误；
B、正数满足，则，
当且仅当，即时取等号，则的最小值为16，故B正确；
C、，当且仅当时取等号，则的最大值为，故C正确；
D、，当且仅当时取等号，则的最小值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求最值即可判断A；利用基本不等式求解即可判断BCD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，在上单调递减，则其在上值域为：
，故A正确；
B、若存在“跟随区间”，设为，又在R上单调递增，
则由“跟随区间”定义可得，即图象与有2个不同交点，
但显然随着的改变，图象与可能相切，可能有2个不同交点，也可能没有交点，故B错误；
C、取区间，因，则上上单调递增，
则其在上值域为：，即函数存在“3-跟随区间”，故C正确；
D、，则在上单调递增，
若函数存在“跟随区间”，不妨，则，
化简可得为方程的两根，
其判别式，
由韦达定理：，
则
，当时取等号，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数的单调性，计算在上的值域，结合“-跟随区间”的定义即可判断A；由图象与图象交点情况即可判断B；取特殊区间即可判断C；先判断函数的单调性，将问题等价于为方程的两根，求最大值，利用韦达定理，结合配方求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数，
由幂函数的图象过点得：，即，所以，
故答案为：.
【分析】设幂函数，利用待定系数法求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：，
由为偶函数，可得，解得.
故答案为：.
【分析】先求函数的解析式，根据函数为偶函数，可得，即可求得a的值.
14．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：根据新定义可得函数，
即，
作图：
得函数的值域为，
由，得，
由于，得，
由于关于的不等式恰有3个整数解，则这3个整数解为：，
得，即，得，
故答案为：.
【分析】根据性定义求得函数的解析式，再画出函数的图象，由不等式恰有3个整数解，则这3个整数解为：，得，即求实数m的取值范围即可．
15．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：因为，则，所以，
因为，所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据根式的运算性质，结合指数的运算性质化简求值即可；
（2）由题意可得，利用平方关系可求出的值.
（1）原式.
（2）因为，故，所以，
因为，故.
16．【答案】（1）解：当时，集合，易知集合，，
得，；
（2）解：由，得，
因为，所以，而，可得，得 ，
故实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据集合并集，补集以及交集的运算求解即可；
（2）由得，根据集合的包含关系列式求解即可．
（1）当时，则，
而，得
，
得，
.
（2）由得，
因为，所以，而，
可得
得 ，
故实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：由题，恒成立，
则，
又函数在上单调递增，
则；
（2）解：，
，则，
因，令，则，
易得均在上单调递增，则在上单调递增，
则的值域为；
（3）解：由题的两根为，，
由韦达定理：，
则，其中，
令，，
则，
因函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，则.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）分离参数，问题转化为，利用双勾函数性质求解即可；
（2）先求得，从而可得
，令，可得，根据函数的单调性求解即可；
（3）由题的两根为，，利用韦达定理可得，
再令，可得，然后由二次函数单调性求解即可.
（1）由题，恒成立，
则，又函数在上单调递增，则；
（2），
，则.
因，令，则，
易得均在上单调递增，则在上单调递增，
则的值域为；
（3）由题的两根为，.
由韦达定理：.
则，其中.
令，，
则.
因函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，则.
18．【答案】（1）解：当时，，
函数的对称轴为，在上单调递增；
函数的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，
则函数的单调增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：（i）由已知得，
当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，其在上单调递增；
函数的对称轴为，其在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为；
因为函数有3个不同的零点，
所以，解得；
当时，若，对方程判别式，
可知无解，
所以函数不可能有3个不同的零点，所以不符合题意，
综上，的取值范围是；
（ii）由（i）知，是方程的两个不等实根，
是方程的一个根，
则，，
由，得，
令，
则，
因，则，，，
则，则，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的单调性及单调区间；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，写出分段函数解析式，结合二次函数的单调性求解即可；
（2）（i）由已知得，分，以及进行讨论，结合二次函数的图象与轴的交点情况，即可判断的取值范围；
（ii）根据（i）可判断是方程的两个不等实根，是方程的大根，分离参数，结合韦达定理以及存在性问题的判断将问题转化为函数的最值问题，利用不等式的性质即可求出的取值范围.
（1）当时，，
函数的对称轴为，在上单调递增；
函数的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为；
（2）（i）由已知得，
当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，其在上单调递增；
函数的对称轴为，其在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为；
因为函数有3个不同的零点，
所以，解得；
当时，若，对方程判别式，
可知无解，
所以函数不可能有3个不同的零点，所以不符合题意.
综上，的取值范围是；
（ii）由（i）知，是方程的两个不等实根，
是方程的一个根，
则，，
由，得，
令，
则，
因，则，，，
则，则，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：函数图象的对称中心为，
由，
令，显然函数的定义域为，
且，则函数为奇函数，
所以函数图象的对称中心为；
（2）解：（i）函数在区间上单调递增，
设，则
，
因为，所以，，，
即，
因此，即，故函数在区间上单调递增；
（ii）由（i）可知在上单调递增，
则函数在上的最大值为，
令，由题意可得函数为奇函数，
令，即，则；
令，即，则，
由函数为奇函数，即，则，
当，即，则，
令，则，
即，
综上可得，
当时，，易知函数在上单调递减，则，
由题意可得，解得，故；
当时，，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则，由题意可得，解得，故；
当时，，易知函数在上单调递增，则，
由题意可得，解得，故，
综上可得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）分离常数化简函数解析式，求函数的定义域，根据奇函数的性质以及函数的图象变换求解即可；
（2）（i）根据函数单调性的定义证明即可；
（ii）由（i）可知在上单调递增，求得函数在上的最大值， 令，由题意可得函数为奇函数，求得函数的解析式，分和，讨论，根据函数的单调性，求其在给定区间上的最值，分情况建立不等式求解即可.
（1）函数图象的对称中心为.
由，
令，显然函数的定义域为，
且，则函数为奇函数.
所以函数图象的对称中心为.
（2）（i）函数在区间上单调递增.
设，则
.
因为，所以，，，
即.
因此，即，故函数在区间上单调递增.
（ii）由（i）可知在上单调递增，
则函数在上的最大值为.
令，由题意可得函数为奇函数，
令，即，则；
令，即，则.
由函数为奇函数，即，则，
当，即，则，
令，则，
即.
综上可得，
当时，，易知函数在上单调递减，则，
由题意可得，解得，故；
当时，，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则，由题意可得，解得，故；
当时，，易知函数在上单调递增，则，
由题意可得，解得，故.
综上可得.
1 / 1浙江省嘉兴市海宁市高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，，则.
故答案为：D.
【分析】解指数不等式求得集合，再根据集合的并集运算求即可.
2．已知命题，，则命题的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为“，”.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义判断即可.
3．已知非零实数，且，则下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、令，则，故A不正确；
B、在上为单调递增函数，若，则，故B正确；
C、令，则，故C错误；
D、当时，若，则，故D错误.
故答案为：B.
【分析】取特殊值令，即可判断A；根据指数函数的单调性即可判断B；取特殊值令，即可判断C；当时，利用不等式的性质即可判断D.
4．“a=1”是“函数在区间[1， +∞)上为增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数的单调增区间为，减区间为，
所以当时，增区间为，所以在上也单调递增，
当f(x)在区间上为增函数，则有，所以不一定成立，
则“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．已知函数在上的最大值为，最小值为，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设函数，则，
函数在为奇函数，则，
即，
故答案为：C.
【分析】设函数，则，易知函数在为奇函数，根据求解即可．
6．函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：令，则，可得，
所以，
因为二次函数在上为增函数，
当时，，故函数的值域为.
故答案为：D.
【分析】令，换元可得函数，利用二次函数的单调性，求的值域即可.
7．已知函数，若在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，
若在上单调递增，则，且当时，，
故，得.
故答案为：C.
【分析】化简分段函数，根据分段函数的单调性，结合反比例函数的性质列不等式求解即可．
8．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：令，则为偶函数，，
则在上单调递增，在上单调递减，对于，易得，
若，
，结合，可得；
若，
，结合，可得.
综上可得：不等式的解集是.
故答案为：D.
【分析】构造函数，则为偶函数，由题意可得函数在上单调递增，在上单调递减，再分和讨论，求解不等式即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、是非奇非偶函数，在上单调递增，故A错误；
B、既是偶函数又在上单调递减，故B正确；
C、既是偶函数又在上单调递减，故C正确；
D、是奇函数，在上单调递增，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项分析判断即可.
10．已知正数满足，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为16
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、正数满足，则，，当且仅当时，取得最小值，故A错误；
B、正数满足，则，
当且仅当，即时取等号，则的最小值为16，故B正确；
C、，当且仅当时取等号，则的最大值为，故C正确；
D、，当且仅当时取等号，则的最小值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求最值即可判断A；利用基本不等式求解即可判断BCD.
11．函数的定义域为，区间，若在上的值域是，则称为的“-跟随区间”，下列结论正确的是（　　）
A．函数的一个“跟随区间”是
B．函数一定存在“跟随区间”
C．函数存在“3-跟随区间”
D．若函数存在“跟随区间”，则的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，在上单调递减，则其在上值域为：
，故A正确；
B、若存在“跟随区间”，设为，又在R上单调递增，
则由“跟随区间”定义可得，即图象与有2个不同交点，
但显然随着的改变，图象与可能相切，可能有2个不同交点，也可能没有交点，故B错误；
C、取区间，因，则上上单调递增，
则其在上值域为：，即函数存在“3-跟随区间”，故C正确；
D、，则在上单调递增，
若函数存在“跟随区间”，不妨，则，
化简可得为方程的两根，
其判别式，
由韦达定理：，
则
，当时取等号，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数的单调性，计算在上的值域，结合“-跟随区间”的定义即可判断A；由图象与图象交点情况即可判断B；取特殊区间即可判断C；先判断函数的单调性，将问题等价于为方程的两根，求最大值，利用韦达定理，结合配方求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知幂函数的图象过点，则　 　.
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数，
由幂函数的图象过点得：，即，所以，
故答案为：.
【分析】设幂函数，利用待定系数法求解即可.
13．已知函数，若为偶函数，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：，
由为偶函数，可得，解得.
故答案为：.
【分析】先求函数的解析式，根据函数为偶函数，可得，即可求得a的值.
14．对于实数和定义运算“”：，设，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：根据新定义可得函数，
即，
作图：
得函数的值域为，
由，得，
由于，得，
由于关于的不等式恰有3个整数解，则这3个整数解为：，
得，即，得，
故答案为：.
【分析】根据性定义求得函数的解析式，再画出函数的图象，由不等式恰有3个整数解，则这3个整数解为：，得，即求实数m的取值范围即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．计算下列各式：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：因为，则，所以，
因为，所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据根式的运算性质，结合指数的运算性质化简求值即可；
（2）由题意可得，利用平方关系可求出的值.
（1）原式.
（2）因为，故，所以，
因为，故.
16．已知集合．
（1）若时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，易知集合，，
得，；
（2）解：由，得，
因为，所以，而，可得，得 ，
故实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据集合并集，补集以及交集的运算求解即可；
（2）由得，根据集合的包含关系列式求解即可．
（1）当时，则，
而，得
，
得，
.
（2）由得，
因为，所以，而，
可得
得 ，
故实数的取值范围为.
17．已知函数．
（1）若，且时，恒成立，求实数的最大值；
（2）若满足，当时，求的值域；
（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题，恒成立，
则，
又函数在上单调递增，
则；
（2）解：，
，则，
因，令，则，
易得均在上单调递增，则在上单调递增，
则的值域为；
（3）解：由题的两根为，，
由韦达定理：，
则，其中，
令，，
则，
因函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，则.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）分离参数，问题转化为，利用双勾函数性质求解即可；
（2）先求得，从而可得
，令，可得，根据函数的单调性求解即可；
（3）由题的两根为，，利用韦达定理可得，
再令，可得，然后由二次函数单调性求解即可.
（1）由题，恒成立，
则，又函数在上单调递增，则；
（2），
，则.
因，令，则，
易得均在上单调递增，则在上单调递增，
则的值域为；
（3）由题的两根为，.
由韦达定理：.
则，其中.
令，，
则.
因函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，则.
18．已知．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若有3个实数根，且．
（i）求实数的取值范围；
（ii）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
函数的对称轴为，在上单调递增；
函数的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，
则函数的单调增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：（i）由已知得，
当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，其在上单调递增；
函数的对称轴为，其在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为；
因为函数有3个不同的零点，
所以，解得；
当时，若，对方程判别式，
可知无解，
所以函数不可能有3个不同的零点，所以不符合题意，
综上，的取值范围是；
（ii）由（i）知，是方程的两个不等实根，
是方程的一个根，
则，，
由，得，
令，
则，
因，则，，，
则，则，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的单调性及单调区间；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，写出分段函数解析式，结合二次函数的单调性求解即可；
（2）（i）由已知得，分，以及进行讨论，结合二次函数的图象与轴的交点情况，即可判断的取值范围；
（ii）根据（i）可判断是方程的两个不等实根，是方程的大根，分离参数，结合韦达定理以及存在性问题的判断将问题转化为函数的最值问题，利用不等式的性质即可求出的取值范围.
（1）当时，，
函数的对称轴为，在上单调递增；
函数的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为；
（2）（i）由已知得，
当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，其在上单调递增；
函数的对称轴为，其在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为；
因为函数有3个不同的零点，
所以，解得；
当时，若，对方程判别式，
可知无解，
所以函数不可能有3个不同的零点，所以不符合题意.
综上，的取值范围是；
（ii）由（i）知，是方程的两个不等实根，
是方程的一个根，
则，，
由，得，
令，
则，
因，则，，，
则，则，
所以的取值范围是.
19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数．
（1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）；
（2）试解决以下问题：
（i）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（ii）已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数图象的对称中心为，
由，
令，显然函数的定义域为，
且，则函数为奇函数，
所以函数图象的对称中心为；
（2）解：（i）函数在区间上单调递增，
设，则
，
因为，所以，，，
即，
因此，即，故函数在区间上单调递增；
（ii）由（i）可知在上单调递增，
则函数在上的最大值为，
令，由题意可得函数为奇函数，
令，即，则；
令，即，则，
由函数为奇函数，即，则，
当，即，则，
令，则，
即，
综上可得，
当时，，易知函数在上单调递减，则，
由题意可得，解得，故；
当时，，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则，由题意可得，解得，故；
当时，，易知函数在上单调递增，则，
由题意可得，解得，故，
综上可得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）分离常数化简函数解析式，求函数的定义域，根据奇函数的性质以及函数的图象变换求解即可；
（2）（i）根据函数单调性的定义证明即可；
（ii）由（i）可知在上单调递增，求得函数在上的最大值， 令，由题意可得函数为奇函数，求得函数的解析式，分和，讨论，根据函数的单调性，求其在给定区间上的最值，分情况建立不等式求解即可.
（1）函数图象的对称中心为.
由，
令，显然函数的定义域为，
且，则函数为奇函数.
所以函数图象的对称中心为.
（2）（i）函数在区间上单调递增.
设，则
.
因为，所以，，，
即.
因此，即，故函数在区间上单调递增.
（ii）由（i）可知在上单调递增，
则函数在上的最大值为.
令，由题意可得函数为奇函数，
令，即，则；
令，即，则.
由函数为奇函数，即，则，
当，即，则，
令，则，
即.
综上可得，
当时，，易知函数在上单调递减，则，
由题意可得，解得，故；
当时，，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则，由题意可得，解得，故；
当时，，易知函数在上单调递增，则，
由题意可得，解得，故.
综上可得.
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